数值分析第二章复习与思考题

1、第二章复习与思考题1.什么是拉格朗日插值基函数它们是如何构造的有何重要性质答：若n次多项式"x (j0,1, ,n)在 n 1 个节点 x°x1xn上满足条件则称这n基函数.以lklj xk0,1个n次多项式x为例，由lk xlk x其中A为常数，利用lk xk1k(x)对于li x (ij,j,j,k 0,1, ,n,l0 x,lx, ,ln x为节点x0,x1， ，xn上的n次拉格朗日插值所满足的条件以及1k x为n次多项式，可设x x0x xk 1 x xk 1xn ，1 A xkx0xkxk 1 xkxk 1xkxkx0 xkxk 1 xkxk 1 xkxnx x0

2、x xk 1 x xk 1 x xnxkxoxkxk 1 xkxk 1xkxnj 0 xk xj j k0,1,li xk xili xk 0,1,n ，特别当k0时，有1.2.什么是牛顿基函数它与单项式基1, x,有何不同答:称 1,x x0, x x0xx1 ,x0x xn 1为节点x。，x1，,xn上的牛顿基函数,利用牛顿基函数，节点x0,x1,xn上的n次牛顿插值多项式可以表示为Pn xa0a1x x0an x x0 x xn 1其中akf x0,x1,xk,k0,1,n .与拉格朗日插值多项式不同,牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如Pk 1 xPk

3、x ak 1 x x0 xxk其中ak i是节点xo,xi, ,Xki上的k 1阶差商，这一点要比使用单项式基1,x, ,xn方便得多.3 .什么是函数的n阶均差它有何重要性质答： 称 f x0, xk -fxkf x0 为函数 fx 关于点 x0,xk 的一阶 均差，xk xof xo, xi, xk f x0, xkf x0 , x1 为 f x 的二阶均差.一般地，称xk Xif xo,xi, Xnf x0, ,Xn2,Xnfx0,xi, ,xn1 为 f x 的 n 阶均差.xn xn 1均差具有如下基本性质：(1) n阶均差可以表示为函数值f X0 , f X1 , , f Xn的线

4、性组合，即f xjnfX0,X1, XnXjX0XjXj 1 XjXj 1XjXn该性质说明均差与节点的排列次序无关,即均差具有对称性(2) f Xo,X1,Xnf X1,X2,Xnf X0,X， ，Xn1Xn X0(3)若f x在a,b上存在n阶导数，且节点xo,%, ,Xn a,b ,则n阶均差与n阶导数的关系为f nf X0,X1,Xn ， a,b .n!4 .写出n 1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同答：给定区间 a,b上n 1个点a x0x1Xn b上的函数值yif xi (i 0,1,n),则这n 1个节点上的拉格朗日插值多项式为nLn x yklk x

5、k 0n x xj其中 lk XL , k 0,1, ,n.j 0 Xk Xj j k这n 1个节点上的牛顿插值多项式为Pn x a0a1 xx0an XX0X Xn 1其中akf x0 ,x1, , xk , k0,1, ,n 为 f x 在点x0, x1, xk 上的 k 阶均差 .由插值多项式的唯一性,Ln x 与 Pn x 是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组Ax y ，其中系数矩阵与使用的基函数有关 . y 包含的是要满足的函数值y0 ,y1 ,

6、 ynT . 用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵定系数，利用插值条件，有(1)答：单项式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛顿基底.(1) 若使用单项式基底，则设Pna0a1 xanXn ,其中 ao, ai, ,an为待利用插值条件，有a0a1x0Axa0a0为范德蒙德矩阵.(2) 若使用拉格朗日基底，则设拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有a0 l0 x0 a0l 0 x1a0l0 xna1 x1a1 xn的系数矩阵x0x1xna1l 1 x0 a1l1 x1a1l1 xnn anx0n anx1nanxnn x0n x1n xny0y1，ynLn xanlanlanlnAXa0l0

7、xa1l1 xanln x ，其中 lk x 为x0y0x1xny1 ，yny的系数矩阵A为6.用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数, 到高给出排序.为单位矩阵.(3)若使用牛顿基底，则设值条件，有a。 ai X0a。 a Xia° ai Xn 即a° y° a° ai Xia° ai Xn故求解Ax y的系数矩阵A为iiXixAix2X0iXnX为下三角矩阵.Pn X a° ai XX0XanX0X0X0XanXiX0XiX0anXnXXnX0yiXanXnX0XnXnX0 XnXiXnX0an XX0XXn

8、i ,由插Xn iy0Xn iyiXn iynXn iynXiXnXiXnXn i试按工作量由低则工作量由低到高分别为拉答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数, 格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.7 .给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差答：设fnx在 a, b上连续，fnix在 a,b内存在，节点a X0XiXn b , Ln X是满足条件Ln Xjyj,j 0,i,刀的插值多项式，则对任何x a,b ,插值余项这里Rn xf x Ln xa,b且与x有关,fn in i(X) ,X0X XixXn若有max f n 1 x M n 1,则Ln x逼近f x的截断误差

9、 a x bRn xMn 1n 1 J n 1 *8 .埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么什么是泰勒多项式它是什么条件下的插值多项式答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等称Pn x f x0f x° x x°nf x0n!nxx。为f x在点x。的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为Pnk x。f k x。，k 0,1, ,n,泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点x0处给出n 1个插值条件得到的n次埃尔米特插值多项式.9 .为什么高次多项式插值不能令人

10、满意分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何 优点答：对于任意的才1值结点，当 n 时，Ln x不一定U敛于f x ,如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意.分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象10 .三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别哪一个更优越请说明理由答：三次样条插值要求插值函数S x C2 a,b ,且在每个小区间xj, xj 1上是三次多项式，插值条件为S xj yj, j 0,1, ,n .三次分段埃尔米特

11、插值多项式Ih x是插值区间 a,b上的分段三次多项式，且满足1Ih x C a,b ,插值条件为I h xkf xk , I h xk f xk ,(k 0,1, ,n).分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样 条插值更优越一些.11 .确定n 1 个节点的三次样条插值函数需要多少个参数为确定这些参数，需加上什么 条件答： 由于三次样条函数S x 在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间xj

12、,xj 1上要确定4 个待定参数，n 1个节点共有n 个小区间，故应确定4n 个参数，而根据插值条件， 只有 4n 2 个条件， 因此还需要加上2 个条件， 通常可在区间a,b 的端点 a x0， b xn上各加一个边界条件，常用的边界条件有3 种：(1) 已知两端的一阶导数值，即S x0f0 ， S xn fn .(2) 已知两端的二阶导数值，即S x0f0 ， S xnfn ,特殊情况为自然边界条件S x00 ， S xn0 .(3)当f X是以Xn Xo为周期的周期函数时，要求S X也是周期函数，这时边界条件 就满足S X 0 S Xn 0 ， S X0 0 S Xn 0 ， S X00

13、 S Xn 0这时 S X 称为周期样条函数.12.判断下列命题是否正确(1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多.(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的.(3) li X (i 0,1, ,n) 是关于节点Xi (i 0,1,n) 的拉格朗日插值基函数，则对任何次n数不大于n 的多项式P X 都有 l i X P XiP Xi0(4) 当 f X 为连续函数，节点Xi (i 0,1, ,n) 为等距节点，构造拉格朗日插值多项式Ln X ，则 n 越大 Ln X 越接近 f X .(5) 同上题，若构造三次样条插值函数Sn X ，则 n 越大得到的三次样条函数Sn X 越接近 f X .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的.(7) 函 数 f X 的 牛 顿 插 值