第六章狭相对论

1、第六章狭义相对论1.证明牛顿定律在伽利略变换下是协变的,麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。解：伽利略变换为x' xvt,y' y 乙t' t.牛顿定律ma在系:mx.在系有F mx mx , 牛顿定律在伽利略变换下是协变的。 由伽利略变换有在系有:在系有:B7,EB 0.J0 0-f0麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的lo ,它们以相2.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为求站在一根同速度v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子, 尺子上测量另一根尺的长度。解：x l,t 0,将代入得vlc2 v2 cv X2v2c2v-2c-2v-2

2、-c10 112 v 2 c -2 vc3.静止长度为lo的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度vo向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间解:系lo代入得Uo系vt t Uoc2v2c1vUo2 c10 1U04 .一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，随后照亮了铁路沿线上的两铁塔 求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差，设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都是10。解:x 2lo系vT xt c 一210v21 v12cc2 12 v2 c5 .光

3、源S与接收器R相对静止，距离为1。，S-R装置浸在均匀 无限的液体介质(静止折射率n)中，诚对下列三种情况计算光源发出讯号到接 收器到讯号所经历时间，(1) .液体介质相对于S-R装置静止。(2) .液体沿着S-R连线方向以速度v流动(3) .液体垂直于S-R连线方向以速度v流动。解：(1).由于介质的存在，所以光速为c所以n10 t 1 c(2).由速度变换公式ux v Ux uxv12 c行：(3).光的传播速度为c因为因此c vn1 ncl0Ux1 10ncc vnv,Ut0,2 c2 nV2将光线在S-R连线方向上的传播速度Ux变换到实验室参考系 上，有:2c 2-vn=-2，1 v2

4、， c由此得到系中光从S到R的时间:6.在坐标系 中，有两个物体都以速度u沿x轴运动，在 系看来，它们一直保持距离l不变，今有一观察者以速度rv沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少?解：到有:由速度变换公式有由得将代入得:luvcl2 u V2 cu V2 c222c c c2u2 cuv1c2 J2 u2 c2 2222uv u v u 2uv v24c c1 u211c2224 u d V1212c c2V2c2 u2 c7.一把直尺相对于 坐标系静止，直尺与X轴交角。今有一观察者以速度速度V沿X轴运动，他看到直尺与X轴交角有何变化?解:tgtgtgyX8.两个惯性系中 各放置若干时钟

5、，统一惯性系中的诸时钟同步,相对于以速度V沿X轴方向运动，设两点系统圆点相遇时，t0 t0 0 ,问处于 系中某点（x,y,z ）处的时钟与系中何处的时钟相遇时，指示的时刻相同?读数是多少？解：两时钟相遇时,逆变换为可得由得:x vtz zt -gxc2t1 1 V2,Vc在系中看中原点O走过的距离:9.火箭由静止状态加速到V Jo.9999c ,设瞬时惯性系得加速度为 V 20ms2,问按照静止系的时钟和火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间?解：设系是相对静止系以VJ0.9999c运动的坐标系Uxdxdt dVdtvtUxdxdtUxV当飞船速度为v又因为所以同理dtdux dt duxdtd

6、t dta3vu x-2-c. 0.9999c,uxdt0,dvv dv0 g 3-tg gvc21 v c47.5year2.52year10.一平面镜以速度v自左向右运动，一束频率为0,与水平成。夹角的平面光波自右向左入射到镜面上，求反射光波的频率及反射角。垂直入射情况如何？解：坐标系建立如图：因为i且所以k k, ck a k, vk xk x-7xx 2cky kykzkzvkx在 系中，入射波矢ki ,反射波矢k2 ,入射角0 由静止系中反射定律：反射角20,21cos 2 cos 0在两系中，1 k ix cos i2k 2x 一 cos 2cikix cos ic2k2x cos

7、 2将其代入可得v cos 1cos 1c1 - cos 1c21 ，cos 2cos 2v cos 2cJ,v一 cos 1 c v cos 2 c再联立cosv2- cvcos 1 cc v2- cos 1c.2 sin2 cos 2sintg22 cossin 12 cos 1sin 1cos 1cos若v远小于c,则coscos 1tg 2tg若垂直入射1coscos11.在洛仑兹变换中，若定义快速度y 为 tanhy=(1)证明洛仑兹变换矩阵可写为:chy00ishy01000010ishy00chy(2)对应速度合成公式可快速表为解：(1)由tany=,可得itanhychy is

