定积分终结版(终)

1、定积分第五章微 积 分 基 本 公 式 定 积 分 换 元 公 式bxjRt) pf(x)dx = Lf®(t)A(t)dt = F(t)Pxj&t) bbL严(t)®'(t)dt = Jaf(X)dX=F(x)a(其中 F (t) = f(®(t)A(t)(其中 F '(X)= f(X)分部积分公式广义积分b公式： f uvdx =uvab b-f u vdx (其中 u =u(x),v =v(x)a它注：当uva不存在时，请正确使用公式：求Juv'dx = uv-Jvu'dx= F(x)+ Cb f uvdx = F (

2、x) a无穷限广义积分的计算(F '(X)= f(X)无界函数的广义积分的计算(F '(X)= f(X)f(x)dx=F(x)-bea巳imF(x)-F(a)-be-beLf(x)dx 二丄f(x)dx + Ja f(x)dx-beJ f(x)dx收敛当且仅当a-beJ f(x)dxj f (x)dx 都收敛-aX = a为暇点jaf(x)dx = F(x)|：=F(b)-IXm/(x)X = a为暇点，a亡(b,c)caci f(x)dx= Jb f(x)dx+Ja f(x)dx左收敛当且仅当右两项都收敛内容概要主要内容牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x)是连续函数f (X)在区

3、间a,b上的一个原函数，则bha f (x)dx = F (b) F (a) = F (x)|a积分上限函数的导数：UX)f(t)dt f (屮(X)屮(x)-f (化X)取(X)dx収设函数f(x)在区间a,b上连续，函数x=w(t)满足条件:(1)护(a)=aH(P)=b，且 a<W(t)<b(2)W (t)在区间ot,P上具有连续导数,bp贝U有 f (x)dx = f f®(t)护'(t)dtaa运用定积分换元公式时，换元必须变换积分上下限，换元后直接计算得到结果，不必回代原变量.aa设 f(X)在a, a上连续，则(1)当 f (x)为偶函数，有 L,

4、f (x)dx = 2J0 f (x)dxa(2)当f (x)为奇函数，有f f(x)dx=0 -_a课后习题全解习题5-133思路：根据求定积分的三步骤做2 1.利用定积分的定义计算由抛物线y=x +1，直线x = a，x=b（bAa）及横轴所围成的图形的面积知识点：定积分的定义及几何意义 思路：根据求定积分的三步骤做i 1i解：将a,b 分成n等分，取q （i =1,2川，n）为第i个小区间a +（b - a）, a +（b - a）的右端nn显然，AT 0 =nTK,于是根据定积分的几何意义，该图形面积(b-a)2i2A= aydx=lim送=lm送(a+iL )2+1 _-= lima

5、2 +1 +2ai +Y n y=limY n口n(a2+1)+口2aE/.X 2 n+ A业无i2i=1n22=l噢 b-a)a2 十誉C6n(n +1)(2 n+1)=(b -a) lim a2 +1 +a(b -a)L1+丄)+ a)-（n1+ 1)( +2)n=(b -a)a2 +1 +ab -a2 +_ab33-a+ (b-a). 2.利用定积分的定义计算下列积分:知识点：定积分的定义b(1)xdx(a<b).解：易见函数f(X)=x<C a,b ，从而可积，将a,b】分成n等分，则几=色为=n于是AT 0u n T处，；取q (i =1,2卄|, n)为第i个小区间的右

6、端点，则© = a+i ,i 二0, 1 时，有lim_S n , n,1 -en，*，n-1,nnndbnubaba所以 J xdx =lim W f (勺)比Xj = lim S (a +iL)ai 兰n 盜 i 卫n n1 b a= (a)lim1 n a + (0+1+2+川+ n-1)n¥ n=(b a) lima +b_aT(F=(")呼十5(1nb -a=(b -a)(a +I 222)匕(b -a).1 In xdx解：用分点Xi =en(i= 0,1,ill，n)划分区间 1,e:i i A.也Xi = Xi -x 4 =en -e n ,i =

7、1,2,川，n，取巴i是区间右端点,则 q =Xi =en, f(£)=ln(勺)=lnene作和，并取极限得:-en)f ln xdx = lim Z"iz0-enn送ii -4(口e訂丄en) nn1-e1 (1-e)1nonm1=e"e)nmn(X记g(x)=y，则当d X1 -e(1-en)XT 0时，g(x)是-型的，由洛必达法则,01-en有|xm0ex比-1e1 In xdx =e +(1 e) =1. 3 .利用定积分的几何意义，说明下列等式:1(1) t2xdx=1.知识点：定积分的几何意义 思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的

