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1、试题2（详细答案）作者:日期:2试题名称:点集拓扑（B）题号*.二三四五总分得分评卷人证明：因为（1） T1,T2是X的拓扑，故X , T1，X , T2，从而X,T1 T2一.单项选择题（每题5分，共25分Mso 院学学数:字签任主室研教1.答案：2.答案：3 .答案：4.答案：5.答案：二、证明题（每题3分，共15分）1.实数几何？中的一个关系R定义为R （ x, y）证明R是一个等价关系。证明：自反性:对称性:即 xRy传递性：设x 00 xRxy ii y xyRxxRy, yRz， Q x z xy(yz)?xRz成立、2 |x2 .从离散空间X到拓扑空间丫的任何映射都是连续映射设X

2、是离散空间，丫是拓扑空间，f :X 丫是连续映射，因为对任意 有f （a） X ,由于X中的任何一个子集都是开集，从而 f 1（A）是 所以f ：X 丫是连续的.A 丫，都 中的开集，3.设T1,T2是集合X的两个拓扑，证明T1 T2是集合X的拓扑-（3 分）；（2）对任意的A, B T1 T2,则有A, B T1且A,B T2，由于, T 2是X的拓扑 故A B T1且A B T2,从而A B T（3）对任意的TT1 T2，则TU T' U T1,u t' U T2,故 U T' U综上有T1 T2也是X的拓扑.1 T2 （3 分）；T1,T T2，由于T1, T2是

3、X的拓扑，从T1 T2 （4 分）；4.设X是一个离散空间，A是X的任意子集，证明A的导集是空集。x X,取 U=x-4 分，贝U un Ax-3, 所以 x d (A) -3 分.5.证明 S (a,)|a(,b)|b是？的一个子基证明：这是因为S是实数空间的一个开机族（3分），并且S的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族恰好就是所有开区间构成的族 （5分）再并上 （2分），显然它是实数空间的一个基。6.设X,Y是两拓扑空间，f:X 丫，下述等价：(1)f连续;Y基B,使得B中每一元的原像在 X中开；丫有子基S，使得S中每一元的原像在 X中开.6证（1）（3）:因为丫的拓扑本身便是丫的一个子基（3分）；（3）（2）:设S是满足条件（3）的一子基,根据定义B Si S2Sn|SiS,i 1,2, ,n;n 0 是丫的拓扑的一个基。（2分）Q f 1(S1 S2Sn)f 1(S1)1(S2)它是n个开集的交，因此是X中的开集（3分)（1）:设B是满足（2）的丫的一个基。如果U是丫中的一个开集，贝y存在B1 B使得U AA Bl（2分），于是f1(U) f1(ABA)AB11（A）是X中的开集（3分）。7.设X是Ai空间,AX, A X中序列Xid(A).”:设序列下证“”设U i i Z 是 X在

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