热学秦允豪编习题解答第四章热力学第一定律

1、热学（秦允豪编）习题解答第四 章-热力学第一定律作者:日期:普通物理学教程热学（秦允豪编）第四章习题解答热力学第一定律4. 2.1解:V2PdVV1(1)PvRTTRTvf RT dv vi v bPvRTRTvf b ln vi1 Bv4.2.2VfRTvB dvvRTln vfviBRT vfviV2应用（4.3）式PViPdV且PVPiViPVi VW故有：VfViPiVi VdVPVivf4.4.2PVi Vf1 Vi1P(1 )PfVfPdvRTIncTRTPiVi（应用了PViPfVf)CvVVIaTvRT -dv bV2刍dvv丄V1CV当V C时,T2CdT CT1dQdTdu

2、dt4 .4.3水蒸气的凝结热即为定压状况下单位质量物质相变时吸收 下此值即为比焓变化，即：Hm h 2545.0 100.592444.4kJ（或释放）的热量，在等压lv（系统放热）H QpT1 CpdTT1abT dTaTa T2 T1b T22T2T122.3 104120030015.921200222.47107Jmol 1T2T2430024. 4.4铜升温过程，是等压过程T2TiQphNH32hN229154丄 86692846846190.5J mol 14.4.6在定压情况下,1molH2H 2.858 105 J mol1molO2和2化合生成1mol水时吸收的热量为1（系

3、统放热Q每产生一个水分子有两个电子自阴极到阳极q 2 1.60 10 19住成1mol水有2Na电子到阳极。总电量为两极间电压为 ，A1.229 2Q6.02 1023C (q2NAe)191.60 10 6.022.858 105102382.84%设1mol固体状态方程为:a,b, C,v 0均为常数。4.4.7V V0aTbP，内能表示为：U CT aPT ,求：（1)mol h解：（1）由摩尔焓定义h(2) molCP,CvPv CT aPTVoaT bP(2) a)b)Cvh CT PvobP2CpCp CPCv(或)V0TCtPV0bP2aTCTV0aT TaTaTV0aTa ab

4、VbV02rTbP2T aP b04. 4.8因缓慢加热，可认为气体吸热膨胀是一个等压过程 dQ mCydT，质量为m的气体吸热PV由mRTPVRTPVR CPT2 dTT129 10(2)Cpin 匸1.01 105 1 ccc 3| 2933 IPVR0.99 103ln24.7 103J 8.312734.5.1热,Ta(1)导热板固定,A中气体为等容加热;t中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁板导TbCp Tb cv q_C?CPQaCVQbTaCpq_耳252-R2CvQ6R鬻 6.71KT -R T2Qa 334.48.31 6.71139.4J139.4隔板活动，A气体等压膨胀；隔

5、板绝热QboQCp2Q7RTboQa2 334.47 8.31195J,B中气体温度不变。Q Cp T11.50KdzRT 证明:dp4. 5 .2利用(1 )由绝热过程方程T P证明:PoTo(1)(2 )将(1)代入dP表达中dPPR0PoP1dZg PoFzRT。PPPd1dPRTo PohdzPohRToPo(3 )注意到CP(3)代入(2) PoPohRToR，即：ghCpToP PoD IS:将(2)式整理，代(3)进可得PoRTohV4. 5. 3 理想气体按证明：(1)aoVp整理得:Q(2)Cv TCvMrtCvNO T:4.5. 4CvMCv注意到C严CPR(3)ghCpT

6、oCPT0aoJP膨胀，证明PVCvCVPoCv2aoTV 。2ao多方指数P2V2P1V1CvP2V2PV1PVTCvPV2TVCv2 aoTVCv为热容量,CV为摩尔热容量。v(4. 6 7)RTu(1)(2-CvT1 RT1C2Consth CpT Ho)Co nstHoRT,1Ho14.5 .5(1 )(1)右则初态PoVoTo、终态P2V2T2，由绝热过程方程(2)由(1)Cv T2ToCvT0 IT0CV278CVT0278CV(2RT2式：|To(3)左侧初态亦为活塞可移动,PoToVo ,27终态为P1V1T1P2Po/RT2PoVoV2P2ToT2P28，由 PV RT3tP

