概率统计公式大全复习重点汇总

1、第一章随机事件和概率(1)排列Pn m!m (m n)!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。组合公式4 m!C mn!(m n)!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二(2)加法种方法可由n种方法来完成，则这件事可由 m+n种方法来完成。和乘法原乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mx n理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mx n种方法来完成。重复排列和非重复排列(有序)(3) 一些对立事件(至少有一个)常见排列顺序问题如果一个试验

2、在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结(4)随机果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，试验和随则称这种试验为随机试验。机事件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组 事件，它具有如下性质：(5)基本每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；事件、样任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。本空间和这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。事件基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，它们是的子集。为必然事件，？为

3、不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能 事件；同理，必然事件（Q）的概率为 1,而概率为1的事件也 不一定是必然事件。关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A B如果同时有A B, B A,则称事件A与事件B等价，或称A等于B: A=BA B中至少有一个发生的事件： A B,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB ,它表示A发生而B不发生 （6）事件的事件。勺关系与A、B同时发生：A B,或者AB A B=?,则表示A与B不可能与算同时发生，称事件 A与事件

4、B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为Ao它表 示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (BU C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) A (B U C) (A U B) n C=(AC)U (BC)Ai Ai _ _德摩根率：i 1 i i A BAB, A BAB设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 （7）概中p（Q ,若满足下列三个条件：的公理化1 0 P(A) 0,则称P幽为事件A发生P(A)(12)条 条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)巴出

5、。P(A)件概率条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1 P( B/A)=1-P(B/A)乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)(13)乘 更一般地，对事件 a, A2,人,若P(AA2A-1)0 ,则有P(A1A2. An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An | A1A2.法公式An两个事件的独立性(14)独 设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B),则称事件A、B是相互、冲独立的。立性若事件A、B相互独立，且P(A) 0_，则有_ _ _若事件A、B相互独立，则可得到 入与B、A与B、入与B也都相互独立。必然事件和不可能

6、事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件,P(AB尸P(A)P(B) ; P(BC尸P(B)P(C) ; P(CA尸P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC尸P(A)P(B)P(C) 那么A B、C相互独立。对于n个事件类似。设事件B1, B2, ,Bn满足-1(15)全B1, B2, n，Bn两两互不相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),概公式 2Bi1 ,则有P(A)P(Bi)P(A| Bi) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A|Bn)o)设事件B1, B2 ,，Bn及A满足1B2,，Bn两两互不相容，P(B

7、i)0, i 1,2,(16)贝2则nBi i 1 P(A) 0叶斯公式P(BA)P(Bi)P(A/Bi), i=1, 2,.n0nP(Bj)P(A/Bj)j 1此公式即为贝叶斯公式P(Bi), (i1, 2,on),通常叫先验概率。P(Bi/A), (i 1,2,，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的 概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；(17)伯每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A发生与否是互不影响的。努利概型这种试验称为伯努利概型，

8、或称为 n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1 p q,用pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0 k n)次的概率,Pn(k)C：pkqnk, k 0,1,2, ,no第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个 值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk尸pk , k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 X的概率分布或分布律。有时也 用分布列的形式给出：X| x1,x2, ,xk,P(X xk) p1, p2, pk, o显然分布律应满足卜列条件：pk 1(1) pk 0 , k 1,2, k

9、1。(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数x,有 xF(x)f(x)dx则称X为连续型随机变量。f (x)称为X的概率密度函数或密度 函数，简称概率密度。密度函数具有卜面4个性质：1 。f(x) 00f (x)dx 12 o(3)离散与连续型随机变量 的关系积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk) pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a) 可以得到X落入区间(a,b的概率。

10、分布函数F(x)表示随机变量落入区间(- X，x内的概率。分布函数具有如下性质：10 F(x) 1,x;2F(x)是单调/、减的函数，即x1 x2时，有F(x1) F(x2)；3F( ) lim F(x) 0,F( ) lim F(x) 1 ;xx4 F(x 0) F(x),即F(x)是右连续的；5P(X x) F(x) F(x 0)。对于离散型随机变量，F (x)pk ;xk Xx对于连续型随机变量，F(x) f (x)dx 。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p0事 件A发生的次数是随机变量，设为 X ,则X可能取

