江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题专题8几何变换问题

1、专题08几何变换问题例1.如图，斜边长12cm, /上30。的直角三角尺 ABCg点C顺时针方向旋转 90。至 A' B C的位置， 再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺 ABC勺斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为 .(结 果保留根号)同类题型1.1把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x+y ()A.是一个确定的值B.有两个不同的值C.有三个不同的值D.有三个以上不同的值同类题型1.2已知：如图 ABC勺顶点坐标分别为 A(4, 3), B (0, 3), C( 2, 1),如将B点向 右平移2个单位后再向上平移4个单位到

2、达B1点，若设ABC勺面积为S1,AABjC的面积为S2,则S1,S2的大小关系为()C. S1Vs2D,不能确定A. S1 >&B . S1=S2例2.C. V5 : 2D. V3 : 1如图，P是等边 ABC7卜一点，把 BP绕点B顺时针旋转60°到BP ,已知/ AP' B= 150° , P' A:P' C= 2： 3,则 PB P' A是（同类题型2.1如图， ABC等边三角形，以 AB为边向形外作 ABD使/ ADB= 120。，再以点C为旋转 中心把 CBD转至必 CAE则下列Z论： D A、E三点共线； DC平分

3、/ BDA/ E= / BACDC= D拼DA其中正确的有()C. 3个D. 4个A. 1个EA. 2C. 4D. 5DC同类题型2.2如图，在正方形 ABC珅，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点 M不与B, C 重合)，CN DM CNf AB交于点N,连接OM ON MN下列五个Z论：CN库 DMC CO降 DOM 匕OMM OADAt2+ Ch2= MI2 ;若AB= 2,则S. 0MN勺最小值是2 ,其中正确结论的个数是 ( )同类题型2.3在平面直角坐标系中，已知点 A (3, 0), B (0, 4),将 B0畸点A按顺时针方向旋转得 CDA使点B在直线CD上，连接

4、 0位AB于点M 直线CD的解析式为 .同类题型2.4如图，在矩形ABC珅，AB= 5, BC= 3,将矩形ABC唯点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF点 A落在矩形 ABCD勺边 CD±,连结 CE CF 若/ CEF= a , / CFE= B ,则 tan a - tan 3 =ADE同类题型2.5如图，在RtABC中，Z ACB= 90° ,将 ABC绕顶点C逆时针旋转得到 A' B C, M是BC的中点，P是A' B'的中点，连接 PM若BC= 2, /BAC= 30。，则线段PM的最大值是 BC= EF同类题型2.6如图1, 一副含30&

5、#176;和45°角的三角板 ABOT DEF叠合在一起，边 BC与EF重合,= 12,点G为边EF的中点，边Fg AB相交于点H,如图2,将三角板DE碗点G按顺时针方向旋转到 60的过程中，BH的最大值是 ，点H运动的路径长是 例3.如图，折叠菱形纸片ABCD使得AD的对应边AiDi过点C, EF为折痕，若/ B= 60° ,当Ai E± ABC#时，AR的值等于（EAD= 4,点E是对角线 AC上一点，连接 DE过点E作EF± ED交边的中点，则 EMN勺周长是 DCAB于点F,连接DF交ACT点G将 EFGgEF翻折，得到 EFM连接DM交EF于点

6、N,若点F是AB同类题型3.2如图，/ MON= 40° ,点P是/MONJ的定点，点 A、B分别在OM ON±移动，当4 PAB周长 最小时，则/ APB的度数为（C. 100°D. 140°PG卑同类题型3.3如图，矩形纸片 ABCW, G F分别为AD BC的中点，将纸片,折叠，使D点落在GF上，得PQ连接AF EF,已知HE= HF,下列结论:到4HAE再过H点折叠纸片，使 B点落在直线 AB上，折痕为4 MEH；等边三角形； AE! EF; PHa HAEAB,其中正确的结论是（A.C.D.同类题型3.4 4ABC中，/BAC= 90°

7、; , AB= 3, AC= 4,点D是BC的中点，将ABM AD翻折得到 AD 连 CE则线段CE的长等于.专题08几何变换问题例1.如图，斜边长12cm, /A= 30°的直角三角尺 ABC绕点C顺时针方向旋转 90°至 A' B C的位置,再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC勺斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为 果保留根号).在 RtAABO, AB= 12, Z A= 30 ,BC= 2 AB= 6, AC= 6飞仙,B C= 6, .AB =AC- B C= 6行6, . B CH B C ， B C= B C ，四边形 B C CB是矩形

8、，B B' / BC, B B' = C' C, AB' B' s ABCAB B B' =AC BC '即:63-6 B B6 3 6边形，那么x+y ()A.是一个确定的值C .有三个不同的值解得：B B，= 6- 2|f3 . C C= B" B' =62 3同类题型1.1把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四B .有两个不同的值D.有三个以上不同的值解：(1)当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x=2, y=3,x+y=5；x=2, y=3, x+y= 5;(2)当两直