8、面积解:等式左边为直线y =2x与X轴和X =1三条直线所围成的面积，该面积等于iL1_|2 = 1 =等式右边.3T , Cr sin xdx =0解:等式左边为正弦曲线 y =sin X与X轴在X =兀及X =兀之间所围成的面积，其左右两边面积互为相反数.兀r sin xdx = ( A) + A = 0 =等式右边b d 4.用定积分的几何意义求 J(x-a)(b-x)dx (b a0)的值.知识点：定积分的几何意义 思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解：因为 J(x -a)(b -X)序匚宀是以乎为圆心,匕旦为半径的上半圆,2其面积为：S=丄兀r22由定积分的几

9、何意义知: 5.试将和式的极限漳斗忤(PF表示成定积分.nP十知识点：定积分的定义思、路：根据定积分的定义推导过程可知，求和的极限公式可表示为定积分解: lim1P+2P¥+nP =lim1(1)P+(2 YJ十nTn nnp +2n1丁 (;)p"吩三i=1(丄)Pn1设f（x） =xP，则用定义求解0 f （x）dx为:、等分0,1为n个小区间：,in ' ni1,i =1,2,川 n, AXi = n、求和：取区间口，丄上的右端点为n ' n=丄，作和:nnn 彳Z fCiXi =2 -X-iy n n、求极限:(丄)p歹-J n= lim zFn(丄

10、)pij n1p-lim 一n_ac+2W迴-朕）。n"测得数据如下: 6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔 20米测量一次水深,Xm宽020406080100120140160180200ym深25911191721151163试用梯形公式求此河横截面面积的近似值知识点：定积分的几何意义Xi思、路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步:用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即f（q）iX比J f（x）dx，思、路：利用定义推导定积分的性质若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为:XJx f (X)dX。Xj丄解：积分区间a, b = 0,200 ,并对该区间作10

11、等分，则区间分点x（i =1,2,川，n）及其对应的函数值yi恰如表中所示，第i段的梯形横截面面积:b a 1, .此河横截面面积-(yyi0yi +y2 +川+ y9" 2330 m习题5-2 1.证明定积分性质：b(1) fkf(x)dx=kf f (x)dx.( k是常数) 为"a知识点：定积分性质证明：设f(x)在a,b 上可积，对任意的分法与取法，记Z=maxUxi(i =1,2川|, n)bnn=k Ja f(X)dx =klim 2kfGxi = kf (x)dx'aT i 1i -1'abb(2) a 1 d = fa dx二b -a .知识

12、点：定积分的定义证明：因为f(X)=1,于是对任意的分法，有fdx=ljm2 g =l即 b-a) =b-a. 2.估计下列各积分的值：(1) f4(x2 +1)dx知识点：定积分性质 思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围2 2 2解：因为X及X +1在区间1,4上单调递增，故 2<x +1<17,xqi,4，42而区间长度 b-a=4-1=3，所以 2咒3=6< (x2+1)dx<17x3 = 51.即6< f(x2 +1)dx<511 2ex dx知识点：定积分性质 思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定

13、积分值的取值范围 解：记f(x)=eX，先求出f (x)在b,!】上的最值,由于f '(X)=eX Lj2x =2xe 3 0,x亡Io,1】，所以f (x)在0,1】上单调增加,因此 min f (x) = f(0)=e0 =1，maxf(X)= f (1) = 6 =e，即 1 兰 f(X)兰 e，再由定积分的性质，得:1 = 01dx< J0e"dx< J0edx = eV3(3) (1 X arctanxdx知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围 解：记 f(X)= X arctan x, x 忘,所以f（

14、X）在单调增加X因为 f '(X)= arctanx+ >0,x1 +x=m = min f (x) = f (土)=于arctan"*M =min f (x) = f (73)=亦arctanV3= (J3 丄)<X arctanxdx< 兀63V3為兀J32応即一< h X arctan xdx <9>2 XEx知识点：定积分性质思、路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值,从而确定积分值的取值范围1X2X解军：令f（X）=,因为当1 <x v2时,1 +x所以函数f（X）在区间1,2 上单调减少，因此f （x）min =2 2

