函数的性质综合应用

1、训练目标函数的单调性、最值、奇偶性、周期性 .训练题型(1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数 性质有关的不等式问题.解题策略利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想一、选择题1. (2016广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是()冈A. y= log3xB. y= 3C. y= x2D. y= x32. (2016荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x (0

2、,1)时，f(x) = 3x1,则f怨5建于()a.a/3+1b.>/3- 1C. ys 1D. y/3 + 13. (2016西安模拟)设f(x)是定义在实数集上的函数，且 f(2 x) = f(x),若当x> 1时，f(x) =ln x,则有()A.f骈(2)<f(2)B. f:<f(2)<f。C假强储D.的)<唠电1 s4.已知函数f(x) = log1(x2ax+3a)在1, +oo)上单调递减，则实数a的取值范围是()3A. ( 8, 2B. 2, +oo)叶 2, 21D.(-i 25. (2016威海模拟)函数f(x) = (x 2)(ax+

3、b)为偶函数，且在(0,十)上单调递增，则f(2-x)>0的解集为()A. x|x>2 或 x< 2B. x 2<x<2C. x|x<0 或 x>4D, x|0<x<46. (2016杭州高三联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x) + f( x) = 0,且在(一00, 0)上单 调递增，如果 X1+X2<0 且 X1X2<0,则 f(X1)+f(X2)的值()A.可能为0B.恒大于0C .恒小于0D.可正可负7. (2016浙江诸暨中学交流卷一)德国着名数学家狄利克雷在数学领域成就显着，以其名字一 1 xCQ, 一 命

4、名的函数f(x)=被称为狄利克雷函数，其中 R为实数集,Q为有理数集，现° xC?rQ有关于函数f(x)的如下四个命题：f(f(x) = 0;函数f(x)是偶函数；任取一个不为零的有理数 T,f(x + T) = f(x)对任意的x R 恒成立；存在三个点A(X1, f(X1), B(X2, f(X2), C(X3, f(X3),使得 ABC为等边三角形.其 中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48.关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：若函数y=f(x)满足f(x+ 1) = f(3+x),则f(x)的一个周期T=2;若函数y=f(x)满足f(x +1) = f(

5、3x),则f(x)的图象关于直线x=2对称；函数y= f(x+1)与函数y= f(3 x)的图象关1 1于直线x= 2对称；若函数y=与函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)=一；.其中正 “X十1X 1确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题9 . (2016孝感模拟)已知y= f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当0&X&2时，f(x) = x2 -2x,则当 10&X&12 时，f(x) =.10 .对于函数f(x),若存在常数aw0,使得x取定义域内的每一个值，都有f(x) = f(2a x), 则称f(x)为准偶函数.下列函数中

6、是准偶函数的是 .(把正确的序号都填上)f(x)=|x+2|；f(x) = x2；f(x)=sin x； f(x) = cos 2x.X 4x 3, 1 0 x 0 3,11. (2016北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f(x) =卜3 x>3若在其定义域内存在n(n>2, n N*)个不同的数X1, X2,，Xn,使得i-=亡红=上迎 则n X1X2Xnf：x的最大值是;若n = 2,则二"的最大值是Xn12. (2016武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f(x) = alog2X|+1(aw0),定义函数F(x) = f x>0-f.?, x<0,给

7、出下列命题: F(x)=|f(x)|;函数F(x)是奇函数;当 a>0 时,若 x1x2<0, x + x2>0,则 F(x1)+F(x2)>0 成立;当a<0时，函数v= F(x2-2x- 3)存在最大值，不存在最小值.其中所有正确命题的序号是答案解析1. D 2.D3. C 由f(2 x) = f(x)可知函数f(x)的图象关于x=1对称，所以 f2)= fl； fgi=fj,又当x>1时，f(x)=ln x,单调递增，所以fgj<fe,<f(2), 即 f®fg卜(2).4. D 令t= g(x) = x2ax+3a,易知f(t)

8、= log1t在其定义域上单调递减，要使 f(x) = log1(x2 33ax+ 3a)在1, +00)上单调递减，则t=g(x) = x2 ax+ 3a在1 , +00)上单调递增，且t =- ay 1g(x) = x2ax+3a>0,即 2'g ：1 >0,aw 2，所以 1la>-2,口 r1即2<a0 2.5. C 由题意可知f( x) = f(x),则(一x 2)(ax+b) = (x 2)(ax+ b),即(2a b)x= 0 恒成立，故 2ab=0,即 b=2a.则 f(x) = a(x2)(x+2).又函数在(0, +00)上单调递增,所以 a

