84格林公式NEW

1、返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分第四节第四节 格林格林(green)公式公式二、二、格林格林(green)公式公式一、单一、单( (复复) )连通区域及其正向边界连通区域及其正向边界五、小结五、小结 作业作业三、三、平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件四、曲线积分基本定理四、曲线积分基本定理返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分一、单一、单( (复复) )连通区域及其正向边界连通区域及其正向边界设设d为平面区域，如果为平面区域，如果d内任一闭曲线所围成的内任一闭曲线所围成的部分都属于部分都属于d，则称，则称d为平

2、面单连通区域；否则为平面单连通区域；否则称为复连通区域称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域dd返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分规定：规定：例如：例如：区域区域221,xy221,xyd对于对于xoy面上的闭区域面上的闭区域d边界曲线边界曲线 的正向：的正向：当观当观察者沿着边界行走时，区域察者沿着边界行走时，区域 d 总在他的总在他的左侧左侧，并，并记作记作 ；与该方向相反的称为负方向，记作；与该方向相反的称为负方向，记作 . .d d d 是逆时针方向是逆时针方向d 是顺时针方向是顺时针方向d 返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线

3、积分与曲面积分微积分微积分设闭区域设闭区域 d 由有限条光滑或分段光滑的曲线围由有限条光滑或分段光滑的曲线围成成，函数函数 p(x, y)及及 q(x, y)在在 d 上具有一阶连续偏上具有一阶连续偏导数导数，则有则有 ()ddqpdxdypdxqdyxy (1) (1) 其中其中d 是是 d 的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线. . 二、格林二、格林(green)公式公式定理定理1 1：公式公式(1)(1)叫做叫做格林格林(green)公式公式. .返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分假假设设平平面面区区域域d既既是是 x-型型又又是是 y-型型的的，即即平平

4、行行于于坐坐标标轴轴的的直直线线和和d 至至多多交交于于两两点点： yxoabdcdce2( )xxy 1( )xxy 1( )yyx 2( )yyx ab返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分yxoabd1( )yyx 2( )yyx abyxodcdce2( )xxy 1( )xxy ()ddqpdxdypdxqdyxy 返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分( (1 1) )当当区区域域 d 不不同同时时为为 x-型型和和 y-型型区区域域时时， 可可通通过过添添加加辅辅助助线线将将 d 分分成成有有限限个个既既是是 x-型型又又是

5、是 y-型型的的部部分分区区域域（如如图图） ： 注意：注意：d1d2d3dd2l1lab返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分(2)(2)green公式可以看成是公式可以看成是n - -l公式在二重积分下公式在二重积分下的推广，它将平面区域的推广，它将平面区域 d 上的二重积分与上的二重积分与d的边的边界曲线界曲线 d+ +的第二类曲线联系起来了的第二类曲线联系起来了. . ()ddqpdxdypdxqdyxy 返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分4 (0,0) (1,0) (0,1) 1 lx dxxydyl 求求，其其中中 是是以

6、以、为为顶顶点点的的三三角角形形区区域域的的例例 、正正向向边边界界. .16答答案案: : 返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分22(2 )(3) 22 (2,0)(0,1) 1(0,1)( 1,0) 2 ylxy dxxyedylxyabxybc 求求，其其中中 是是由由直直线线上上从从到到的的一一段段及及圆圆弧弧从从到到的的一一段段连连接接而而成成的的定定向向曲曲线线例例 、( (如如图图).).c(-1,0)a(2,0)b(0,1)oxy524 答答案案: : 返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分2222 :21.3lxdyy

7、dxlxyd xy 计计算算，其其中中 为为椭椭圆圆型型区区域域例例的的正正向向边边界界、1 2 4 ldldxdyydx 设设区区域域 由由光光滑滑或或分分段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线 围围成成. .证证明明： 的的面面积积= =，并并求求椭椭圆圆的的 面面积积. .例例 、2 答答案案: : 返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分gyxo 1lqdypdx则则称称曲曲线线积积分分 lqdypdx在在 g 内内与与路路径径无无关关， 2lqdypdx1l2lba如果在平面区域如果在平面区域g内有内有 否则称为与路径有关否则称为与路径有关. . 三、平面曲线积分与路

8、径无关的条件三、平面曲线积分与路径无关的条件返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分定理定理2 2：1, ( , ), ( , )(), dp x yq x ycd 设设 是是单单连连通通区区域域则则下下列列命命题题等等价价: :(1), 0ldlpdxqdy 沿沿 中中任任意意光光滑滑闭闭曲曲线线有有(2), , .ldlpdxqdy 对对 中中任任一一分分段段光光滑滑曲曲线线曲曲线线积积分分 与与路路径径无无关关 只只与与起起止止点点有有关关(3)( , ), ( , )pdxqdydu x ydu x ypdxqdy 在在 内内是是某某一一函函数数的的全全微微分

9、分即即 (4) ()pqdyx 在在 内内每每恰恰一一点点处处有有当当条条件件都都返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分两条件缺一不可两条件缺一不可.有关定理有关定理2 2的说明：的说明：返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分注意：注意：(1)二二元元函函数数的的全全微微分分的的原原函函数数的的求求法法00( , )(,)( , )x yxyu x ypdxqdy (2)0 0, .qppdxqdyxyduuc若若中中, , 则则称称它它为为 全全微微分分方方程程即即返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分22-

10、 0 ( , 5),xdyydxxxyu x y 验验证证在在右右半半平平面面上上是是某某个个的的全全微微分分例例 、并并求求(1)( , );u x y一一个个(2,3)22(1,0)-(2) .xdyydxxy (1) ( , )arctan ;yu x yx 答答案案: : 3(2) arctan .2返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分423322(3)(63)0 xx yydxxxyydy解解方方程程 例例 、53331 .3xx yxyyc 1 1答答案案: : 5 5全微分方程的解法：全微分方程的解法：(1)线线积积分分法法(2)偏偏积积分分法法(3

11、)凑凑微微分分法法返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分四、曲线积分基本定理四、曲线积分基本定理定理定理3 3：, , ( , , ) , ( )( )gabgf x y zf drf bf a 设设 为为单单连连通通区区域域是是 内内的的光光滑滑或或分分段段光光滑滑定定向向曲曲线线的的偏偏导导数数在在连连续续 则则返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分注意：注意：(1): 保保守守场场 若若一一向向量量场场沿沿场场内内定定向向曲曲线线积积分分仅仅与与与与曲曲线线的的起起点点和和终终点点有有关关, , 而而与与路路径径无无关关, , 则则

12、称称此此向向量量场场为为保保守守场场. .(2) ff 数数量量场场的的梯梯度度场场必必是是保保守守场场. .返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分五、小结五、小结1、连通区域的概念；连通区域的概念；2、二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3、格林公式的应用格林公式的应用. . 格林公式格林公式 ldqdypdxdxdyypxq)(1) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = p dx + q dy在域在域 d 内的原函数内的原函数:若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可

13、可添加辅助线添加辅助线;2) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;4) 利用曲线积分基本定理算曲线积分利用曲线积分基本定理算曲线积分:返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分若区域若区域k如图为复连通域，试描述格林公式中如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中曲线积分中l的方向。的方向。klqpdxdypdxqdyxy oxyabcdefgk思考题：思考题：返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分思考题解答：思考题解答：oxyabcdefgkl由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：bc

14、dabegfe返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分备用题备用题1. 设设,4:, 1:222412yxlyxl且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ?lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41do2y1x2lldd5415lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41dd2412提示提示:时022 yxypxq) 1(ypxq)2(返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分微积分微积分2. 设设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422c551x322yxcy 5xxyxd)4(3