15、右鳥 f(X)max1+12=丄 -2,区间长度b-a =2-1 =1,所以xexdx知识点:定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小,判定积分值的大小解：令f(x)=xeX,因为当 _2£XcO时，f'(X)= (1+x)eX,驻点为 x = -1,2 , f(X)max = 0, e所以0< rxeXdx<f2. 3.设f (x)及g(x)在a,b 上琏续，证明:(1)若在a,b 上，f(X)>0,且 f f (x)dx =0,则在a,b】上,af(X)三0;知识点：定积分性质思、路：用反证法，通过定积分的估值不等式得到矛盾结论来证明证明：设

16、Xo (a,b)，但 f (xo) H0，不妨设 f (x0) >0 ,T f(x)在 x0处连续，二 lim f(X)= f (x0) aO，x0由极限的保号性：Nx) 6,x0 +6) u (a,b)，使当 X (x0 -6, x0 +6)时，有 f (x) > 0 ,Xo 怖bb从而 J ,f(x)dxA0 二 f(x)dx>0，与条件 J f(x)dx=0 矛盾!“X) Q“a"a.Xo f(X)三0 ， X 亡(a,b)，同理可证：当x=a或x = b时，f(a) =0, f (b) =0所以f(X)三0，X可a,b若在 a,b 上，f(X)>0,且

17、 f(X)HO ,则 f f (x)dx >0 ；a知识点：定积分性质思路：反证法和(1)的结论来求证证明：因为 f(X)>0(x壬a,b)，所以b f(x)dx>0，"ab而f f (x)dx是数值，它仅有零或非零两种可能af(2) =2e', f(-1) = _e-*, f(0) =0,所以 f(x)minb若设f(x)dx=O，则由上面已证，在上必有 f(x)=O,这与题设f(x)HO矛盾,b从而 f f (x)dx >0.abbg(x).若在 a,b 上，f(x)>g(x),且 Ja f (x)dx = Ja g(x)dx，则在a,b上，

18、f (x)知识点：定积分性质 思路：由定积分性质和(1)结论求证 证明：设 F(x) = f (x)-g(x), X 引a,b，则由题设可知：F (x) > 0,x 可a,bbbb又因为 f F (x)d = f f (x)dx - f g(x)dx = 0，aaa y由得，F(x) = f(x)-g(x) =0，从而f(X)三 g(x),x 引a,b 4.根据定积分性质比较下列每组积分的大小(1)0 x2dx，0 x3dx知识点：定积分性质 思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小x'dx1 1解：当 (0,1)时，X3 <Xx角军：因为当X迂(0,1)

19、时，X AX ，故e，即 x2-x3：>0.= .(x2-x3)dx :>0 = JoX2dx1 1 2eXdx， 0 ex dx知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小,判定积分值的大小2 1 1 2>eX .因此：LedJ0eXdx1 1eXdx， (x+ 1)dx知识点：定积分性质解：令 f(X)=ex -(1+x)，贝U f'(x)=ex -1>0, x亡0,1,且仅当x=0时，f'(0)= 0,所以在0,1 上, f(X)单调增加二 f(x) =ex-(1+x)>0 = f(0),即ex >(1 + X)又因为在0

20、,1 上, ex H(1+x)，即f (x)不会恒为0.1 1所以 L f(x)dx = eX (1 + x)dx A。,1 1即.LeXdx > 取X +1)dxxdx，sinxdx知识点：定积分性质 思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小解：令 f(X)= x sin x，贝U f '(X)=1 cosx > 0,x忘'|0,二 1L 2且仅当x=0时，f'(0) =0，故在b,= U, f (x)单调增加r 2=f(X)=x -sin X >0 = f (0),即 X >sin x,又在 |0,丄 I上，x H sinx

21、，即 f (x)丸, L 2= 02 xdx > 0 sin xdx0远(5) J 兀sin xdx， J2sin xdx2知识点：定积分性质 思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小0解：当,0 ，sinX <0，从而 f 兀sin xdx < 0 ;2 二和-又当xr0,2j，smo,从而阿曲。0卫所以 J 兀sin xdx 兰 02sin xdx0 0 x(6)In (1 +x)dx，dx1 1 1 +x知识点：定积分性质 思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小x1解：令 F(x) =ln(1 +x)-亠，则 F'(x)=&

