备战中考数学易错题精选-直角三角形的边角关系练习题附答案

1、备战中考数学易错题精选-直角三角形的边角关系练习题附答案一、直角三角形的边角关系1 .小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为 120时，感觉最舒适(如图 1),侧面示意图为图 2;使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO 后，电脑转到 AO，B，位置(如图3),侧面示意图为图 4.已知OA=OB=24cm,。/ C± OA 于点 C, O/ C=12cm.(1)求/ CAO/的度数.(2)显示屏的顶部 Bz比原来升高了多少？(3)如图4,垫入散热架后，要使显示屏。/ B/与水平线的夹角仍保持 120。，则显示屏。/ B，应绕点。/按顺时针方向旋转

2、多少度?【答案】(1) /CAO =30； (2) (36-1273) cm； (3)显示屏O'域绕点。'按顺时针 方向旋转30°.【解析】试题分析：(1)通过解直角三角形即可得到结果；(2)过点B作BD, AO交AO的延长线于 D,通过解直角三角形求得BD=OBsin/ BOD=24X坐=12石，由G O'、B'三点共线可得结果；(3)显示屏O 而绕点O'按顺时针方向旋转 30°,求得/EO B'/干O A=30；既是显示屏O'应绕点O'按顺时针方向旋转 30°.试题解析：(1) .-0，(1OA

3、于 C, OA=OB=24cm, .sin / CAOO'C O'CWaqa/CAO' =30 °,. BD(2)过点 B 作 BD, AO交 AO 的延长线于 D, -. sinZ BOD=- , . . BD=OBsin/ BOD,OS / AOB=120， / BOD=60 ；BD=OBsinZ BOD=24 看=12/， O' 1OA， /CAO' =30 ° ./AO' C=6 0：/AO' B' =120 Z AO' 叱 AO' C=1& 0. Q B' +O3 D=

4、24+12- 12 冉=36- 126,，显示屏的顶部 B比原来升高了( 36- 1273 ) cm；(3)显示屏O'而绕点O'按顺时针方向旋转 30°, 理由：显示屏O' g水平线的夹角仍保持 120。， ./EO' F=120 ° ./FO' A=CAO' =30 ° / AO' B' = 120 ° ./EO' BT FO' A=3 0 ° 显示屏O'底绕点O'按顺时针方向旋转 30°.J I-J，Q/ 好产c o D考点：解直角三角

5、形的应用；旋转的性质.2.在等腰4ABC中，/B=90°, AM是4ABC的角平分线，过点 M作MNLAC于点N, ZEMF=135 .。将/EMF绕点M旋转，使/ EMF的两边交直线 AB于点E,交直线AC于点 F,请解答下列问题：(1)当/EMF绕点M旋转到如图 的位置时，求证： BE+CF=BM(2)当/EMF绕点M旋转到如图 ，图 的位置时，请分别写出线段 BE, CF, BM之间 的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，tan/ BEM=/S, AN32+1 ,贝U BM=, CF=.x-7r n图 /图图【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3) 1, 1

6、+g或1-W【解析】【分析】(1)由等腰 ABC中，/B=90°, AM是 ABC的角平分线，过点 M作MNXAC于点N,可得BM=MN , / BMN=135 ,又/EMF=135°,可证明的 BME0NMF,可得 BE=NFNC=NM=BM进而得出结论；(2)如图 时，同(1)可证BMENMF,可得BE- CF=BM, 如图 时，同(1)可证BMENMF,可得 CF- BE=BM;在RtAABM和RtA ANM中，,II 蜩二 AH可得 RtAABM RtA ANM,后分别求出 AB、AC CN、BM、BE的长，结合(1) (2)的 结论对图进行讨论可得CF的长.【详解

7、】(1)证明：ABC是等腰直角三角形，Z BAC=Z C=45 ； . AM是/BAC的平分线， MN LAC,.BM=MN ,在四边形 ABMN 中，/, BMN=360 90 90 45 =135°,/ ENF=135, °,/ BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ；.NC=NM=BM, .CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45J°,.NC=NM=

