26微分中值定理83138

1、第六节第六节 微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日二、拉格朗日( (lagrange) )中值定理中值定理三、柯西三、柯西( (cauchy) )中值定理中值定理一、罗尔一、罗尔(rolle(rolle) )定理定理ab1 2 xxoy)(xfy abcdnmab1 2 xyo)(xfy c一、罗尔一、罗尔(rolle)定理定理引理（费马定理）引理（费马定理） 设函数设函数)(xf在点在点 0 x的某邻域的某邻域 ),(0 xu内有定义并且在内有定义并且在 0 x处可导，如果对处可导，如果对任意的任意的),(0 xux ，有，有 )()()()(00 xfxfxfxf 或或 则则 0)(0 x

2、f 1.).,(临临界界点点稳稳定定点点.)(,0)(00的的为为函函数数则则称称若若xfxxf 驻驻点点, 0 x若若; 0)()(00 xxfxxf则有则有, 0 x若若; 0)()(00 xxfxxf则有则有; 0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx ; 0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx . 0)(0 xf便便得得到到再再由由极极限限的的保保号号性性可可导导的的条条件件在在根根据据,)(0 xxf证明证明00(,),( )().xu xf xf x 不妨设对时有有于于是是，对对于于),(00 xuxx ,0)()(00 xfxxf 2. 罗尔

3、（罗尔（rolle）定理）定理 则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f ( ) =0 .设函数设函数 f f ( (x x) ) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.3) f (a) = f (b).3 , 132)(2定理定理上满足上满足在区间在区间验证验证例例rollexxxf 证证.)1(mm 若若,)(连续连续在在baxf.mm 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mm 若若),()(bfaf .取得

4、取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afm 设设.)(),(mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在( )0.f故由费马定理，有物理解释物理解释: :变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,)(水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一则弧则弧等等处纵坐标相处纵坐标相、在点在点连续光滑曲线连续光滑曲线cabbaxfy c3. 若若 f (x) 可导，则可导，则 f(x)=0 的任何两个实的任何两个实根之间，至少有根之间，至少有 f (x) =0 的一个实

5、根的一个实根.例例1. 证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性 .则)(xf在 0 , 1 连续 , 且由零点定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,. 0)(f使但矛盾, 故假设不真!设例例2 2.)1 , 0(23423内内至至少少有有一一个个实实根根在在证

6、证明明方方程程cbacxbxax 证证432( )() ,f xaxbxcxabc x设( )0,1,f x则在连续(0)(1)0.ff且由由rolle定理知定理知00(0,1),()0.xf x使( )(0,1),f x 在可导32( )432()f xaxbxcxabc则( )( )f xf x其中0( )0(0,1)xf x 故 即为在内的实根.说明说明: :证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理. .0)( xf),(ba关键技巧关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数根据题意会知道如何构造辅助函数

7、.若希望用若希望用rolle定理证明方程定理证明方程 f(x)=0 根的存在性，根的存在性，则构造的辅助函数则构造的辅助函数f(x) 应满足关系式应满足关系式f (x) = f(x) 及及rolle定理条件定理条件.注意注意:1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 1,010,)(xxxxf 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yox1y1ox1yo不连续在 1 , 0不可导在) 1 , 0() 1 ()0(ff例如, 注意注意: 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立其结论可能不成立.例如例如,;2 , 2|,|)1 xxy,)

8、0(2 , 2一切条件一切条件满足罗尔定理的满足罗尔定理的不存在外不存在外上除上除在在f . 0)()2 , 2( xf内找不到一点能使内找不到一点能使但在但在.1 , 0(,1)2 xxy.1 , 0,)3 xxy又例如又例如,注意注意: 罗尔定理的三个条件是充分不必要的罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若即若有一个不满足有一个不满足,其结论也可能成立其结论也可能成立.例如例如,1 , 1,)13 xxy二、拉格朗日二、拉格朗日(lagrange)中值定理中值定理( )arctan0,1lagrange.f xx例1验证在上满足中值定理的条件则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一

9、点 ，使，使 f (b) f (a) = f ( )(b a) ( (a,b) .lagrange 中值定理中值定理 设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.).()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()( fabafbf 结论亦可写成结论亦可写成则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f (b) f (a) = f ( )(b a) ( (a,b) .lagrange 中值定理中值定理 设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条

10、件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.ab1 2 xxoy)(xfy abcdnm几何解释几何解释:.,abcab线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证明证明分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦ab方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(abxf减去弦减去弦曲线曲线., 两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxf ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的