22、#39; 1 +x00 xJ肿+x)dx<J1dx所以 F(x)在(0,1)单调增加，且 F(0)=0,故 F(X)0, x (0,1)，1 0所以 L F(x)dxA0二F(x)dxc0= 5.利用积分中值定理证明：nxdx = 01 +x知识点：定积分性质 思路：利用定积分的中值定理求极限n证：由积分中值定理知，存在一点M4,L 2 J因为0兰仁2，所以【映匕厂0= nim4匸0，所以lim占nC 0jnm30知识点：积分上限函数求导公式23 6.设函数f (x)在0,1 上连续，在(0,1)内可导，且3L f(x)dx= f(0)证明：在(0,1)内至少存在一点E，使f (

23、9;) =0.知识点：定积分性质 思、路：先利用积分中值定理，得到满足罗尔定理条件，再求证1 23 加xg也c)(匕2f(c)= f(0),故f (x)在区间0,c 上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点匕(0, c)u (0,1)，使f 牡)=0习题5-3 1 设 y = t sin tdt,求 y (0)，y'(7).知识点：积分上限函数求导公式 思、路：先利用积分上限函数导数公式求出导数，再把特殊点代入计算,兀解：因为 y(X)=sin x,所以 y (0) =0, y ()=4 2 2 .计算下列各导数：令后dt;知识点：积分上限函数求导公式解: dxd r2 応dt =时？也=

24、2xjk dx02dx知识点：积分上限函数求导公式解: L-7=Jdx x J1 +t4dx 0X332dt _ r dt1 d(x )1 d(x )dx "Tr+a2)4 dx3x22xJ1 +2 J1 +x8d 严X2-LnxC0S沁)dt；d cosx2d cosx2si nx2解：Jsinx COS(兀t )dt = 0COS(兀t )dt 0 cos伍t )dtdx idx= cos(兀 cos2 x)(cos X)一cos(兀 sin2 x)(sin x)'=-sin Xcos(兀一兀 sin2x) -cosxcos(兀 sin2 x) =cos(兀 sin2 x

25、)(sin x-cosx).x2 dxdx，求 g”(i)。知识点：积分上限函数求导公式,再把特殊点代入计算思、路：先利用积分上限函数导数公式和商的求导公式求出各阶导数解：g Yx) = 2x1+x6'吟、2(1+x6)-6x5L2x 2-10X6 g (x)=(1+x6)2(1 + x6)2'所以g2寺-2. 4.设函数y =y(x)由方程 redt + f costdt =0确定，求 鱼dxp-知识点：积分上限函数求导公式 思、路：方程两边同时对x求导求得角军：方程两边同时对 x求导，得吧+cosx心d, _ cosxdxe，由题设，有e，,八+ sint =0, 0一e，

26、=1 -sin x,所以dy cosx dx sin xT 5.设ttx=e nudu，ycosudu，求dx知识点:积分上限函数求导公式思、路：利用积分上限函数和参数方程求导公式求得解：因为x/ =sint,yt' =cost， 所以 业=肛 = dxXtsin t 6 .求下列极限:X2f cost dt lim T X知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则X 2 0 2 解：因为 lim .0 cost dt = 0 cost dt =0,X2f cost dt利用洛必达法则：lim =limXTXT2cosxc .= cosO =1.1(2)lim0X【0 arctantdt

27、X2知识点:积分上限函数求导公式；罗必达法则解：limj0X0 arctantdtX(0 arctantdt)' =lim 1+x212=iimacta=lim(X2)'T 2x T 22f J1 + t2dt lim n0知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则X21。J1+t2dt(X2)'2x 7 .设f（X）在0兰t兰十处上连续f(x) 22(1)若 J t2dt =x2(1+x)，求 f(2)知识点：牛顿一莱布尼茨公式思、路：利用牛顿一莱布尼茨公式求出函数表达式,再把特殊点代入求值f(x) 213解:因为ft2d-t3'O3f(x) 1 #3/ 、0

28、=3f(x)，所以 1 f3(x) =x2(1+x)= f(X)=g3x2(1 + X),3故 f (2)=他2(1 + 2)=痂.X t2 &当X为何值时，函数I(X)= L te dt有极值?知识点：函数的单调性求极值 思路：求出函数的驻点，并判断函数在该点左右区间的单调性，利用单调性判断极值点2解：因为 I (x) = xe ,令 I '(X)= 0,得驻点 X = 0.而当 xcO 时,l(x)vO;当 xO 时,l'(x)>0.X t2所以当X =0时，函数I(X) = L te dt取得极小值也是最小值 9.设 X >0，问2xx取何值时r詈3最