11、值为 0,1,2, ,n 0P(X k) Pn(k) Cnkpkqn k,其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n, 则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布。记 为 X B(n, p) 0当 n 1 时，P(X k) pkq1k, k 0.1 ,这就是(0-1) 分布，所以(0-1 )分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X ()或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n“x)。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布

12、P(X k) qk1p,k 1,2,3,其中 p0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f(x)在a , b上为常数，即b a1f(x)b /ax bf(x)b a其他，则称随机变量 X在a , b上服从均匀分布，记为XU(a, b) o分布函数为0 0,xa,xx aF (x)f (x)dx.,Jbaa xb当a x1bx1,x2)。内的概率为P(x1 X x2) x2 1 x1 ob a指数分布x一、e ,x 0f (x),0其中0,则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为产 Ax1 e ,x 0,

13、F(x) | L钳住积分会0:o止态分布设随机变量X的密度秘内f(x)e e 2 zvf(X)2 e，x ,其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为 、的正态分布或局斯(Gauss)分布，记为X N( , 2)。f(x)具有如下性质：1。f(x)的图形是关于x对称的；2。 当x 时，f()二二为最大值；272若XN( , )，则X的分布函数为(t)21 x 2 20 0盥 42、6 1日藉正态分布称为标准正态分布，记为X 甲0,1)其密度函数记为(x) 3e 2忖 ，x，分布函数为xt21-(x)e 2 dt。22(x)是不可.求积国数，具国数值，已编制成表可供查用。1(-x) = 1-(x)

14、且(0)=-。X2如果 XN( , 2),则N(0,1)。、，、x2x1P(x1X x2)-。(6)分下分位表：P(X)=;位数上分位表：P(X)=0(7)函离散型数分布已知X的分布列为Xx1, x2, xn,P(XY g(X)Yxi) P1, P2, pn,的分布列(y g(xi)且小相等)如下： g(x1), g(x2), g(xn),P(Y yi) 若用某些的概率。g(x1)相掌 则应将吩应的Pi相加作为g(xi)连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y) = P(g(X) 0 (i,j=1,2,);(2) Pj 1.连续型对于一维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f

15、(x, y)(x,y),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|axb,cy0;(2) f(x, y)dxdy 1.(2)二维随机变量的本质(3)联合分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1, 2)|X( 1)x,Y( 2) y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 F(x,y) 1;(2) F(x,y)分别对x和y是非减的，即当 x2x1时,有 F (x2,y ) F(x1,y)

16、;当 y2y1时,有 F(x,y 2) F(x,y 1);(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的，即(4) F(,)F(,y) F(x,) 0,F(,) 1.(5)对于 x1 x2，y1 y2，F(x2,、2)F(x2,y1)F(x1，、2)F(x，y1)0.(4)离散型与连续型的关系(5)边缘分布离散型X的边缘分布为P?P(Xxi)Pij(i, j1,2,)；Y的边缘分布为P?jP(Yyj)Pj (i, j1,2,)0连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X

17、的条件分布密度为f(x|y) 3;fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为(7)独立性一型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)离散型有零小独立连续型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布=0随机变量的函数若Xl,X2，X,Xm+1,Xn相互独立，h,g为连续函数，贝上h (X,先，X)和 g (Xrn+1,X)特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(9)二维止态分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为其中1，2, 1 0, 2 0,| | 1是5个参数，则称

18、(X,沼服从二维止态分布，记为(X, Y) -N ( 1，2, 12, 2,).由边缘密度的计算公式，可以推出一维正态分布的两个边缘分布仍为止态分布，即 X NI ( 1，；),Y N( 2, 2).但是若XN( 1, 12),YN( 2, 2), (X, Y)未必是一维止态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，f z(z) = f (x,z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12 ,12 )。n个相互独立的止态分布的线性组合，仍服从止态分布。Ci i ,2G2 2Z=max,min(X1,X2,Xn)若X1,X2Xn相互

