《电磁场与电磁波》复习整理

1、16 / 14第1章矢量分析1、学习了矢量的基本概念和矢量的代数运算；2、学习了场的基本概念，场量的梯度、散度、旋度以及拉普拉斯运算;3、了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。4T AA = eA A矢量：既有大小又有方向的量，模为1的矢量即为单位矢量。eA上,A矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。臨畫B+A,（A+B）+畀A+（B+C）,矢量的乘法两种：点积和叉积A -B = ABo S , A直角坐标系中，A直A B+ A尹 A B -* H4 TAX B= e ABi n 邓 B斗T d T T斗B B交换律）（A B C直角坐标系中，AxlzexABx斗斗斗斗-4 4

2、 HB ,A 虫 +B C 夭 A eeAByBz就称场的基本概念：若空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值,在该空间中定义了这个物理量的场。若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场；若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场。资料个人收集整理,勿做商业用途标量场的梯度：grad ue,旦clmaxexcycz梯度的物理意义：标量场的梯度是一个矢量，大小等于标量函数在该点的最大的方向导数值，方向指向使函数值增加最快的方向。资料个人收集整理，勿做商业用途矢量场的散度：divF=蚂PsFdS=圭 + 西+生AVex by cz其中，空=/ dS是矢量F穿过闭合曲面S的通量。旋度的物理

3、意义：矢量场的散度是一个标量，表示在某处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度。 资料个人收集整理，勿做商业用途矢量场的旋度：旋度rot F = nTTTexeyez点点exczFxFyFz=Vx F =maxT 4其中，也F dl是矢量F沿闭合路径C的环流。资料个人收集整理，勿做商业用途旋度的物理意义：矢量场的旋度是一个矢量，方向沿着是环流面密度取得最大 值的面元法线方向，大小等于该环流面密度最大值。无旋场：一个矢量场的旋度处处为0即为无旋场,它是由散度源产生，例如静电场、标量场的梯度（Nu ）三0）0它是由漩涡源产生，例如恒无散场：一个矢量场的散度处处为0即为无散场,定磁场

4、、矢量场的旋度（A）= 0 ）。拉普拉斯运算：'2称为拉普拉斯算符l2l2-22ELT C u c u c u可 u (可u ) = r， excy<z244呻72FF )-可X (Vx F )散度定理：阳Fdv电FdS表明：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场 F在限定该体积的闭合曲面上的面积分。斯托克斯定理： 严F dS =忆表明：矢量F的旋度在曲面S上的面积分等于矢量F在限定曲面的闭合无线 CdScn上的线积分。格林定理：格林第一恒等式1（申可知+可® N屮dv = n申表明：描述了两个标量长之间的关系，若已知一个场的分布可利用格林定理求解另个场的分布。亥姆

5、霍兹定理：F = W +亦A表明：矢量场F可以表示为一个无旋场与一个无散场之和，即在无限大空间中,只要知道矢量场的散度和旋度，就能确定该矢量。既无源又无旋的场不存在。资料个人收集整理，勿做商业用途第2章电磁场的基本规律1、学习基本电磁物理量的概念，电流、电流密度、电场强度、电位移矢量、磁感应强度、磁场强度等;2、学习真空中静电场和恒定场的基本规律，媒质中的电磁特性。3、学习库仑定律等电磁场基本定律和麦克斯韦方程组以及边界条件。电流强度：i = Ijm如=竺，单位是AAt dt物理意义：单位时间内通过截面S的电荷量，若电荷运动速度不随时间变化则为恒定电流，用I表示。=1 A， Id，体电流密度矢

6、量：J =en lim - - en -，单位是A/ m?AsdS物理意义：空间任意点J的方向是该点上正电荷运动的方向，大小等于在该点 与J垂直的单位面积的电流。电场强度:单位是V/ mq。物理意义：矢量函数，大小等于单位正电荷所受到的电场力，万向与正电荷在该点所受电场力方向一致。电位移矢量:P=工凤E为极化强度，单位是F/m磁感应强度:B二/qvH 44 4J (r' )x(r -r')q斗3dV，单位是T（特斯拉） r n物理意义:大小等于洛仑兹力最大值与乘积 qv的比值，方向为该磁场的方向。磁场强度:pm = aB是磁化强度，单位是A/mH 4媒质的本构关系：D=SE,