29、大知识点：函数的单调性,积分上限函数求导公式思路：求出函数的驻点,并判断函数在该点左右区间的单调性2x解：设 g(x) = f 'X Ji +tdt而 g(x)= _ - =33Jl+8x3+2J1 + X3 -Jl + 8x3J(1+8x3)(1 + x3)由g '(X)= 0.解得驻点为x0 = (3T当 xa0时，J(1+8x3)(1+x3) >0,要使 2Ji+x3 -Ji+8x3 >0 ,只要2时>砂=任寺鳥二当 0VXC 咅时，g(x)>0 ；当 XA 存时，g'(x)v0)32x dt因此，当X = 时，函数f J取到最大值.V4

30、10计算下列各定积分:3 3x3：3八芬心卜总？晋2 1x31解：1(X +4)dx=(= x f仮（1+仮皿;知识点：牛顿一莱布尼茨公式解：f 仮(1 +7X)dx =4= 2(28pH1(816H451.326岳 dx£ k知识点：牛顿一莱布尼茨公式* Jarctan 二a +x a a一 arcta n 0 = a3adx2 -X知识点：牛顿一莱布尼茨公式1 dx解：J2! =arcsinx三山-x21/2-4/2匹(5)tan2&d日;知识点：牛顿一莱布尼茨公式解：tan2日dO =（sec日T）d日=（tan日一日）兀/403兀(6)(1 +cos2xdx；知识点：

31、牛顿一莱布尼茨公式思、路：利用牛顿一莱布尼茨公式求出原函数，再代入积分上下限求得33 3解:f ；1 +cos2xdx = Jo叫2cos2 xdx =逅TLCOSX dxrn空=J2 /lcosxdx-/lcosxdx = 7lsinx271/2-恵 s in x03717471/2= 242-1.r1 .I sinx 0 吒X11 设 f(X)= <2-,求 (X)= 0 f (t)dt 在(虫，xc)内的表达式.0X<0 或 XA兀知识点：牛顿一莱布尼茨公式X思路：*（X）= Jo f （t）dt随X而变，并注意到被积函数f（X）在不同区间的表达式不同，所以必要时对Xf （t

32、 ）dt进行分段积分。X解：当 X c0时,做X)= 0 0dt =0,当 0<x<i 时，*(x) = fsintdt = -lcost0 2 21 - cosx2=sin1 2 -,2丄兀1X当 xaJ!时，*(x)-sintdt + J兀0dt=1./-0X cO所以做 X)= <si n2 X10 <x <兀7 (11+5x)31 12.设 f(X)连续,若 f(X)满足f (xt)dt = f(X)+xeX,求 f (x)知识点：积分上限函数求导公式 思、路：换元法求得积分上限函数，再对积分上限函数求导1思、路：用换元法改变积分限，使f(X)和f ()积

33、分限相同x解:由于 f(1)jxjndtT-X t/ln(1+u)鯉du,u1 xln( 1+) du u,X i n u1而 1 du =-(l nu)因此:xdujlnx)u2=如 x)2. 14.设f (x)在a,b I上连续,在(a,b )内可导,且f '(x) <01 xF(x)=f f(t)dt，证明：在(a,b )内有 F'(xh0x-a 'a知识点：积分上限函数的导数，积分中值定理，拉格朗日中值定理X证明：F(x) = f(X)(XaIaf(t)dt(X-a)2f(x)(xa) -f(E)(x-a)(X-a)2(a < 匕 < X)f(

34、x)-fG) f r)(x-©)(x-a)(x-a) a<©<x , f'(x)<0= f(n)<0,二 F'(x)<0习题5-4 1用定积分换元法计算下列各积分ji fjisin(x + ) dx知识点：定积分换元法(凑微分:JIdx = d(x+§)71/3兀=cos + co = 033兀_解: 辰 si n(x + )dx =丘 s in(x+ )d(x +) = -cos(x +)331dx知识点：定积分换元法（凑微分:dx = 1d(11 + 5x)dx3(11 +5x )“；1工打(11 +5x ) d(