19、独立，其分布函数分别为FxO, Fx2(x) Fxn(x),则 Z=max,min(X1,X2,X)的分布函数为：2分布设n个随机变量Xi,X2, ,Xn相互独立，且服从标准止态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 W1从自由度为n的2分布，记为W 2(n),其中所谓自由度是指独立止态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设则t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n) 0F分布设X 2(ni),Y 2(n2),且X与Y独立，可以证明F9上的概率密度函数为Y/ n2我们称

20、随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个 自由度为n2的F分布，记为Ff(n i, n 2).第四章随机变量的数字特征(1)离散型连续型一维期望设X是离散型随机变量，设X是连续型随机变量，其随机期望就是平均值其分布律为 P( X Xk)=概率密度为f(x),变量pj k=1,2，,n ,(要求绝对收敛)的数(要求绝对收敛)字特函数的期望Y=g(X)Y=g(X)征.、，.、八 力主_2D(X尸EX-E(X),标准差(X) JD(X),矩对于正整数k,称随机对于正整数k,称随机变变量X的k次募的数学期量X的k次募的数学期望为望为X的k阶原点矩，记X的k阶原点矩，记为Vk,为Vk,即即v k=E(X

21、k)=xk pi ,一八人k _v k=E(X)=x f(x)dx,k=1,2,.k=1,2,对于正整数k,称随机对于正整数k,称随机变变量X与E (X)差的k次量X与E(X)差的k次募的募的数学期望为X的k阶数学期望为X的k阶中心中心矩，记为 k ,即矩，记为k ,即k=(XiE(X) Pi ,=(x E(X)k f (x)dx,k=1,2,.k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E (X)二医，方差D(X)= a2,则对于任意正数e ,后卜列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。(2)期望 的性质(1)E(C尸C(2)

22、E(CX尸CE(X) nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E( Ci Xi)CiE(Xi)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分条件：X 和 Y独立；充要条件：X和Y不相关。(3).、，.、八 力主的性质(1) D(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b尸 a 2D(X); E(aX+b尸aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X Y尸D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(XY尸D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立

23、。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)期望力主常见0-1 分布 B(1,p)P分布二项分布B(n,p)np的期泊松分布P()望和几何分布G(p).、，.、八 力主超几何分布H (n, M , N)均匀分布U(a,b)指数分布e()止态分布N( , 2)n2nt分布0(n2) n 2(5) 二维 随机 变量 的数 字特 征期望函数的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=.、，.、八 力主协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩 ii为X与Y的协万差或相关矩，记为XY或cov(X,Y),即与记号 xy相对应，X与Y的方差D (X)与D (Y)也可分别记为XX与YY 0相关系

24、数对于随机变量X与Y,如果D (X) 0, D(Y)0 ,则称为X与Y的相关系数，记作 xy (有时可简记为)。|01,当|=1时，称X与Y完全相关：P(X aY b) 1完全相关正相关当1时缶S负相关，当1时(a 0),而当 0时，称X与Y不相关。以卜五个命题是等价的： XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y尸D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 h； k+l阶混合中心矩记为：(6)协方差的性质(i) cov (X, Y尸cov (Y

25、, X);(ii) cov(aX,bY尸ab cov(X,Y);(iii) cov(Xi+X, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X,Y尸E(XY)-E(X)E(Y).(7)(i)若随机变量X与Y相互独立，则 xy 0；反之不真。独立(ii )若(X, Y) -N ( 1，2，12,:,),和不则X与Y相互独立的充要条件是 X和Y不相关。相关第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X, X2,相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D(X) C(i=1,2,)，则对于任意的正数e ,有特殊情形：若X, X,具有相同的数学期望

26、E(X)=林,则上式成为伯努利大数定律设医是n次独立试验中事件 A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率， 则对于任意的正数有伯努利大数定律说明，当试验次数 n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X,又，Xn,是相互独立同分布的随机变量序列，且E (Xn)二医，则对于任意的正数e有(2)中心极限定理列维林德伯 格定理设随机变量 X,辟,相互独立，服从同一分 布，且具有相同的数学期望和方差： E(Xk) ,D(Xk)2 0(k 1,2,)，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数X,有 此定理也称为 独立同分布 的

