定积分的换元积分法

1、第五节定积分的换元积分法 一、定积分的换元积分法1例7. 5. 1 求定积分八一 dx.J54x解 根不定积分类似，令即5-11 2x =4当x = 1时，对应地t =3 ;当x=1时,对应地t= 14j5-4x罟d%冷-8山 注意：变量换了， x的积分区间必须对应地换成 t的积分区间.例7. 5. 2求定积分仙ctan依血解0 arcta n Vxdx扳=t 0arctantdt2=t2 arctant1 1 2-Ltd arctant0'0兀 It2+11“ t 0dt1+t2104-1.1例7. 5. 3求定积分L（X-1） xdx .x'4101解 j0（x-1） xd

2、xdx17. 5. 5求定积分 L（1+x2）2x-1 =t ti0ft +1 d （t +1）（t11 廿10）dt匕严+丄t11J21111 121132例 7. 5. 4 求定积分 J：J16-X= （8t+4si n2t dxy（1+x2）2dx .解 L j16-x2dxX =4sin t 1 4cos td 4sin t，那汎 2t、.1 jT"63ostdt （或"6I-16 丁）= 8f（1+cos2t）dt1=tant J4兀一d tantJI4se6tC- dt4 sec t4l+COS2tdt= (-rH-s in2t)247. 5. 6求定积分2尸1

3、dx=sect*dsect='0 sec tsec t=s in J(t dt1 costdtJsint31,x30 )7. 5. 7 求定积分 1 f(X -1 dx，其中 f(X ) = *2，0 f(X1 dx2i f(x-1d(x-1)0 1=(xdx +Jof(xdx° 丄dx + fdxx+21 +eX=1 n(x+21+ex=1 n2 +1 -l n(1+ex = 2ln 2+11 n(1+e ).例 7. 5. 8 求定积分 r Jsin X -sin3 xdx .0f Vsin x-sin3 xdxJIf in x(1 -sin2 x )dxJIJsin x

4、|cosxdxJsin xd sin'2G Jsin xd sin x2Jsin xd sin兀r. k/sin xd sin x2厶sinx)23?-2(sinx) 0 3我们应注意到：如果忽略了COSX 在而按Jsin X -sin3 x = Jsin x cosx计算，将导致错误结果.例 7. 5. 9 试证明：f(sinxdx =f (cosx dx.我们知道sin壬t Lcost，所以令X = - t12丿 2则左边=r f (sin X pxsin ”L 12i二tip 倍刀12丿0=f20=- J兀 f (cost pt2匹=f (cost pt匹=f f (cosx p

5、x即f (sin X dx = O2 f (cosx px.二、奇(偶)函数定积分 从本章第一节定积分的几何意义我们就注意到:(1)奇函数y = f (X )在关于原点对称的区间上的定积分等于零,a即 J f(xdx=O (如图 7. 1. 6);'-a(2)偶函数y = g(X )在关于原点对称的区间上的定积分等于其y轴右边面积的二倍,aa即 J g(X px = 2 J g (X px (如图 7. 1. 9).“ a"0现给出理论上的证明:(1) y = f(X )是a,a 上的奇函数由积分区间的分割性质，得a0aJ f (xp ； f (xp ； f (xpx aa0

6、0其中Jf(X dx0 f (J d ()0=f (t dta0 f (tdta一 Jo f (Xdxa所以 f (x dxaa0 f (xdx +,0 f (xpx(2) y = g(x )是a,a I上的偶函数则 g(-x)=g(x )由积分区间的分割性质，得a0aJg(x dx = Jg(x dx + g(xdx0其中J g (x dxL -a0d(-t )0一 Jag(t dta=, g (t dta=i g(xdxa所以f g (x dxL -aaa=(gadx + gxjdxa= 2.0 g(xdx.上述结论最有价值的是第一个，即奇函数在关于原点对称的区间上的定积分等于零22 3例

7、 7. 5. 10 求定积分 L(4 x ) sin xdx .解这个积分用分部法可以做出来.但看到被积函数是个奇函数，您还会用分部积分法去做 吗？至于结果，就请读者您自己圈上吧思考题7.5（换限）1.定积分的换元法与不定积分的有何不同？使用时要特别注意什么问题?2.例7. 5. 4中定积分4J16-X2dx还有个更简单的求法，你想到了吗?练习题7.51.试证明：sinn xdx =coSxdx.2.求下列定积分:(1) f xTZdx ；( 2)兀sin 10 xdx ； ( 3)5I"13Lxcosxdx ；1(4)和1-x2 )sin7 xdx ;(5) Uxex2dx;2(6)'ydx.j1 + ex-6练习题7.5答案1.试证明:sinn xdx =cosn xdx.兀X = t2f兀、地球人都知道sin t =cost，所以我们令J则左边=曲xdx爪i,tl5 l2丿5-t0 n=&(COSt )dt2匹2 cosn tdtcosn xdx丑即sinnxdx二cofxdx.2.求下列定积分:(1)J：x77dx ；（2）兀1sin 10xdx ； (3) r x3cosxdx ;(1)、总,.2127"22打