35、11 +5x)= 一石(11 +5x)(6)(X十3知识点：定积分换元法一祁16'-1)51512¥sin单cos半d单知识点：定积分换元法（凑微分：sin = d cos护）71/2jTjl1解：sin ® cos3 吩一cos3cos J -4 cos4(4)cos2udu6知识点：定积分换元法思、路：先用三角公式降低被积函数的幂次，再逐项积分。解：J；2cos udu =活1? 671/2+ cos2u1.du = (u +s in2u) 22271/65(5) IX3X2 +1dx1 2知识点：定积分换元法（凑微分：xdx= dx）2思、路：先将被积函数（假

36、分式）化成真分式，再逐项积分。2 dx X2 +15x3+x-X0x2+1dx5xdx2 P X2 +1252x +3X-5dx4ln(+ 1、誇-如26.思、路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分dx 空耳一注+ x+305 2x2 +3x-5Jdx = 0(2x-3+dxx+3x+3 x+30x+3=x2-3x +4ln(x+ 3)： =10+4ln83=10 + 12ln 2-4ln 3.1 2知识点：定积分换元法（凑微分：xdx=2d（x+1)1 xdx 解：1 d(x2 +1)1 _2 如(x2+1)22(;2 +1)1=0.402 e"X(8) f dX1 x2

37、知识点：定积分换元法（凑微分:4dx = d()xxx1上(9)pe 2dt知识点：定积分换元法（凑微分:tdt)21 厶1 上 t2解：，0te2dt 0。2址一°t221=1尹.Qaxdx(10) f” XQX0/- 22v3a -X知识点：定积分换元法 解：方法一：令 X = J3asin t,则 dx = J3a costdt,不妨设 a > 0,严 xdx0 Jsa2 -X2 =亦aJ1 -sin2t0二严语3a迪旦stdu广碌73asintdt'0.匚*=-x/3acostarcsin、卫73= (73-1)a.1方法二：凑微分：xdx严丄x2)(11)戶

38、xdx辰2 -x2_1戶 d(3a2-X2)一 2 0 屆2 _x2=一1 X 273a22 2-x"1(73 1)a01 xjl +ln X知识点：定积分换元法(凑微分:丄 dx = d(1 + ln x)x.e2dxe2 d(1 + lnx) 'J1 + In x= 2J1 +lnx2:=2d).(12) J2 兀 s in xcos2xdx巧知识点：定积分换元法(凑微分：sin xdx = -d (cos x)思、路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数 解：fsin xcos2xdx = J2兀sin x(2cos2 x -1)dx = J2兀(2cos2 x -1)

39、d cosx22= (cosx -fcos3 x)血2=0-n72丑 (13) J2%jcosx-cos3 xdx知识点：定积分换元法 思、路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数H_"2解：J2兀 Jcosx - cos3 xdx = 2 J2兀Ucosxsin2 xdx = 2 J討cosxsin xdx "2吨(cosx)271/2=43(14)X x dx知识点：定积分换元法思、路：用三角代换去根号知识点：定积分换元法（变量代换去根号）解：J2x x2dxx_1)2d(x-1)=x 二仝int02cost d sin t = f 兀cos tdt'七=! J

40、；(1 +cos2t)dtn2t)2-22 2(15)I2-X2 dx知识点：定积分换元法（变量代换去根号）解：广 j2-x2dx(16)dxx2 J1 +x2m_= 72J1 -sin2td(72sint) =2 J02=tF2+如JI0 = 2COS2 tdt = J02 (1 + cos2t)dt知识点：定积分换元法方法:用三角代换去根号dxx dtanu 兀；tan usecuf dsinu¥ sin2 u71/3sin u兀/4方法二：倒代换73dx吕udu習 d(1+u2)73/3xx21J1+U2j1+u2(17) ；(1如2严dxsec tdt12 今2 x3t H

41、2解：(1 +xJe"x (21) f f dx)dx =(1 + tan 2t)知识点：定积分换元法 思、路：用变量代换去根号知识点：定积分换元法解：f#dL=J5 -4xJ¥ -4x =u1 5 -u2Au=8 J； (5-u2)du W®-gu3)3 161 dx(19)号片知识点：定积分换元法思、路：用变量代换去根号1 dx解：号尿二：!0 2udu2u -1= 2*uj+1du1吨（1)du =2(u+ln u -1)1/20 "一2山2.0 X +1Kdx知识点：定积分换元法 思、路：用变量代换去根号0 X +1 Q± 2上2 -4