9、>0.f(2 x)>0,即 ax(x 4)>0,解得x<0或x>4.故选C.6. C 由 XiX2<0,不妨设 X1<0, X2>0.X1 +x2<0, 二1< 一X2<0.由f(x) + f(x) = 0,知f(x)为奇函数,又由f(x)在(一oo, 0)上单调递增，得f(xi)<f( X2)= f(x2), f(Xl)+f(X2)<0.故选 C.7. C 命题，因为f(x)=0或f(x)=1,即f(x)CQ,所以f(f(x)=1,故错误；命题， 因为x和一x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f( x) = f(

10、x),故正确；命题，因为T为有理数，所以x+ T和x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(x+ T) = f(x),故 正确；命题，取B, C两点在x轴上，A点在直线v= 1上，由两直线距离是1,可知BC 边上的高为1,所以三角形的边长是弩,当A的横坐标为有理数X1时，B, C的横坐标分 别为X1胄，为无理数，所以也成立.故选C.8. C 在 f(x+ 1) = f(3+x)中，以 x 1 代换 x,彳4f(x) = f(2 + x),所以正确；设 P(x1, y)，X1 + X2Q(x2, y2)是 y=f(x)上的两点，且 x1 = x+ 1, x2 = 3 x,有2 =2,由 f(x1

11、) = f(x2),得 y1=y2,即P, Q关于直线x= 2对称，所以正确；函数y=f(x+ 1)的图象由y=f(x)的图象向左 平移1个单位得到，而y=f(3 x)的图象由y=f(x)的图象关于y轴对称得y=f(x),再向右 平移3个单位得到，即y=f (x3)=f(3 x),于是y=f(x+ 1)与函数y=f(3 x)的图象关-1 + 3于直线x=1对称，所以错误；设p(x，y)是函数f(x)图象上的任意一点，点p关111 一 一于原点的对称点P (-x, y)必在y=的图象上，有一y=,即y=,于是f(x)x+1x+1 x 11 一 .=一,所以正确.x- 19. x2 + 22x 1

12、20解析二叶仅)在R上是周期为4的奇函数，f( x)= f(x).由f(x+ 4) = f(x),可得f(x 12)2一一.= f(x).设一2&x& 0,则 0< -x<2, f(x)= f( x) = x 2x,当 100 x< 12 时，一20x2_2 一 一-12< 0, f(x) = f(x 12)= (x 12)2 2(x 12)= x2 + 22x 120.10.解析 因为f(x)=f(2a x)(aw 0),所以函数f(x)的对称轴为x= a.所以准偶函数的定义等价于 “若函数f(x)存在对称轴x= a(aw0),则称f(x)为准偶函数”

13、.因为函数f(x)=|x+ 2|的对称轴 为x= 2,所以f(x)=|x+ 2|是准偶函数；因为f(x) = x2只有一条对称轴是x= 0,不满足准偶 函数的定义，所以f(x) = x2不是准偶函数；因为x=2是函数f(x) = sin x的一条对称轴，所以 函数f(x)=sin x是准偶函数；因为x=冗是函数f(x)= cos 2K的一条对称轴，所以函数f(x) = cos 2x是准偶函数.综上，应填 .x +4x-3, 1<x<3,11 . 3 4 2 我解析画出函数f(x)=$的图象，如图，使得=lx-3, x>3x1的x1，x2,，xn的个数就是直线y= kx与y =

14、 f(x)的图象的交点个数，由图知直线y=kx与y=f(x)的图象的交点个数最多有三个，所以 n的最大值是3.当nf xn2=2时，工-的最大值就是直线V= kx与一x+4x 3(1 <x< 3)的图象相切时k的值，由判别 式可得k= 42屹也=4 + 2既不合题意舍去)， 即手的最大值是 4-2击12 .1改？，xi>2-a，解析因为|f(x)|=1if 改？，0<ixi<2-a，f?x?, x>0,而F(x) = j这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，即F(x) = |f(x)|不成f?x?, x<0,立，错误.当 x>0 时,F(x) = f(x) = alog2|x| + 1, x<0, F( x)= f( x)= (alog2| x| + 1) = (alog2|x|+ 1) = F(x);当 x<0 时，F(x) = f(x)= (alog2|x|+ 1), x>0, F( x)= f( x) = alog2|-x|+ 1 =alog2|x|+ 1 = - F(x),所以函数 F(x)是奇函数，正确.当 a>0 时,F(x) = f(x) =