7、Vi 4voTo 兰.9 08PoV12Vo V2T1弘。RVo7V0Po814Vo9PoVoTo21由第(1 )所求,左侧对右侧作功i CvToCV T1TocvTo-CVTo2T CvTo419 RTo24.5. 6 过程很迅速，可认为是绝热的。1由TVTl1 C T1J1T2V1V2V 4 r3313 1.4115D IS:1053 102该题估算的结果与 r的取值相关性太大。46.4696mT2TP2 -Po2CvTo RTo32 n1(1)上面的运算取7r25r2CPCv但当1.4,2696m。1.4，对应双原子，常温情况，显然与题意不合。|r 9空-1.286 知72(2 )若为双

8、原子，取高温2 1r1 r2 10 39 1则:7(3)由此，按绝热膨胀模型对“火球”半径的估算无实在意义。3232 m(3)4 .5.7该题描述测 y 0, y向下为正。方法是19 2 9年Riichh a rd t设计的，简易描述为如图。令平衡位置(1) y 0处，活塞受合力为零。mg PA 0PoA mgPqAPAJ P为气悴压强负号表合力方向与(1 )活塞偏离y 0处，受合力不为零，当活塞运动至y 0之下时，气体 被压缩(可认为绝热的)，气体压力变为 RA,且R PV yA V ,故 V dV,P可记为dP有：P1y反向,P dP，活塞受合力P0A mg RA PA P dP A指向平

9、衡位置 y 0。AdP微分得：PV1dV VdP 0PdV VdPPA P因dVAydPdV yVV，上式化为PA2FAdPy因此得：V(2)(2)式满足Fky ,(准弹性力)活塞作简谐振动。(2)活塞活动的微分方程为:d2ym 2dt2FkyT22(mVT 五2PA2，满足PV气缸内气体变化过程可视为绝热过程水银柱运动的微分方程为o4 2 mV2 2mV0Pc A2水银总长度为总质量为2y V卫gA Ahh，y 0 处m,截面为A。2yA2ymd2y Fm2Fdtky1 A r动能，m为全部水银质量，1 mv 2m部分上升y,具有mgy的势能。mgy由机械能守恒：m max gy maxm

10、gS以上五式得：ySgyhS1maxy max Sv直ydthSyymax SgymaxConstgy2 hy2Const2gyyhyy 0D I S:考虑水银柱 与地球系统的机械 能守恒，得运动方 程亦可求解。中图为振动初态, 全部水银静止，质量为 m max上升ym axm max gymax 的势能。右为振动任意状态，全部水银以 v1 2 mv 运动,具有2B h(2 )水银柱振荡时，右端被封闭气柱经历绝热过程上升任意位置Ti，设水银柱平衡时,右端气柱长L,左端水银y时,右端气柱长度为由绝热过程:Py L ySPoLS其中PoghoPy可改写为PoPyPo对微小振动y LPoPoy Pr

11、Po gy1 :-mv2式中AP是由于右端空气压强 py与左端空气压强yo Py Po Sdy 我 dAP由功能关系:gymax gy maxApPo对水银柱作功之和，且APPy Po Sdy将上述功能关系改写为ySgyhSyy max SgymaxAP.2 Sgw对t求导，将dAp代入:ShyydApdtP yPo Sy2把Py R结果代入:gyhyPyPoh- gy或上式为右端封闭后，绝热条件下2拮2ghoT_T2(3)由T1和T2得:2LhoIIT24. 5. 9即: Cn2g，水银柱作微小振动的运动方程，故水银柱作谐振动T22ghoho2L(1)氮为双原子气体旦2Rn 1Cv故该过程满

12、足的方程为 PV nCv总R2R2Rn 1PV3 C，经历了多方过程Cn2R2n 1n 3）由过程方程：PoVo3P34Vo64PVoPdVcVV土 PoVo31 1ioVo Vo21516PoVo15 8.31 273.1532DIS :4.(3)(4)CvP0P 641064J（负号表对外作功）MCnTPoVo2 16in R /ln /P2ln V2 /ln /V14 .5.CvTT -R P2V22 2 2PoVo口 8.31POVo3232273.15M2RT2PoVo(1)InT1P2V2MCn7RTo154256 1O64PVn c0.10/ / 0.05ln 4.1ln /2.