8、BM, NC=NF- CF, .BE-CF=BM;针对图3,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ；.NC=NM=BM,. NC=CF- NF,.CF- BE=BM; 仍心MM(3)在 RtAABM 和 RtAANM 中，,'U郃二ATTRtA ABMRtAANM (HL.),.AB=AN=/2+1,在 RtA ABC 中,AC=ABV2+1, .AC=AB=2+/, .CN=AC- AN=2jj2-(V2+D =1, 在 RtCMN 中，CM=/CN=/,BM=BC- CM=/+1 - &=1,在

9、RtA BME 中,p a 1tanZ BEM= 11 = 1BE BEJ/3 .BE=3.由（1）知,如图1,BE+CF=BM .CF=BM BE=1由（2）知，如图 ，此种情况不成立； 由（2）知，如图!32,由tan / BEM=石,3, CF- BE=BM, .CF=BM+BE=1理3故答案为1, 1+4或1 -【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解3.如图，湿地景区岸边有三个观景台以、B、C.已知少=1物0米，川。=1000米，3点位于幺点的南偏西60一7”方向，C点位于且点的南偏东661*方向.求T3C的面积；（2）景区规划在线段 死 的

10、中点口处修建一个湖心亭，并修建观景栈道功.试求为、力间的距离.（结果精确到米）（参考数据：即5里2"。跳，m532”。加，q双7公0即，60.70.49 ,加能广注。51, cosdfl.L°«0.41,A_/小广人jL一）乩一 一一3【答案】（1） 560000 （2） 565.6【解析】试题分析：（1）过点C作CE 反4交比M的延长线于点E ,然后根据直角三角形的内角和求出/ CAE,再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到 4ABC的面积；（2）连接 ，过点口作尸1,垂足为产点，则口F / CE .然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求

11、解即可.试题解析：（1）过点C作第蜃1交&1的延长线于点E ,在RtA让C 中，ZC4£-18 -60.7 66.1, = 53.2 1 ,所以 CE = AC -» 1000x 0f = MO 米.所以 S 二 Lm-CF= 1x1400x9加二 53Moei（平方米）.二 3 22（2）连接血,过点口作DF -,垂足为下点，则DF If CE .因为D是BC中点，所以。尸二（CE二4M米，且F为班中点，AE=AC cos53J600 米，所以班二班十”=1400600=2口00米.所以每7二砥-/£ = 400米，由勾股定理得，.必二= J4M: +

12、400: =4领6=5隈6 米.答：且、C间的距离为元5.6米.炉工一1一F考点：解直角三角形4.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 分）已知：如图，AB是半圆。的直径，弦CD/AB,动点p、Q分别在线段OC、CD上，且DQ OP , AP的延长线与射线 OQ相交于点E、与弦CD相交于点F （点F与（1）求证：AP OQ ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当 OPE是直角三角形时，求线段 OP的长.2【答案】（1）证明见解析；（2） y 3x一60x 300（50 x 10）; （3） OP 8x 13【解析】【分析】(1)证

13、明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ ,联结OD后还有OA DO ,再结合要证明的结论 AP OQ ,则可肯定需证明三角形全等，寻 找已知对应边的夹角，即POA QDO即可；(2)根据 PFCs PAO ,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；(3)分4成二种情况讨论，充分利用已知条件cos AOC 、以及(1) (2)中已证的结论，注5意要对不符合(2)中定义域的答案舍去.【详解】(1)联结 OD，: OC OD ,OCD ODC , CD/AB ,OCD COA, POA QDO .在AOP和ODQ中，OP DQ POA QDO , OA DO AOP