11、条条件件xf. 0)(,),( fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 故有故有拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证明证明,),()(内可导内可导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称

12、拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理两个重要结论两个重要结论:.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixfixf(1)0)(),( xfbax若有若有即即cxf )(2)()(),(xgxfbax 若有若有cxgxf )()()()(),(,212121xfxfxxbaxx 有有只须证明只须证明例例1. 证明等式),(x,2cotarcarctanxx经验经验: 欲证ix时,)(0cxf只需证在 i 上, 0)( xf,0

13、ix 且.)(00cxf使例例2 21cossin22 xx证明证明证证,cossin)(22xxxf 设设xxxxxfcossin2cossin2)( , 0 ,)(cxf 0cos0sin)0(22 f又又,1 .1 c即即.),( x).,(1cossin22 xxx例例3 3110,1,()().nnnnabnnbababnaab设证明:拉格朗日拉格朗日(lagrange)(lagrange)中值定理主要用来证明不等式中值定理主要用来证明不等式例例4 4.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证( )ln(1),f tt设( )0, ,f tx在上满足拉氏定理的条件)0(),

14、0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即拉格朗日拉格朗日(lagrange)(lagrange)中值定理主要用来证明不等式中值定理主要用来证明不等式例例5 5sin:0cos .xxxx证明时,拉格朗日拉格朗日(lagrange)(lagrange)中值定理主要用来证明不等式中值定理主要用来证明不等式三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 cauchy 中值定理中值定理 设函数设函数 f

15、 (x)、 g (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导且且 g (x) 0 .)()()()()()( gfbgagbfaf 几何解释几何解释:)(1 gxoy )()(xfyxgx)(aga)(bgbc)(2 gd)(xgnm.),(),(abfgcab弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存

16、在一点内至少存在一点则在则在ba, 0)()()()()()( gagbgafbff即即.)()()()()()( gfagbgafbf . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxg 当当, 1)(,)()( xgabagbg)()()()()()( gfagbgafbf ).()()( fabafbf)0() 1 (ff)0() 1 (ff例例6. 设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(22( ),g xx,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使分析分析: 问题转化为证证明设则

17、( ),( )f xg x在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使)(f )(f012即)0() 1 (2)(fff证明11lncos1lnlne1lnsinlnesin)e , 1(,)()() 1 (e) 1 (e)ffffff例例6. 试证至少存在一点)e , 1(使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理 .xxfxxfln)(,lnsin)(则 f (x) , f(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:例例6. 试证至少存在一点)e , 1(使

18、.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,e), 1 (使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbf( )g xx)()(afbf( )g xx2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理4412 3412思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数4)(xxf在区间 1, 2 上满足拉格朗日

19、定理条件, 则中值._2) 设有个根 , 它们分别在区间341520)( xf, )2, 1 (, )3,2(上.( )(1)(2)(3),f xxxx则方程2. 设,0)(cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xf在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxfsin)()(3. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(exxx

20、f作辅助函数, )(e)(xfxfx验证)(xf在,21xx上满足罗尔定理条件.4. 思考: 在0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当,0 0 x时. 0cos1问问是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因为)(x是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 . 0 x应用拉格朗日中值定理得上对函数备用题备用题求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连续，) 1

21、 ,0()(xf证证: 设辅助函数)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)()(ffn使得)()(1ffnnn0四、小结四、小结rolle定理定理lagrange中值定理中值定理cauchy中值定理中值定理xxg )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.中值定理的数学符号简洁表述如下中值定理的数学符号简洁表述如下:;0)(,),(

22、)()(),(,)1( fbabfafbadbacf使使且且);()()(),(),(,)2( fabafbfbabadbacf ，使使.)()()()()()(),(),(, 0)(),(,)3( gfagbgafbfbabaxxgbadbacgf ，使使且且.)()()1 , 0(:, 0)1(, 1)0(, )1 , 0(1 , 0)(3 ffffdcxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例.0,)1 , 0(:,01322210210 nnnxaxaxaaxnaaaa满足满足少存在一个少存在一个内至内至在在证明证明设设例例.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)(4

23、ffbabfafbadbacxf使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例.0)()()(),(),(,)(, 0)()(, ),(,)( fgfbabadbacxgbfafbadbacxf使使证明：至少存在一点证明：至少存在一点设设推广推广:.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)(: ffbabfafbadbacxf使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.思考题解答思考题解答 1, 310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _. .2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上. .3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的