面积证明勾股定理

1、面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1和（3）2所示的两个形状相同的正方形。 在（3）1中，甲的面积=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）, 在（3）2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。 B A D E F 1 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处

2、有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5 AB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_。4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm 当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）想一想，此时EC 有多长？5如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，

3、则EB 的长是（ ） A 3B 4 CD 56已知：如图，在ABC 中，C=90°，B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm求AC 的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，, 6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。 BC AE DC B A B CB A C DCA 9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的

4、点，现将DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB CE _10、如图，AD 是ABC 的中线，ADC 45o ，把ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC 2，则BC´_11如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC 6cm ，BC 8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出C

5、D 的长吗？ 13、如图，在ABC 中，B= 90，AB=BC=6，把ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。14已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 215如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB 3，AD 9，求BE 的长16、如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD 的面积。E题5图 F B BA C

6、 D A C 图1D A E D C第11题图17、如图，已知：在ABC 中，=90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等 18如图8，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合 ，在AD 上适当移动三角板顶点P ：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与B

7、C 交于点E ，能否使CE 2cm ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由 21能. 设AP x 米，由于BP 216+x2，CP 216+(10x 2，而在Rt PBC 中，有BP 2+ CP2BC 2，即16+x2+16+(10x 2100，所以x 210x+160，即(x5 29，所以x 5±3，所以x 8，x 2，即AP 8或2，能. 仿照可求得AP 4.19. 如图ABC 中，BC BM AC AN BC AC ACB =, , 5, 12, 90则MN= 420、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d （C

8、 ）2d （D ）d21在ABC 中, 1AB AC =, BC 边上有2006个不同的点122006, , P P P , 记(21,2, 2006i i i i m AP BP PC i =+= , 则122006m m m + =_. 22如图所示，在Rt ABC 中, 90, , 45BAC AC AB DAE =, 且3BD =,4CE =, 求DE 的长.23、如图，在ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ²PB+PA2的值。图8BC24、如图在Rt ABC 中, 3, 4, 90=BC AC C ，在Rt ABC 的外部拼接一个合适

9、的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形） 25如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。26已知：如图，ABC 中，C = 90°，点O 为ABC 的三条角平分线的

10、交点，OD BC ，OE AC ，OF AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 PMCA27（8分）如图，在ABC 中，AB=AC，P 为BC 上任意一点，请说明：AB 2AP 2=PB³PC 。28、如图，已知：=90C ，CM AM =，AB MP 于P 求证： 222BC AP BP +=EF第26题图B PC第28题图29 （本题满分 6 分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要

11、完成这件事情所 走的最短路程是多少？ 小河 北 牧童 A 东 B 小屋 30. （本题满分 6 分）如图所示，某住宅社 区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车 装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道. 2.6m 4m 31在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处； 另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处， 距离以直线计算， 如果两只猴子所经过的距离相等， 则这棵树高多少米? 32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及 水面，已

12、知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米? 33长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角(如图所示，则梯子 的顶端沿墙面升高了_m 34已知：如图，ABC 中，C90°，D 为 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 DEDF求证：AE2BF2EF2 1 CB 35已知：如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 CB 的四等分点且 CE 4 ， 求证：AFFE 36已知ABC 中，a2b2c210a24b26c338，试判定ABC 的形状，并说明你的 理由 37已知 a、b、c 是ABC 的三边

13、，且 a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状 38如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始 经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长?如果从点 A 开始经过四个侧 面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长? 39、a、b 为任意正数，且 a>b，求证：边长为 2ab、 a2b2、a2+b2 的三角形是直角三角形 40. 三角形的三边长为 (a + b = c + 2ab ,则这个三角形是( （A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形. 41.（12 分）如图，某沿海开放城

14、市 A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一 台风中心，沿 BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km， 那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都 将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才 可脱离危险 2 2 A D C B 第 24 题图 42.（14 分） ABC 中，BC = a ，AC = b ，AB = c ，若C=90° ，如图（1） ，根据勾股定 理，则 a + b = c ，若 ABC 不是直角三角形，如图（

15、2）和图（3） ，请你类比勾股定理， 2 2 2 试猜想 a + b 与 c 的关系，并证明你的结论. 2 2 2 43 （10 分） 如图， A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处， 以 10 7 千 米/时的速度向北偏西 60°的 BF 方向移动，距台风中心 200千米范围内是受台风影响的区 域 （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则

16、 h 的取 值范围是（ ） Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cm 45 如图，已知： ， ， 于 P. 求证： . 46 【变式 2】 已知： 如图， B=D=90°， A=60°， AB=4， CD=2。 求： 四边形 ABCD 的面积。 47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工 厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 48、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30°，点 A 处有一所中学，AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响

17、，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的 速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 49、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。 C D C A F B B A D E E 50 如图，在等腰ABC 中，ACB=90°，D、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45°。 求证：DE2=AD2+BE2。 52 如图，长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿

18、 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重 叠部分AFC 的面积是 。 53 在ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高 A D=12，试求 BC 边的长. A A A B D C C B D C B D 54 在A BC 中，D 是 BC 所在直线上一点，若 AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC 的面 积。 55. 若ABC 三边 a、b、c 满足 a2b2c2338=10a+24b+26c，ABC 是直角三角形吗？ 为什么？ 56. 在ABC 中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，则ABC 是否为直角三角形？ 为什么？ 57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1 处，如图，已知长方形长 6cm，宽 5 cm，高 3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形 的表面向上爬，它要从 A 点爬到 C1 点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？ 58.木箱的长、宽、高分别为 40dm、30d