13、3rt225 4.1262.5JT1105 FO2 644VoPOVo15PoVo5320 J（内能减少）RV18.31 273.154256J(系统放热)5320J故不必每一个量都求解。PP21.19nV2V11.230.5105（内能降低其中：Cn5-R T22AT1一定量理想气体a bVP1V12.3 10 31.0102.05 102 2.3 102Cv|rR1.2 1|rP1V162.5J经历dP解: (1 )P对一 mol 气体：PV RT PdVP abdVbV（ a、b为常数）的过程方程，求 C 。VdPRdT(2)A u Q62.562.5125J(1)由(2)式代入(1):

14、 PdV bVdV RdTP bV dV RdTdV妙 或 P VbRPdTPdV竺匹P Vb2P a bV bV(2 )由热力学第一定律微分表达式du对一 mol气体：CvdT CndT PdVRPdT2P adQ dA(3)将(3)式代入:CndT CvdT PdV(dQ CndT为多方过程)-RdT2P aCvCn Cv 兄 故：n v 2P a(4)(3)由(4)式:CnCvf P该过程热容量不是常数。ICm C04.5 .12理想气体mol热容为解:由热力学第一定律微分表达式duCmdTPdVdQ，求准静态过程方程。dACvdTPdVCVCm dT(1)由 PV RTRTVCm C0

15、代入1)RdVCV C0aTdTCvTdT(2)(2)两边积分Rl nVCvC0InTaTl vR lnp7VRCv CoInTa4. 6.由PVCV C0lnVRT Cv C0R Const(1)如图一，等温线T1与绝热线交于P由PV将上述两式代入PdVVdPdVVa Pa,Va。dPPa的参数,依题意:%0.7141.40.714Cv已旦5r1 0.4 2AA12A23（3）Q1Q31 Q12Q31RT1 In V|V1（2 ）将PT图转化为P V图（二）A12 A23 A34该循环过程的功A02R V1 V2V2RT1 In V11 RT1 I n 2町 2RT12P,PTIn 2RTi

16、 InRTi 14.6 .2u3 42RTiRTi In 20 （该循环为正，循环对Q12 Cv 2T12（1）a rRT1 In 2T12rt1RT1 1 In 221 In 2RT1 In 23.14 1Cv TcTa3 PVc105 103600 J（3） QABCu ACAABC157|RT105PaVa10 3102I n2314J （2 105 33 c 52 100系统对外作功）10 3 2 1051 10 3557JAABC其中P05 NVSAC31Qabc（4）循环过程为6005571157JP V图上的园，过程方程为:2P023m ,V010 mVo（为标度），若改变P、

17、轴标度，循环过程为椭园，其过程为：2P 2P02V 2V0吸热和放热的转折点是绝热曲线与循环曲线的切点Po2，如图。Vo2dPdP交（切）点处斜率应满足：dV循环 dV绝热X令：VoPo由此得:CPCV转折点在循环曲线上,故其坐标该方程组的两个解，即为两转折点4.6.3 故c(1)dy dx循 y 2 2yxdx绝X 221循环曲线Const绝热曲线X, y应满足的二元二次方程组为M、N的坐标。VkPc a过程方程a过程为多方过程，其多方指数Qa bCV TbTaQab |R9T0ToQb cCp Tc TbT02P7Qb cQa cCn3x X 2X 2 25y y 20y 2 21PV可改

18、写为n 2。9P0且P0TbTa2 ConstV0Tb9Ta12RTo2且PVRTTc23Tc27T05-R 27T0 9T0 2C n Ta Tcn 1211 a 一 R T6N 145RT0CvQ127T0Qc aQa b Qb4.6 .4Q2Q247.7RTo解:Q2Q247.7 RT012RT0 45RT047716.3%57(1)由图可知，两个循环绝热线相同，则:12341234Q2注意到TiTiAAQ2T2Q1AT2IAAQ1A Q2T1Q2,由上两式得：IT1AT2 T2373A2731 42.3%4732731.6800世 273 473K4 . 7.Q1T3T21解:设锅炉、地下水、暖水系统温度分别为T1、T2、T3，如图为热机I和制冷机n组合而成的动力暖气装置示意图。T1273210483KT227315288KT327360333K热机的效率Q1T3QQ1T2T3 T2T2T3 T228815045 483制冷机的制冷系数 则暖气系统所得的热量为AA Q2Q1AQ1T2T3 T2T1T1T3T1Q2*Q11333 2881.986 3HT2T3 T2333483Q2T2T3 T2Q2T2T2无论连续工作还是间断工作P0极大，间断工作时应大个折扣。) AT14 .7.(2)如图所示，夏天空调制冷时