第六讲高斯函数与整点

1、第六讲高斯函数与整点©本讲概述本讲我们将研究全国数学联赛二试范围内初等数论所要求的最后一个专题：高斯函数y x.实际上高斯函数就是取整函数，利用这个函数可以将以前很多需要大量描述才能说清楚的问题很简洁 地描述和处理.我们想给出高斯函数的定义及若干性质：定义一：对任意实数 x,x是不超过x的最大整数，称x为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数 y x,x x x.由x、x的定义不难得到如下性质：(1) y x的定义域为R,值域为Z; y x的定义域为R,值域为0,1)(2)对任意实数x,都有x x x,且0 x 1.(3)对任意实数x,都有x x x 1,x 1 x x.(4) y

2、 x是不减函数，即若x1*2则为x2，其图像如图1;y x是以1为周期的周期函数，如图 2.3* 1 P T 3 -2 -1 O 1 2 3 4 x vT*“ -2T图1(5) x n n x;x n x.其中(6)x y x y;x y特别地，;a na.xy x y,其中 x,y R ; 一-图2x R, n N . nnx y;xixi, xiR;i 1i 1nn般有xxjxiR ;i 1i 1特别地，nxnx, x R ,n N(8)-区，其中 x R ,n N . n n【证明】(1) (7)略.(8)令x m, m Z ,则 m - m 1 ,因此，nm x n(m 1).由于 n

3、m , nnx 一 xn(m 1) N ,则由(3)知，nm x n(m 1),于是，m 一 m 1,故 m. nn证毕.上面(1) - (5)都很容易理解；而(6)-(7) 一般只需掌握二元形式，多元的很难用上；(8)的证明方法是涉及高斯函数问题的一种典型方法，必须熟练掌握以下给出高斯函数相关的几个重要定理：x 定理一 ：x R , nN ,且1至x之间的整数中，有-个是n的倍数.nx【证明】因_ nx x口e x1,即n n n nz x,x (- 1) n,此式说明：不大于 x而是n的倍数的正整 n数只有这凶个:nx1n,2n,- n.n定理二：在n!中，质数p的最高方次数是P(n!)-

4、三2PPP【证明】由于p是质数，因此n!含p的方次数P(n!) 一一定是1,2,，n 1,n各数中所含p的方次数的总和.由定理一知，1, 2,，n中有口个p的倍数，有-2个p2的倍数，所以 Ppp(n!)-乌P P此定理说明：n! pP(n!) M ,其中M不含p的因数.例如，由于7(2000!)20002000- + =285+40+5=330 , 72则 2000! =7330 M,其中 7 IM .定理三：(厄米特恒等式)12xR,nN,则xx-x-nnx -n-1 nxn高斯函数在格点(又叫整点)问题研究中有重要应用.下面给出一个定理.定理四：设函数yf (x)在a, b上连续而且非负

5、，那么和式f (t)(t为a,b内的整数)表示平a t b面区域a x b,0 y f(x)内的格点个数.特别地，有位于三角形：y ax b Qc x d内的格点个数等于ax b(且x为整数)；c x d(2)奇数p,q满足(p,q) 1,矩形域0,2;0,t内的格点数等于px qy 一丫0 x q/2 q 0 y p/2 p22*注：利用上面的结果，我们可以证明关于初等数论中关于雅可比符号的二次互反律* (3) n 0,区域：x 0, y Qxy n内的格点个数等于2n .n2.0 x n x这些结论通过画图即可得到.关于格点更深入的研究(如格点多边形面积等)往往涉及到组合几何的与数论的高级

6、知识，有兴趣的同 学可以参考闵嗣鹤的小丛书格点与面积 ，这些更高难度的问题一般只在冬令营及更高级别赛事中出现， 本讲不涉及.一般来说，联赛中只涉及到中等难度的格点个数计数问题，其处理手段即利用定理4.©例题精讲【例1】(1)试利用定理2给出34!的质因子分解形式；(2)若其展开式最后12位是643,abc,def,ghi，试确定最后9位数.【例2】(1)证明当n=1,2,时lU +交错地取偶数与奇数值。(2)证明+ vT)2"1 1 lm=0,1,2,.【例3】(1)双曲线x2 y2 1的右半支与直线x 100围成的区域内部(不含边界)整点个数为： (2)对任意自然数n,连

7、接原点与点An(n,n 3).用f(n)表示线段0人上除端点以外的整点个数, 试求和：f (1) f(2) f (3) . f(2011)【例4】解方程：x2 2x 2x x2.【例5】求所有满足条件 4ann aan的实数a,其中n为任意正整数时皆成立【例6】求出10 20000101003的个位数字n J- 1亦遍历全体正整数，但数列 an 3n2 2n中:32【例7】当n遍历全体正整数时，证明 f (n) 的项除外.【例8】证明定理3 (厄米特恒等式)x R,n N,则n 1x nxn12x x - x - Lnn【例9】设非负整数咧口评才闰曲；满足十+ ai<«f +

8、J£a1 + aJ + l对所有的3之,i+j < 1997.证明：存在口t一实数 x,使得对一切n=1,2,1997：% = l”M.【例10】设m,n为正整数，求等式mn 1 J1匕(1)mi 00成立的充要条件.练习练习练习练习练习练习练习©大显身手1.整数1093的末两位数是1031 32.解方程：x x 2005x.3对任意整数n(n 2),证明:n(n 1)4n 24.证明:5.x R6.设n是,nN，证明：nxN).将n换为正实数x 2x 3x个固定的正整数，b(n)是7设S(x)表示数列证明方程X有无穷多个正整数。x,等式是否仍成立?nxnk的最小值。证明b(n)= G而+ 1.- + 2-2 = 0有两相异实根口/，使得)S(做中练习8.求最大的实数c,使得对任意的n N*,均有扬 -a2l fb2l _ h2jhb2练习9.求满足下式的所有自然数a,blhJ ab练习10.确定所有的实数对（a,b）使得abn=ban对一切正整数n成立。练习11.证明对每个自然数k,存在无理数戊，使得对任一自然数 m, lu I = （mod kX练习12.设u为方程x- 3X2 + 1 = 0的最大正根。证明小布"被17整除。i 1练习13. （Beatty定理）设5 0为正无理数，并且+1 ,则数列1 =54