42、 +12 21 3-Edx12tdt71(t'0 Jex+r)dt=2(3t3t)方法一：凑微分：edx = d(e-)知识点：分部积分法1解：Je+e=dx= f -=dxdb)+ ex=1 n(1 +72) -In(1+Jl+e2) +1.方法二：作代换：e1=t,则 X = -Int,dx = -dtdx=-.e丄11dt =山+t2=1 n(t +QF)=In(1 + 72) -1n(1 + j1+e2)+1. 2.用分部积分计算下列定积分_x(1) T xe dx知识点：分部积分法 思、路：利用分部积分去多项式函数1V解：£ xe dx一fxde-Xfe)0皆dx-

43、4-X=-e-ee(2) I X In xdx知识点：分部积分法e-T xdx思、路：利用分部积分去对数函数(In X)解：XInxdx=- flnxd(x2)=-x2ln1 2H-(e2+1).41(3)( xarctanxdx1 x21 1 1 2 12歹 dx'01 + x2解:xarctanxdx =亍 arctanxd(x)=-(x arctanx)兀 1 dx = X - arcta nx1 +x82（或者先变量代换再分部积分:1arcta nx± 4-xarctanxdx = ttantd tant 匕arcta nx：±0(ta nt)2)= 1tt

44、an2t冗4Tt42一 L tan2tdt171/42兀一舁（品”二1tant2兀/40=es in 1 xcos(l nx)e er -)1 sin (I n x)dxe(sin(ln x) dx知识点：分部积分法 思、路：通过反复使用分部积分，建立等式求解er - t cos(lnx)dx解：I sin(lnx)dx =xsin(lnx)lnxzt 1=gsintdt)所以 fs in (I n x)dx = 1 (esi n1 -ecos1 +1).e（或者先变量代换再分部积分：T sin（ln x）dx(5)xsi n2xdx知识点：分部积分法 思、路：用分部积分去多项式函数1解：XS

45、in 2xdx=-xd (cos 2x) =-2x cos 2xJIcosZxdx71/20兀 1=+ -si n2x44.2兀b 2(6)( xcos xdx2兀4 xcos2xdx=兀212兀+- f xdsin2x =兀4 b+ -xsi n 2x4 c2兀012兀f sin 2xdx4 'o+1cos2x82兀0"2.思、路：先化简，再用分部积分去多项式函数兀212兀12兀1J0xcos xdx=q L x(1+cos2x)dx =- xdx+-2(7) _J xlog2 xdx知识点：分部积分法思、路：用分部积分去lOg2 X1 .22 ,解：I xlog2 xdx

46、 =才 t Iog2 xdx2 =l(x2)log 2 x1"12=一4 X2 2I n22-23=2-14ln 2XdxIn 2.4 In X(8) FdX知识点：分部积分法思、路：用分部积分去In XT In xd 仮=2( VXIn X - 2仮)41H4(2In 2-1).匹X(9)S 2 dx4 sin X知识点：分部积分法思、路：用分部积分去多项式函数JI兀 X解：3 d - y xd cot X = -xcot X7 sin X4兀/371/4JI,r3 COSX+ gdx4 Sinx兀一一)+ln sin X471/371/4(10)祗 xex'dx知识点：分

47、部积分法 思、路：用分部积分去多项式函数思、路：通过反复使用分部积分，建立等式求解TjIn 2解7x2dxJ 严x2ex22 0dx2(11) t1Jln2x2dex2 01 2 x2 =-x e22xsec x(1+ta n2x)2dx寸I n2j0dx2 = In 2 一1 eX2知识点：分部积分法思、路：用分部积分去多项式函数解：f4 xsecx b (1+tanx)2dxT4xd(1 + ta nx1 +ta nx'01+ta nxdx兀/41+ta nxdxJI设X = t,则4x_t4dx41 +tan(兀 /4) -tan tdt1 +tan(兀 / 4)tan t2xsec x(1+tan2x)2dx rdx = + +l n2=l n2.8 P 1 + ta n X8844(12)/cosxdx知识点：分部积分法e2xsi nxdx =-£+丄 psinxde2x4 k卫1 丑11解：2 e2x cosxdx = f2 co