8、hy(2)由可得thy如皿thy y1 thy thy12.电偶极子p0以速度v做匀速运动，求它产生的电磁势和场,A, E, Bo解：在电偶极子静止坐标系系中，设其沿x轴运动,P R pz4 0R34 0R，1 3p R R RPR1在 系中，t时刻电磁场用(5.23)Ex3px z222 524 0 x y zEyEzP 2z 220 x2y2 x22 y2 zBxBy2vp 2z224 0cx22yi z252Bz3 vpy z52222 524 0c x y zAx20cvpz22yZ2 32Ay0,Az0,z 2 32，vt其中用到(5.16) 亦可写成紧凑式子:R3E E，B S E

9、 cB013.在参考系系中E B,系沿E B的方向运动，问 系应以什么速度相对系运动才能使其中只有电场或只有磁场?解：因为由题意:若只有磁场，则E/ E/B/B，EEvB ：2BBv日c2E/E/0B/B/0,E0,E v B 0E/(v B),E-vB 0,EBB2E BB2显然有同理B 0时,分成矢量式CBB-V2c0,2vEyE B,14 .做匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生 “压缩”，这时在电荷 的运动方向上的电场E与库仑场相比较会发生减弱，如何理解这一减弱与变换公 式E=E的关系?解：这两者之间并不矛盾，谈E二E时候，参考系不同，而减弱是对某参 考系而言。15 .有一沿z方

10、向螺旋进动的静磁场 B=B0 , coskmzex sinkmzey ,其中km 2/ , m为磁场周期长度。现有一沿z轴以速度丫= c运动的惯性系， m求在该惯性系中观察的电磁场。证明当1时该电磁场类似于一列频率为Ckm的圆偏振光电磁波。解：由（5.23）得到Ei EiBi Bi,E2E2 VB3B2B2-VTE3 cE3E3 VB2B3B32E2,c现在惯性系变换到 系中,BxBxB0coskmEex Bocoskm z vt B0coskm z vtkm r ckm 'ByByBosinkm z vt可见 km rckm的圆偏振。16 .有意无限长带电直线，在其静止参考系中线电荷

11、密度为。该线电荷以速度v= c沿自身长度方向移动，在与直线距离为d的地方有一同样速度平行于 直线运动的点电荷e,分别用下列两种方法求出作用在电荷上的力：(a)在直线静止系中确定力，然后用四维力变换公式；(b)直接计算线电荷和线电流作用在运动电荷的电磁力。解：在系中：(1) Q点场强e er ，20dEe'er ， 0dFFx由力的变换公式FxFyFyd VUx1x2 cFz所以所以FzFyuxvux1 vux2c0,2r(2)在 系中直接换成线电荷,所以eeF er er20d2 odr17 .质量为M的静止粒子衰变为两个粒子 m1和m2，求粒子m1的动量和能量。 解：由动量能量守恒定

12、律Pl P20,Pl P2P ,W=Wi+V2=Mc2W1. p12c2 m12c4W2. p22c2 m22c4可得 c 222'P1 M (m1 m2) M (m1 m2 2M ,2E1 (M 2 m12 m22)2M18 .已知某粒子m衰变成两个质量为m1和m2,动量为Pi和P2 (两者方向夹角)的两个粒子，求该粒子的质量 m解：由能量动量守恒：设衰变前静质量M,运动速度为v,2220moe1mle2m2cPi P2 mov o可得到p12 p22 p1P2cos(m1rl m2r2)v注意到W1%；R2c2 m12c4 ,W2 v R2c2 m22c4 , 可以得到2二 PiP

13、2cos c2222W1 W2mo mi m24c222242242-m1 m2 . m1c p1 m2 cp2p1P2cosc219. (1)设E和p是粒子体系在实验室参考系系中的总能量和总动量(其动量与x方向夹角为)。证明在另一参考系系(相对 系以速度v沿x轴运动)中的粒子体系总能量和总动量满足：PxPxE/c ,EEcpx ,sintg cos E/ cp(2)某光源发出的光束在两个惯性系中与x夹角分别为和 证明coscos 1 cossinsin (1 cos )(3)考虑在 系立体角d dcos d的光束，证明在变换到另一惯性系系时，立体角变为d21 - cos解：(1)iP,- c