9、角边重合时有两种情况，短边重合，此时长边重合，此时 x=2, y=5, x + y= 7.综上可得：x+y=5或7.选B.同类题型1.2已知：如图 ABC勺顶点坐标分别为 A(4, 3), B (0, 3), C( 2, 1),如将B点向 右平移2个单位后再向上平移 4个单位到达Bi点，若设 ABC勺面积为Si , AABi C的面积为S2，则Si , S2的大小关系为()D.不能确定A. S1>&B . S1=S2C. S1Vs21.解： ABC勺面积为 S1 = 2 X4X4=8,将B点平移后得到B1点的坐标是(2, 1),1所以 AB| C的面积为S2 = 2 X4X4=8

10、,所以S1 = S2 .选B.同类题型1.3同类题型1.4例2.如图，P是等边 ABC7卜一点，把 BP绕点B顺时针旋转60°到BP ,已知/ AP' B= 150° , P' A：P' C= 2: 3,则 PB P' A是()A.啦：1B.2:1C.邓：2D.4:1解：如图，连接 AP BP绕点B顺时针旋转60°至ij BP ,JCBP BP , / ABR / ABP = 60 , 又ABB等边三角形，AB= BC / CBP + / ABP = 60 ,Z ABF / CBP ,在AB可口ACBfP 中，BP= BP. /AB

11、2 Z CBP ,AB= BC. .AB陛 ACBP (SAS,1 .A%P1 C2 P' A： P' C= 2： 3,3 , Al 2 P A, 连接PP，则 PBP是等边三角形， ./ BP P= 60° , PP = PB . / AP B= 150 , .Z AP P= 150° 60° = 90° , .APP是直角三角形，3设 P A= x,则 AP= 2 x,根据勾股定理，PP = AP2- P' A2= Jx2_x2=专 x,则PB=专x,5 . PB P A= 2 x： x = i'5 : 2.选C.同类

12、题型2.1如图， ABE等边三角形，以 AB为边向形外作 ABD使Z ADB120 ,再以点C为旋转 中心把 CBDI转至必 CAE则下列Z论： D A、E三点共线； DC平分/ BDA/ E= / BACDC= D拼DA其中正确的有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个解：设/ 1 = x 度，则/ 2= (60 x)度，/ DBC= (x+ 60)度，故/ 4= (x+60)度,. / 2+Z 3+ / 4=60 x+60 + x+60 = 180 度,，口 A、E三点共线;ED60° 得到 ACEBC哦着点C按顺时针方向旋转 .CD= CE / DCE= 60 , .CD助等边

13、三角形， ./ E= 60° , ./ BDC= / E= 60 , ./ CDA= 120° 60° = 60° ,. DC平分 / BDA. / BAC= 60 , /E= 60° ,/ E= / BAC.由旋转可知AE= BD又. / DAE= 180° ,DE= AE+ AD. CD助等边三角形，DC= D母 BA.同类题型2.2如图，在正方形 ABCDfr, O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点 M不与B, C重合），CNL DM CNf AB交于点 N,连接OM ON MN下列五个Z论：CNB2 ADM。 C

14、O阵 DOM 匕OMM OADA.+。而=MI2 ;若AB= 2,则S4 OMN最小值是2 ,其中正确结论的个数是 （ ）/ BCD= 90 ,C. 4又. CNL DM ./ CDIM- / DCN= 90 , ./ BCN= / CDM又. / CBN= / DCM= 90 , .CN国ADMQASA,故正确;DC根据 CN里 DMC可得CM= BN又 / OCM / OBN= 45° , OC= OB. OC腓 AOBIN (SAS,.OM= ON / COM / BON/ DOC- / CO随 / COB- / BPN 即/ DO随 / CON又.DO= CO .CO即ADO

15、KSAS,故正确； /BONF / BOM= /CO味 / BOIW 90° ,丁./MO电90° ,即 MON1等腰直角三角形，又 AOD1等腰直角三角形， . OMMAOAID 故正确；AB= BC CM= BNBM= AN又,RUBMN3, bi+bNmN ,.A必+cM=mN ,故正确；OCMP AOBN 四边形BMOIW面积= BOC勺面积=1,即四边形 BMOINJ面积是定值1, 当 MNB勺面积最大时，设 BN= x = CM 则 BM= 2-x,1.MNB勺面积=2x (2x)MNOJ面积最小,当x=1时， MNB勺面积有最大值2x2 +x,.11 1一一八