27、中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量Xn为具有参数 n, p(0p1)的二项分布，则对于任意实数X,有(3)二项定理若当N时,Mp(n,k不变)，则N超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理若当n时,np0 ,则其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)统计的基指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体本概念看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体)。样本我们把从总体中抽取的部分样品 Xi,X2, , Xn称为样 本。样本中所含的样品数称为样

28、本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n个相互 独立的且与总体有相同分布的随机变量， 这样的样 本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，Xi,X2, ,Xn表示n个随机变量(样本)；在具体 的一*次抽取之后，X1,X2, ,Xn表示n个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。样本函数和统视设Xi,X2, ,Xn为总体的一个样本，称(Xi,X2, ,Xn)为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不 包含任何未知参数，则称(Xi,X2, ,Xn)为 个统小。常见统计量及其性质 1n样本均值X 2 Xi.n i i样本方差nnS2-(XiX)2.n 1 i i样本标准差

29、S 1 (Xi x)2.n n 1 i i样本k阶原点矩样本k阶中心矩 2E(X), D(X)一,nE(S2)2, E(S*2) -n- 2,n n n_其中S*2 (Xi X)2 ,为二阶中心矩。 n i i止态分布设Xi,X2, ,Xn为来自正态思体N( , 2 )的一个样本，则样本函数t分布设Xi,X2, ,Xn为来自止态总体N( , 2 )的一个样本，则样本函数其中t(n-i)表示自由度为n-i的t分布。设Xi,X2, ,Xn为来自止态总体N( , 2 )的一个样本，则样本函数其中2(n i)表示自由度为n-i的2分布。(2)正态总体下的四大分布F分布设Xi,X2, ,Xn为来自正态总

30、体N( , 2)的一个样本，而yi,y2, ,yn为来自止态总体N( , 2)的一个样本，则样本函数其中F(ni 1,n2 1)表示第一自由度为 ni 1,第二自由度为n2 1的F分布。(3)止态总体下分布的性质X与S2独立。第七章参数估计(1)矩估设总体X的分布中包含有未知数1, 2, , m,则其分布函点估计数可以表成F(X； 1，2， ，m).它的k阶原点矩计Vk E(Xk)(k 1,2,m)中也包含了未知参数 1, 2, m,即Vk Vk ( 1, 2, , m)。又设X1,X2, ,Xn为总体X的n个样 本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估腐时，总体矩等于相应的样

31、本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的md未知参数(1, 2, , m)即为参数(1, 2, m)的矩估若 为 的矩估计，g(X)为连续函数，则g(今为g()的矩 估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(X； 1 , 2, m),其中1 , 2, m为未知参数。又设Xi,X2, ,Xn为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体 X为离型随机变量时，设其分布律为PX X P(X； i , 2, m),则称为样本的似然函数。若似然函数 L(X1,X2, ,Xn； 1, 2, , m)在 1, 2, , m 处 取到最大值，则称1, 2, , m分

32、别为1, 2, , m的最大似 然估计值，相应的统为最大似然估 出。若 为 的极大似然估计，g(X)为单调函数，则g(?)为 g()的极大似然估计。(2)估计量的评选标准无偏性设区必，Xn)为未知参数 的估计量。若 E ()-，则称 为的无偏估,。E (X) =E (X) , E (S2) =D (X)有效性设 11 (X1, X,2 ,XnD 22(X1 ,X,2 , ,Xn)是未知参数的两个无偏估计量。若D( 1) D( 2),则称1比2有效。一 致性设n是 的一串估如果对于任意的正数，都有则称n为的一致估腐(或相合估M)。若为的无偏估计，且D(?)0(n)，则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估视。(3)区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本Xi,X,2, ,Xn出发,找出两个统“与ii(Xi,X,2, ,Xn)与22(X1,X, 2, , Xn ) ( 12 ) ,使得区间1, 2以1(01)的概率包含这个待估参数，即那么称区间1, 2为 的置信区间，1为该区间的置信度(或置信水平)。单正 态总 体的 期望 和方 差的 区间 估计设X1,X,2, ,Xn为总体X N( , 2)的一个样本