14、对洛仑兹变换:r pr可得:PxtgPx E/cE cPxPxPysincosE/cp(2)由k,- 变换式:ckxkxv-2 cvkxcoscoscosckcoswcos ccosvcos ccosv cosc1 vcoscsinsin(1 cos )（3）由上面推导:-sin d1 - cos 21 - cos -sin dv v . cos sin dc c垂直于x轴运动,1- 2sin d 21- cossiner e不受影响,d d21-v2c1 - cos1- 22 sin d d1 - cosd2d(1)求质心系相对于实验室系得速度求质心系中每个粒子的动量，能量和总能量(3)已知

15、电子的静止质量me 0.511Mev ,北京正负电子对撞机（BEPC的设计能量为2*2.2GeV,估计一下若用单束电子入射于静止靶，要用多大的能量 才能达到与对撞机相同的相对运动能量？解：（1）在实验室系中，两粒子物理量mi, vi, pi,m2, V2=0, p2=0在质心系，mm2皆相对于质心运动，动量为p1 , p2 ,显然在实验室系中，质心速度就是质心 系相对于实验室系的运动速在系:piiPi,- icWi2 2Pi c2 4m1 cP2ip2，一 cW2.P22c2 *2m 2c2 4m2 c两粒子系统的总动量，总能量分别为:PiP22m 2c质心的速度:2mcmvc v wi -

16、mi2c42wi m 2c(2)质心系中能量动量系，显然PiP20,2w2c2w2c2w再求动量，系中M速度就是 系中质心的速度, 所以2所以wPiCP2m2w w2Pim2cwPi22 4m2c w1 m1cMc2222 4wi,c pimi c122 62 42.：'p1m 2 c m c w wi 242、(mi c w1m2c ) wE22 2m2 cmhWi同理W1W1 W22m2c222Wi2mc试确定粒子21.电荷e,质量m的粒子在均匀电场E中运动，初速度为零, 的运动轨迹和时间的关系，并确定非相对论的情况。解：由题意：当t=0时可得dP eEp eEt cp=0c=0

17、,mv _|2 eEt，1 V2 ceEt/m1 (eEt/mc)eEt 2 1 mc00 EdteE tm 0 1 eEt /mc2 '2mc 1 eEt /mceE2 mceE21 eEt/mc 12 mceE121 eEt/mc 121 2 /eEt /m222.利用洛仑兹变换，试确定粒子粒子在相互垂直的均匀电场Eex和磁场Bey中的运动规律，设粒子初速度为零。解：参考13题，当E cB时，可找到一个参考系，使B 0它的方向沿z轴,速度u,这时 系中，只有E ,而B 02 mc x eE由电磁场变成纯电场，同21题:再由洛伦兹变换公式：一 22mc . eEt.x x 1 1eE

18、mcy y 0z z t t t其中都用到t t 鼻 E tcEt Et23.已知t=0时点电荷qi位于原点,q2静止于y轴(0, yo , 0)上，qi以速度v沿x轴匀速运动，试分别求出qi, q2各自所受的力，如何解释两力不是等值反向？解：在q2的场中，Lq2eyE2 二 240y0所以qi受到的力为：qiq2ey F12240y 0把 系建立在qi则qi在q2处产生电磁场为：qieyE A 2 4 0aB 0, 变换到中系Ex Ex 0E Eqyy/240 y0Ez Ez 0Bx Bx 0ByByBzBzv- e2 y cv q22c 4 oyoqey2oy oqey2 .2c 4 o

19、yoqi E v Bq&ey224 .试着比较下列两种情况下两个电荷的相互作用力：(1)两静止电荷q位于y轴上相对距离为I; (2)两电荷都以相同速度v平行x轴匀速运动。解：(D F2q4 oi2(2)系中，q2在qi处产生的电磁场q2j 4 oI2q?ey4 oI2v q2ey22c 4 ol4 ol2qi E vqiq2eyB2 一 一 一v qiq2ey25 .频率为 的光子，能量为 ，动量为k,碰在静止的电子上，试证明:(1)电子不可能吸收这个光子，否则能量动量守恒律不能成立(2 )电子可以散射这个光子，散射后光子频率 比散射前光子的频率 (不 同于经典中散射光频率不变得结论)解：(1)因为吸收前电子静止由动量守恒:h2由能量守恒： 2.2 22 4m0c h p c m0 c所以h 0即吸收的光子为0(2)碰前：电子E, p,光子，k碰后：电子E , p,光子，k由守恒律： EEk p k p又因为2Em°c12p mv2E m0cp 0可得 2m0c1k k m0v26.能量为,动量为k的光子撞在静止