14、且 ODQ , AP OQ ;作PH OA,交OA于H , 4. cos AOC 一, 5，-"43OH -OP x, PH -x, 5551S AOP - AO PH 3x . 2 CD/AB ,PFC s PAO ,y,CP、2 .10 x 2(TT)()S AOP OPx y3x2 60x 300x当F与点D重合时,“4. CD 2OC cos OCD 2 10 - 16, 510 50一,解得x 一 ,10 x 16133x2 y 一60x 300 / 50(石x 10)；(3)当 OPE 90o时,OPA 900,OPOA cos AOC 10POEog CQ90°

15、; 时,4 8； 5cos QCOcos10AOC10 2542 ，5OPDQCD CQ CD 251622525013OPOP2（舍去）；PEO90o 时，CD/AB,AOQAOPDQOAOQAEO综上，线段APO,AOP 900,此时弦CD不存在, OP的长为8.故这种情况不符合题意，舍去;5.许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等 水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打 造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A, B两点之间的距离他沿着与直线 AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得/

16、ACF=45,再向前走300 米到点D处，测得/BDF=60.若直线AB与EF之间的距离为200米，求A, B两点之间的 距离（结果保留一位小数）【解析】【分析】过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，根据RtACM和三角函数tan BDF求出CM、DN,然后根据 MN MD DN AB即可求出A、B两点间的距离.【详解】解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点在 RtACM 中， ACF 45 ,.AM=CM=200 米，又.口二？。米，所以 MD CD CM 100米,在 RtBDN 中，/BDF=60, BN=200 米_ BND

17、N o 115.6 米，tan 60 MN MD DN AB 215.6 米即A, B两点之间的距离约为 215.6米.【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A (-2, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三点.V -1八J八图图(1)试求抛物线的解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，连接 PA,试求5PA+4PC的最小值；(3)如图，若直线l经过点T ( -4, 0) , Q为直线l上的动点，当以 A、B、Q为顶点 所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.2) 5PA+4PC的最小值为18； (3)直线l的解析式

18、(2)连接AG BC,过点A作AEL BC于点E,过3 o 3【答案】(1) y x x 3；84433为 y-x3或 y x3.44【解析】【分析】(1)设出交点式，代入 C点计算即可PC PD4点P作PD± BC于点D,易证CD/COB,得到比例式 ，得到PD=- PC,所BC OB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,当点 A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面积法求出 AE=,即最小值为18 ( 3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆,当/BAQ= 90°或/ ABQ=90

19、°时，即AQ或BQ垂直x轴, 所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90。或/ ABQ= 90°,即/ AQB= 90时，只有一个满足条件的点Q, 直线l与。F相切于点Q时，满足/ AQB=90 °的点Q只有一个；此时，连接 FQ,过点Q作QGi±x轴于点G,利用cos/QFT求出 QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接 l得到解析式即可【详解】解：(1)二.抛物线与x轴交点为A ( - 2, 0)、B (4, 0). . y = a (x+2) ( x 4)把点C (0, 3)代入得：-8a=33 .a =8.抛

20、物线解析式为 y=- 3 (x+2) (x- 4) =- -x2+-x+3884(2)连接AC BC,过点A作AE± BC于点E,过点P作PD±BC于点D/ CDP= / COB= 90 ° / DCP= / OCB.,.CDFACOBPC PD BC OB,. B (4, 0) , C (0, 3)ob=4, oc= 3, bc= Job2 oc2 =54 -.PD PC5.-.5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD 5当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PG= 5 (PA+PD) = 5AE最小. A (2, 0) , OCX AB

21、, AE± BC .Sa abc= -AB?OC= 1 BC?AE 22yABn OC 6 3 18AE=BC 55 -5AE= 18 5PA+4PC的最小值为18.(3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆当/BAQ= 90°或/ABQ= 90°时，即 AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点 Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90 °/ AQB= 90时，只有一个满足条件的点Q 当Q在。F上运动时（不与 A、B重合），/AQB= 90 ° 直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB= 90的点Q只有一个 此时，