16、此时$ OMN的取小值是1-2=2，故正确;综上所述，正确结论的个数是 5个, 选D.同类题型2.3在平面直角坐标系中，已知点 A (3, 0), B (0, 4),将 BO畸点A按顺时针方向旋转得 CDA使点B在直线CD上，连接 O汝AB于点M直线CD的解析式为.解： BOAg点A按顺时针方向旋转得 CDAn=4BO庠 ACDAAB= AC OA= AD. R D C共线，ADL BC , BD= CD= OB. OA= AD B0= CD= BD. ODL AR设直线AB解析式为y=kx + b,把A与B坐标代入得:3k+ b= 0 b=44 k= 解得：k 3 ,b= 44直线AB解析式

17、为y=1x+4,3，直线ODW析式为y = 1 x,44 y=-3x+4 联立得：Qy4解得:48X=25483636，即 M(25，25 y=25M为线段OD的中点，9672、 D(,), 2525设直线CD解析式为y= mx+ n,9672n= _把B与D坐标代入得：2525 ,7解得：m= - 24 , n= 4,7则直线CDS析式为y=w；x + 4.同类题型2.4如图，在矩形ABC丽,AB= 5,BC= 3,将矩形ABC唯点B按顺时针方向旋转得到矩形 GBEF点 A落在矩形 ABCD勺边 CD±,连结 CE CF,若/ CEF= a , / CFE= B ,则 tan a

18、- tan 3 =.解：过C点作MNL BF,交BG M交EF于N,由旋转变换的性质可知，/ ABG= / CBE BA=BG=5, BC-BE=3,由勾股定理得，CG= . DG= DC- CG= 1,'b(2+D(2 =4,则AG=+ D(2 = ,70 ,BA BGBA= BG，/abg= zcbeBC BE.AB6 ACBECE BC 3AG AB 5 '解得，CE=310 , 5 . / MBC= / CBG / BMC= / BCG= 90 , BCMT ABGCCM BC =. CM 3=,即一=-,CG BG'4 5 '12 .CM=, 5MN=

19、 BE= 3, 12 3 CN= 3-=-, 55. en= lcE?-cr2=9 , 59 16 .FN= EF EN= 5-=, 5533,八 CN CN 5、，51"tan 口 tan § EN FNT 9 * 166 .55同类题型2.5如图，在RtABC中，/ ACB= 90° ,将 ABC绕顶点C逆时针旋转得到AB'C,M是BC的中点，P是A' B'的中点，连接 PM若BC= 2, /BAC= 30。，则线段PM的最大值是 .ACA7SC B解：如图连接PC.A在 RtAABC, ./ A= 30 , BO 2,AB= 4,根据

20、旋转不变性可知，A B' = AB= 4,. A' P= PB ,一 1PO 2 A B = 2,.CM= B阵 1,又. PMC PO CM 即 PMC 3,越&C勺,M图IS2幺同类题型2.6如图1, 一副含30°和45°角的三角板 ABC DEF叠合在一起，边 BC与EF重合，BO EF= 12,点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H,如图2,将三角板DEFg点G按顺时针方向旋转到 60。的过程中，BH的最大值是 ，点H运动的路径长是解：如图1中，作HM_ BC于M 设HM= a,则C阵HM= a.PM勺最大值为3 （此时P、C、M共线）.

21、在 RtABHhM, BH= 2H阵2a, BM=木 a,BMF FM= BG.二/ a+a= 12,a= 6 y 3 6,BH= 2a= 12 小12.如图2中，当DGL AB时，易证GH，DF,此时BH|的值最小，易知 BHi=BK KH|= 3 33 +3,E i 图24 .HH = BH- BH| = 9 «3 15,当旋转角为60°时，F与H2重合，此时BH的值最大，易知最大值 BH2=6 3 ,观察图象可知，在/ CGF> 0°到60°的变化过程中，点 H 相应移动的路径长= 2HH + H巾=18 3-30+6 后一（12 J312）

22、=12 4318.例3.如图，折叠菱形纸片解：如图所示，延长 AB,交于点G,D.V3-1-2ABCD使得AD的对应边A1D1过点C, EF为折痕，若/ B= 60° ,当A1 E± ABADJ G. Al E，AB / EA C= /A= 120 ,G= 120° 90° = 30° ,又. / ABC= 60 , ./ BCG= 60° 30° = 30° ,./ G= / BCG 30 ,:.BC= BG= BA设 BE= 1, AE= x = A1 E,贝U AB= 1 + x=BC= BG A1 G= 2

23、x, .GE= 1+x+ 1 = x + 2, RtAA1 GE中，AjE2+gE=A1G2 ,. x2+ ( x + 2) 2= ( 2x) 2 ,解得x=1 + ；5 ,(负值已舍去)AE= 1+v'3 ,BE 1A,§-1AE 1 + /32'选D.同类题型3.1如图，正方形 ABC珅，AD= 4,点E是对角线 AC上一点，连接 DE过点E作EFL ED交 AB于点F,连接DF交ACT点G将 EFGgEF翻折，得到 EFM连接DM交EF于点N,若点F是AB 边的中点，则 EMN勺周长是 .DC3 PCL AB,四边形ABCDI正方形, ./ACD= 45 , .

