证明 华东师大版

1、证明一. 本周教学内容： 证明 1. 证明的认识 2. 用推理方法研究三角形包括：（1）等腰三角形，（2）角平分线，（3）线段的垂直平分线，（4）逆命题、逆定理。二. 教学过程：（知识点回顾） 1. 用公理、定理作为逻辑推理证明的依据，从而证明新的命题成立，常用公理如下： （1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 （3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等。 （4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。 2. 等腰三角形： （1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角

2、所对的边也相等，简写成“等角对等边”，这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。 （2）重要性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。 3. 角平分线： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 4. 线段的垂直平分线上 （1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 （2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。【典型例题】 例1. “三角形内角和180°”的证明。 方法1： 方法2： 方法3： 方法4： （注：通过作平行线将角

3、转化），证明过程略。 例2. “四边形的内角和等于360°”的证明。 常用的方法是将四边形转化成三角形，利用三角形的内角和： 也可以通过平移角的方法证明： DEBC，FHAB 46B 3C 5A ABCADC543ADC360° 例3. 如图，已知：ABDE，观察A、C、D的关系如何？ 图1： 方法一：延长CD交AB于F ABDE 1CDE 又1AC CDEAC 方法二：延长ED交AC于F ABDE CFDA 又CDECCFD CDECA 方法三：过C作CFAB ABDE，DECF 1D180° 12A180° D2A 图2： 方法一：ABDE ADEA

4、DC 方法二：延长BA、CD交于F ABDE FEDC BACFCEDCC 方法三： 解略 此题是平移角的训练，关键体会只需移动角的位置。 例4. 已知ADCD，C15°，ABE30°，求A。 解：方法一：延长AB交CD于F 则ABECBF30° AFDCCBF15°30°45° ADF90° A180°ADFAFD45° 方法二：过B作BFCD交AD于F 则EBFC15°，BFACDA90° ABFABEEBF45° A180°ABFAFB45° 例5.

5、 已知：如图，ABCD，BE、CE分别是ABC、BCD的平分线，点E在AD上。 求证：BCABCD （分析：一般证明线段和差时有截长法，补短法） 方法一：截长法（因为要证BCABCD，在线段BC上截取BFAB，然后证明CFCD，或在BC上截取CFCD，再证明BFAB。） 如上图，在BC上截取BFAB，连结EF 在ABE和FBE中 ABEFBE（SAS） AEFB ABCD AD180° 又BFEEFC180° EFCD 在EFC和EDC中 EFCEDC（AAS） FCCD BCBFFCABCD 证法：补短法（延长BE交CD的延长线于G，如图，再证明DGAB，从而转证BCCG

6、，则由BCEGCE可得，再证ABEDGE可有结论DGAB。） ABCG ABEG 又ABEGBC GGBC 在GEC和BEC中 GECBEC（AAS） EGEB，CGBC 在ABE和DGE中 ABEDGE（ASA） ABDG BCCGCDDGCDAB 例6. 如图，四边形ABCD中，AB8，BC1，DAB30°，ABC60°且四边形ABCD的面积为，求AD的长。 解：将不规则四边形转化成特殊三角形，延长AD、BC交于E A30°，B60° E180°AB90° AB8 由勾股定理： BC1，CEBEBC3 又 例7. 已知：ABAC，

7、D是BC上任意一点，DEAB。 求证：A2EDB 解：方法一：利用等腰三角形的性质（即三线合一） 过A作AFBC于F ABAC，AF平分BAC 即 B190° DEAB于E BBDE90° 方法二：将BDE沿DE翻折，得到DEF ABAC 则DFBBC，BDF2BDE BDF为等腰三角形，且BDFA A2BDE 方法三：将BA延长至F使AFAB，连结AC（即倍长腰） ABAC，AFAC 即BCF90° DEAB，BED90° 又BB，BCFBED 即BAC2BDE 将此题推广，已知ABAC，D是AC上任意一点，DEAB 如图： 将ED、BC延长交于F，则

8、A2F 方法一： 方法二： 方法三： 例8. 已知BD、CE是ABC、ACB的平分线，若A60°。 求证：（1）BCBECD （2）ODOE 证明：此题隐含的结论：（1）DOCEOB60°，（2）AEOD四点共圆，（3）O为内心。 先证ODOE 方法1：连结AO BD、CE分别是ABC、ACB的平分线 DOCEOB60° EOD120° AEOADO180° A、E、O、D四点共圆 O为ABC的内心 AO平分EAD OEOD 方法2：O为ABC的内心 AO平分EOD，可以将AOD沿AO翻折，得到AFO，则 ODOF，ADOAFO 由方法1得：A

9、EOADO180° 又AFOEFO180° AEOEFO OEOF ODOE 证明BCBECD也有两种方法： 方法1：在BC上截取BHBE，连结OH，先得出BOEBOH OEOH，1260° 3460° 再证CODCOH，得到CHCD BCBHCHBECD 方法2：将BOE沿BO翻折得到BOH，然后再证COHCOD。 （证明略） 例9. 已知：BAC90°，ADBC，BE平分ABC，EGBC，GHAC。 求证：DGGH 分析：先看一个基本图，由双垂直，ADBC，BAC90° 再加角平分线BE平分ABC，必有等线段AEAF 由角平分线性质得：AEEG 最后能知四边形AFGE为菱形 方法1：连结FG、AG BAC90°，ABCC90° ADBC，ADB90° 1ABC90° 1C BE平分ABC，23 412，53C 45 AFAE 又EGBC，AEEG且EGAF AFAEFG 四