22、连接FQ,过点Q作QG± x轴于点G/ FQT= 90 ° .F 为 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中点 .F (1, 0) , FQ= FA= 3,. T (4, 0) .TF= 5, cos/QFT= FQTF RtA FGQ 中,cos/ QFT=FG 3FQ 53FG= - FQ=5,9 xq= 1 5QG= FQ2 FG2.1322125若点Q在x轴上方，则Q （4 12三)设直线l解析式为：y= kx+b4k012解得:，直线l：3-x 34若点Q在x轴下方，则45'129，3 八，直线 l： y -x 3 4综上所述，直线l的解析式为【点睛】本

23、题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论7.如图，AB为eO的直径，C、D为eO上异于A、B的两点，连接CD,过点C作 CE DB ,交CD的延长线于点E ,垂足为点E ,直径AB与CE的延长线相交于点 F .(1)连接 AC、AD,求证： DAC ACF 180.(2)若 ABD 2 BDC.求证：CF是e O的切线. 一 3当BD 6 , tan F 一时，求CF的长.4.一.20【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；CF .3【解析】【分析】(1)根据圆周角定理证得

24、/ADB=90,即AD± BD,由CE! DB证彳导AD/CF,根据平行线 的性质即可证得结论；(2) 连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出/3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,则OC/ DB,再由CE! DB,得到OC CF,根据切线的判定即可 证明CF为。O的切线； 由 CF/ AD,证出 ZBAD=ZF,得出 tan Z BAD=tanZ F=-BD =-,求出 AD=4 bd=8,利 AD 43OC 3 一.用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC= 5,再由tanF=一，即可求出 CF.CF 4解：（1） AB是e O的直径，且D为e O上一点,

25、ADB 90 ,QCE DB, DEC 90 , CF /AD , DAC ACF 180 .（2）如图，连接OC.QOA OC,12.Q 312,3 2 1.Q 4 2 BDC , BDC 1,4 2 1,43,OC /DB.QCE DB, OC CF .又QOC为e O的半径，CF为e O的切线.D由（1）知 CF /AD ,BAD F ,3 tan BAD tanF -, 4BD 3. AD 4Q BD 64AD - BD 8 , 3AB 76"8F 10，OB OC 5.QOC CF ,OCF 90 ,OC 3tanFCF 4 '2 20解得CF -0. 3【点睛】本

26、题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.8.如图，建筑物耳。上有一旗杆收H，从与AC相距40m的9处观测旗杆顶部口的仰角为|50。观测旗杆底部内的仰角为45、求旗杆收/7的高度.（参考数据：Asin50- h0.77,840" =0.64, 150tl = 1.19）【答案】旗杆小门的高度约为|76m.【解析】【分析】BC在RtBDC中，根据tan/BDC力求出BC,接着在 RtADC中，根据AC AB-BCtan Z ADC=7V=一行一即可求出AB的长度【详解】BC解

27、：.在 RtBDC 中，tan/BDC行=1, . BC=CD= 40mI* J JAC AB + BC丁 在 RtA ADC 中，tan / ADC=KAB+ 40tan50 = °=1.19.AB 7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用9.如图1,在RtABC中，/ACB= 90°, AC=3, BC= 4,动点P在线段 BC上，点 Q在线 段AB上，且PQ= BQ,延长QP交射线AC于点D.（1）求证：QA=QD;(2)设/ BA之“，当2tan ”是正整数时，求 PC的长；(3)作点Q关于AC的对称点Q',连结QQ, A

28、Q, DQ,延长BC交线段DQ于点E,连结AE, QQ分别与AP, AE交于点M, N (如图2所示).若存在常数 k,满足k?MN =PE?QQ,求k的值.33【答案】(1)证明见解析(2) PC的长为1或万(3) 8【解析】 【分析】(1)由等腰三角形的性质得出/ B= / BPQ= / CPD,由直角三角形的性质得出ZBAC=ZD,即可得出结论；1(2)过点 P 作 PH, AB于 H,设 PH= 3x, BH=4x, BP= 5x,由题意知 tan a= 1 或一，当2tan后1时，HA= PH= 3x,与勾股定理得出 3x+4x= 5,解得x= 7 ,即可求出 PC长；当tan a=

