2019年创新设计-4-2

1、4.2平面向量的基本定理及坐标表示in考纲教材要览、I（理解平面向量的基本定理及其意义/会用平面向量基本走理解决简单问题/掌握平面向量的正交分解及具坐标表示/会用坐标表示平面向量的加法.减法与数乘运算/理解用坐标表示的平面向量共线的条件）教材复习1共线向量的条件如果向量为非零向量,那么向量与向量4共线o有且只有一个实数2,使得=加2.平面向量的基本定理如果勺,勺是一个平面内的两个不共线向量 < 那么对这一平面内的任一向量 a /有且只有一对实数心/ >2® : a =iei +心2其中不共线的向量勺r e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base).3.平面向量的

2、坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量初丿作为基底.由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量"可表示成a=xi+yj9由于“与数对（兀，刃是对应的，因此把（兀，刃叫做向量a的坐标,记作“=（小j）,其中工叫作“在兀轴上的坐标，丿叫做在y轴上的坐标.（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.4平面向量的坐标运算若"=（兀1 W 二（兀2 "2） 则"士 =（兀1±兀2 "1 士丿2）（2）若A（®）f B（

3、x2 小）则 7b =（兀2 兀1 "2 J1）若"=（X f J） f则加=（Zv,勿） (4)若a = (* f Jj) f b = (x2 f j2) f 则abxy2-x2yi=o.基础自测1.若前 =(2,4), AC(1,3),则必)A. (1，1)B. (1, 1) C. (3,7) D. (3, 7)解析：BC=AC前=(1,3)(2,4)=(1.1)答案：B2.已知两点4（4，1）, B（7, -3）,则与4B同向的单位向量是（）4-541_5j3-5tB-Dy5J4_5y卜c3-5解析=/A(4,l) f B(7 f 3)f AB = (3, 4),与蹄

4、向的单位向量为ABIABI、 /4-5-3m答案:A3(2009重庆高考)已知向量 =b = (2, x),若与4一勿平行，则实数X的值是()A. 一2B. 0C 1D 2解析:a + = (3 , x + 1),4 - 2 = (6,4x - 2) f.3(4x-2)-6(x + l) = 0,解猱=2答案：D4.如右图，平面内有三个向量尿OB. OC,其审灰号亦的夹角为120° TOA 乾C的夹角为30° 7电I鬲T=IOBI二1, IOCI二亍，OC =AOA + nOB(X>“WR),贝！U+“的值为解析：如右图,OC-OD + OE-AOA+pOB在OCD中

5、 f ACOD = 30° , ZOCD = Z.COB = 90° f 可求IODI同理可求IOEI = 2 ,N = 4.“ = 2Q+“ = 6答案：6Ih考点分类讲练、I平面向量基本定理及其应用利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底来表示其他向量, 即用特殊向量表示一般向量.【例1】如右图，在zMBC中，M是BC的中点，N在边AC上,且AN=2NC, AM与BN相交于F点，求AF : FM的值.解答：设CA=a9 CB=b9+（| 一心b,苗=诙+丽=苗+加农"+2（-+丄a）= a233即AP : PM=4 : 1.=一“+2（ + |）

6、= （争 1）“+（12）b,变式1 如右图，在AABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、4C于不同的两点M、N, AB=mAM9 AC=nAN9则加+兀的值为解析：设AC=bf MO=AO 方)一+)“+詁同理册=|a+(|)A 由MO II NOMO=XNOT 即X整理得加+n=2.答案：2题型酬平面向量的坐标运算利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则， 通过列方程（组）进行求解.在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终 点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标.【例2】已知点4(一1，2), 5(2,8)以及4C= 3 AB DA = - 3

7、BA, 求点C、D的坐标和厉的坐标.解答：设点C、D的坐标分别为(”儿)、(x2, j2),由题意得AC=(x1 + l,儿一2), Zf=(3,6),DA = (_1x22j2), BA = (_3, 6).A 1A 1 A1 A因为AC= 3AB, DA = - jBA,所以有“解得和所以点C. D的坐标分别是(0,4)、(一2,0),从而CD=(2, 4).变式2已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7，10),若AP=AB+Z4C(2WR),则当2为何值时，点P在第三象限？解答：AB+Z4(3,1) +>1(5,7) = (3+52, 1+72).x2=3+52,一3=1 + 7

8、益兀=3久+ , 丿=72+4.4P=(3+52, 1+72),设P点的坐标为(小刃, 贝0AP=(x-2, j-3), 又TP在第三象限，fx<0,52+5<0,解得2<1,即当加一1时，点F在第三彖限.题型单位向量的应用1.利用单位向量可以证明正弦定理，推导解析几何中点到直线的距离公式.2.充分地使用单位向量，在向量的运算过程中可起到事半功倍的效果,比如求向量"在向量方向上的投影即【例3】若平面向量与向量°=(1, 一2)的夹角是180。,且1川=3、怎贝弘等于()A. (3,6)B. (3, 6) C. (6, 3) D. (6,3)解析：解法一：设

9、=(兀，y)9由已知条件心+护=3聽整理得fx2 +护=45,(龙 _2歹=即=15.解得九 "=（_3,6） y=6,解法二：设=（小j）,由已知条件护2 W=3品卩+2兀=0,（舍去）/ = （ 一 3,6）解法三：圈=& $p,则3诟（|詁）=（一艮6）答案:A变式3平面向量“、b, ab=5,已知a = (4, 3), 11 = 1,则向量b =解析：解法一：由题意可知:1«1=5, 11 = 1, ab=5=>cos a, b = l = i=1,即"、共线并且同向，又b = l=b =a-b解法二：令方= (x, j),由1*1 = 1,

10、可得2+丿由a-b=5可得，4x3y=5.联立解得X=生 厂一g故於=£ -|) 答案肩£【方法规律】1 向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础2利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，具具体过程大致为:(1) 适当选择基底(两个彼此不共线向量)；(2) 用基底显示几何问题的条件和结论；(3) 利用共线向量的充要条件.向量垂a直的充要条件f通过向量的运算解决平行.垂直.夹角和距离的证明和计算等问题.Ik考题深度分析、I（2009-安徽）（本题满分4分）给定两个长度为1的平面向量04和OB,它们的夹角为120。，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA +yOB9其中x, yWR,贝山+丿的最大值是0A【答题模板】解析：以o为坐标原点,OA为工轴建立直角坐标系2八则OA = (1,0),OB-弊设ZAOC",则页 = (cos 0 , sin 0),由0(7弐0石匕0万7得x =斗 sin 02冯y = psin d.a/3x y = cos 0.解得x +y =吊 sin 0 + cos 0 = 2sin(& + 30°) f又0°S处 120° f 即30°< + 30°<150°