24、 PEC等腰直角三角形，PE= PC设 PC= x,贝U PE= x, PD= 4- x, EQ= 4-x,PD= EQDPE= / EQF= 90° , / PED= / EFQ . DPEE AEQFDE= EF,. DEL EF, . DEF是等腰直角三角形，易证明 DE白 BECDE= BEEF= BE. EQL FB,一 1 一. FQ= BQ= 2 BF,. AB= 4, F是AB的中点，BF= 2,.FQ= BQ= PE= 1,. CE=也,PD= 4- 1 = 3,RtDAF中，DF=、42 + 22=2 6,DE= EF= "；而，如图 2, DC/ AB

25、,D5图. DG» AFG/A 舒器翳4 =2,. CG=2AG DG=2FGFG=*2%5 =等. AC= 42+42 = 4、5 ,2 八82 .C(3=-X4 2 = -, 33'“8 25 2 EG= 七 2= 士 , 33连接GM GN交EF于H,GFE= 45° , .GHF等腰直角三角形,2 5八310GH= FH=-j=, 23EH= EF FH= 0Q -33，由折叠得：GML EF, MH=GH= 邺 ,3 ./ EHIM= / DE已 90 , DE/ HM . DENh AMNH.DE EN =、MH NH',遮 _ EN _3 亚-

26、nh-3'3EN= 3NHEN+ N* E*.3吸NH= EH- EN=2 1010_ 10十 (Rt AGNH, GN='gHn42= 52 6DC由折叠得：MNGN EMEG .EMN勺周长=EN+ MNF EM®+我+逑=5也 + '、' 1。;2632'解法二：如图 3,过 G作 GKL ADT K, G GRLAB于 R,R F 图3 . AC平分 / DAB . GGFR1qcAD KG$ ADG 2AD 4=2,SA agf 1af gr AF 2，?AF . GR1 DG h SA ADG 2 -二=2,SA AGF 1GF.

27、hDG .Gf = 2,SADNFDF= DN = 3Sa mnf fm MN 5其它解法同解法一， “日 人 V10 52 5J2 5亚十历可得：. EMN勺周长=EWMN EM=F + - + -= 、 C ； 2632解法三：如图4,过E作Ed AP, EQLADDC图4.AC是对角线，E2 EQ易证 DQ序口 FPEir等，DE= EF, DQ= FP, H AP= EP 设 EP= x,贝U DQ= 4- x=FP= x-2, 解得x=3,所以P口1,AE=+ 32 = 3 2 ,. DC/ AR . DG© AFGA同解法一得：CG= 2X45 = 84， 338 25

28、2EG=+_ J2=4-，333-1 一AG= AC=3过G作GHL AB过M作MKL AB过 M作MIA AD则易证 GH目FKMi:等，_ 4_2. GH= FK=- , HF= MK=;, 334 10.2 10. ML= AK= AF+ FK= 2 + -= , DL= Ad MK= 4 =,3 333即 DL= LM2 .Z LDM= 45°3 DM在正方形对角线 DB上，过 N作 NIAR 则 NI=IB, 设 NI = y,. NI / EPNI FI 一=一 EP FP.上031'解得y= 1.5 ,所以 FI = 2 y = 0.5 , .I为FP的中点,

29、N是EF的中点，EN= 0.5 EF= 10 ,2， BIN是等腰直角三角形，且BN=BI = NI=1.5 ,10 2,BQAB-A4-= - , BM= 33,MN= BN- BM= 02-312 = 2 ,0N同类题型 3.2如图，/ MO时40最小时，则/ APB的度数为(A. 20°B , 40°解：如图所示: .EMN勺周长=EN+ MN- E阵邺+乎+芈=52：10 .2632，点P是/MONi的定点，点 A、B分别在 OM ON±移动，当4 PAB周长 )C. 100°D, 140°分别作点P关于OM ON的对称点P'、P，连接 OP、OP、P P，P' P交OM ONf点A B, 连接PA PB此日PAB周长的最小值等于 P' P'.如图所示：由轴对称性质可得，OP = OP = OP / P' OA= / POA / P OB= / POB所以/ P' OP =2/MO时 2X 40 = 80 ,所以/ OP P = /OP P' = ( 180 80 ) + 2=50 ,又因为/ BPO= /OP B= 50 , / APO= /AP O=