29、 1时，HA= 2PH 6x,得出6x+4x=5,解得x= 1 ,即可求出 PC长； 22(3)设QQ与AD交于点O,由轴对称的性质得出 AQ'= AQ= DQ= DQ；得出四边形AQDQ是菱形，由菱形的性质得出QQ±AD, A0= - AD,证出四边形 BEQQ是平行四边2形，得出 QQ'= BE,设 CD= 3m,贝U PC= 4m, AD=3+3m,即 QQ - BE= 4m+4, PE= 8m,由三角函数得出 MO = tan Z PAC= EC ,即可得出结果.AOAC【详解】(1)证明：PQ= BQ,/ B= / BPQ= / CPD, / ACB= /

30、PCD= 90 ；/ A+/ BAC= 90 °, / D+/ CPD= 90 °,/ BAC= / D, .QA=QD;(2)解：过点P作PHXABT H,如图1所示：设 PH= 3x, BH=4x, BP= 5x,，一一 一 八4 _一由题意得：tan / BAC= , / BAPv / BAC,3c- r,-1 .2tan 是正整数时，tan芹1或一，2当 tan 户 1 时，HA=PH= 3x,3x+4x=62_42 = 5，5. x=,73即 PC= 4-5x= 一 ；7，1 , 一当 tan 户一时，HA= 2PH- 6x,6x+4x= 5,1 x=一,2-3即

31、 PC= 4 - 5x=;233综上所述，PC的长为3或3; 72(3)解：设QQ与AD交于点O,如图2所示:由轴对称的性质得：AQ = AQ= DQ= DQ ,四边形AQDQ是菱形，1 1，QQAD, AO= - AD,2BC± AC, .QQ' / BE,. BQ/ EQ；四边形BEQ'Q是平行四边形，.QQ = BE,设 CD= 3m,贝U PC= 4m, AD=3+3m,即 QQ BE= 4m+4, PE= 8m,MO = tan / PAC=AOPCACMN4m(1 m)MO , 4 m 3 3m =,丁 3即 MN= 2MO = 4m (1+m),PEgQ

32、Q'8m(4 4m)-k =8.图1|图2【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的 判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的 判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键.10.已知AB是。的直径，弦 CD，AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交 AB的 延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.(1)如图1,求证：KE= GE;1(2)如图 2,连接 CABG 若/FGB=/ACH,求证：CA/ FE；23(3)如图3,在(2)的条件下，连接 CG交AB于点N,若sinE= , AK= J10 ,求C

33、N5的长.【答案】(1)证明见解析；(2) AEAD是等腰三角形.证明见解析；(3) 20 .记.13【解析】试题分析：(1)连接 OG,则由已知易得 /OGE=/ AHK=90 ,由OG=OA可得/ AGO=/ OAG,从而可 得/ KGE=/ AKH=Z EKG 这样即可得至U KE=GE(2)设/FGB=x,由AB是直径可得/AGB=90,从而可得/ KGE=90-a，结合GE=KE可得，一 。、一 ，_1 ZEKG=90- a,这样在 4GKE中可得/ E=2 ,由/ FGB / ACH可得/ ACH=2 %这样可得2/E=/ACH,由此即可得到 CA/ EF;(3)如下图2,作NP,

34、 AC于P,AH 3由（2）可知 /ACH=/ E,由此可得 sinE=sinZ ACH= 一 设 AH=3a,可得 AC=5a,AC 5 一 CH 4CH=4a,贝U tan Z CAH=由（2）中结论易得 / CAK之 EGK士 EKG= AKC,从而可AH 3AH得 CK=AC=5a 由此可得 HK=a, tan / AKH= 3, AK=Ji0 a,结合 AK=Ji0 可得 a=1,HK则 AC=5；在四边形 BGKH中，由 /BHK=/ BKG=90,可得 ZABG+Z HKG=180,结合ZAKH+Z GKG=180 ； / ACG=Z ABG 可得 / ACG之 AKH,在 Rt

35、APN 中，由 tan Z CAH=4 型，可设 PN=12b, AP=9b,由3 APtanZ ACG=PN- tan/AKH=3可得 CP=4b 由此可得 AC=AP+CP13b =5 贝（J可得 b=9 ,由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股定理解出 CN的长.试题解析：（1）如图1,连接OG.UUI EF切。于 G, OGXEF / AGO+Z AGE=90 ；,. CDAB于 H,/ AHD=90 ；/ OAG=Z AKH=90 ； .OA=OG,/ AGO=Z OAG,/ AGE=/AKH, / EKG4 AKH, / EKG4 AGE,KE=GE（2）设/FGB=x, AB

36、是直径，/ AGB=90 ,°/ AGE = Z EKG=90 - %/ E=180 - / AGE- / EKG=2 4 1 - / FGB=- ZACH,2/ ACH=2 / ACH=Z E,2 .CA/ FE.(3)作 NF)±AC于 P.3 / ACH=Z E, AH 3 >-sin Z E=sinZ ACH=-,设 AH=3a, AC=5a,AC 5.CH 4贝U CH=s/aCCH 4a，tan Z CAH=T7T 彳, AH 31. CA/ FE,/ CAK=Z AGE, / AGE=/AKH,/ CAK=Z AKH,AH.AC=CK=5a HK=CK-

37、 CH=4a, tan Z AKH=- =3, AK= JaH 2HK2 ?0a，- AK= J0 , ,10 a.10 ,. .a=1. AC=5, / BHD=/ AGB=90 ； / BHD+Z AGB=180 ,°在四边形 BGKH 中，/ BHD+Z HKG+Z AGB+Z ABG=360 , / ABG+Z HKG=180 ； / AKH+Z HKG=180 ,°/ AKH=Z ABG, / ACN=Z ABG,/ AKH=Z ACN, tanZ AKH=tanZ ACN=3, . NPXACT P,/ APN=Z CPN=90 ；PN 4在 RtAPN 中，t

38、an Z CAH= -,设 PN=12b,贝U AP=9b,AP 3在 RtA CPN 中，tan / ACN=里=3CP '.CP=4b, .AC=AP+CP=13b,.AC=5, .13b=5,.b=A b=13一. 20 一 CN= Jpn? cp2 =4a/Tq b =-J10 - 1311.在RtABC中，/ACB= 90 °, CD是AB边的中线，DEL BC于E,连结 CD,点P在射线CB上(与B, C不重合)(1)如果 ZA= 30°,如图1, /DCB等于多少度；如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60。，得到线段DF,连

39、结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3,若点P在线段CB的延长线上，且/A= a (0°< av 90。)，连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转2 a得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系 (不需证明)室3【答案】(1)/DCB= 60°. 结论：CP= BF.理由见解析；(2)结论：BF- BP= 2DE?tan 为理由见解析.【解析】【分析】 CDB是等边三角形CP= BF,DP= DF,根据全等三(1) 根据直角三角形斜边中线的性质，结合ZA=300,只要证明即可； 根据全等三角形的判定推出 4DC国A

40、DBE根据全等的性质得出 (2)求出 DC= DB = AD, DE/ AC,求出 Z FDB= Z CDP= 2a 匕 PDB,角形的判定得出 DC国DBF,求出CP= BF,推出BF- BP= BC,解直角三角形求出 CE=DEtan ”即可.【详解】(1). /A=30°, /ACB= 90°,/ B= 60 °,.AD= DB,-.CD=AD= DB, .CDB是等边三角形，/ DCB= 60 :如图1,结论：CP= BF.理由如下:图1 . /ACB= 90； D 是 AB 的中点，DE，BC, / DCB= 60 °, .CDB为等边三角形./ CDB= 60 ° 线段DP绕点D逆时针旋转60得到线段DF