7、E是电介质的介电常数，单位F/mB = 4H , 4是磁介质的磁导率，单位 H/mJ =crE, CT是媒质的电导率，单位 S/m电荷守恒定律:OJdS-洋dv八乂V 吐Ct表明：单位时间内从闭合面 S内流出的电荷量等于闭合面 S所限定的体积V内的电荷减少量。对于恒定电流场,J dS = 0= B J =0静电场的高斯定律:jsEdS丄严 dV=E=£0积分形式表明:电场强度穿过闭合曲面S的通量等于该闭合面所包围的总电荷与名0之比。微分形式表明:空间任意一点电场强度的散度与该点的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。电荷密度为正称为发散源，电荷密度为负称为汇聚源。料个人收集整理，勿做

8、商业用途静电场的环量定理:詁=0二 Vx E =0物理意义：静电场是无旋场，将单位正电荷沿静电场中的任一闭合路径移动一周，电场力不做功。恒定磁场的磁通连续性（高斯定律）：丄BdS心理。积分形式表明：穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量等于零，磁感应线是无资料个人收头无尾的闭合曲线。微分形式表明：磁场是一个无通量源的矢量场。集整理，勿做商业用途恒定磁场的安培环路定理:jCB”dl =4o2Sj ”dSu 亦 B = %J积分形式表明：恒定磁场中磁感应强度沿闭合回路的积分等于真空磁导率乘以穿过该闭合回路所限定面积上的总的恒定电流。资料个人收集整理，勿做商业用途微分形式表明：恒定磁场是有旋场，恒定电流

9、是产生恒定磁场的漩涡源。电介质中的高斯定律:sD PS 弋 PdVu D = P积分形式表明：电位移矢量D穿过任一闭合面的通量等于该闭合面内的自由电荷的代数和。微分形式表明：电介质内任一点 D的散度等于该点自由电荷体密度，即 D的通量源是自由电荷，电位移线从正的自由电荷出发而终止与负的自由电荷。料个人收集整理，勿做商业用途磁介质中的安培环路定理:屮 d FsJ dSu 亦 H=J积分形式表明：磁场强度H沿磁介质内任意闭合路径的环量等于与该闭合路径交链的传导电流。微分形式表明：磁介质内某点的磁场强度 H的旋度等于该点的传导电流密度。法拉第电磁感应定律:VS+VxB)扎斗4+ Vx (vx B )

10、 ct表明：穿过回路所围面积的磁通变化是产生感应电动势的唯一条件，感应电流 产生的磁通量总是对原磁通的变化起阻碍作用，揭示了随时间变化的磁场会激 发产生电场。 资料个人收集整理，勿做商业用途安培环路定理的修正:I-T 屮 fdcD呻 Us J 兀矢量不随时间变化时，位移电流密度号为0。表明：在时变电磁场中，只有传导电流与位移电流之和才是连续的。当电位移 是磁场的漩涡源，表明时Ct变电场产生时变磁场。 资料个人收集整理，勿做商业用途麦克斯韦的两个基本假设：1、关于位移电流：变化的电场也是一种电流（位移电流），也要产生磁场，揭示了时变电场要产生磁场。 2、关于有旋电场：变化的磁场要产生感应电场，这

11、个感应电场是有旋场，揭示了时变磁场要产生电场。资料个人收集整理，勿做商业用途麦克斯韦方程组如下:cBE =-微分形式Tsdl斗Q£+hn4a靂 T?-ll- 3LCH4- q积分形式'OC E*sdTB TD-s电磁场的边界条件:切向分量边界条件：tEit-E2t=0 ，即磁场强度H在穿过存在面电流的分界面时切向分量不连续，电场强度 E的切向分量在分界面上是连续的。资料个人收集整理，勿做商业用途法向分量边界条件:Bjn -B2n =0 ，即磁感应强度B的法向分量在分界面上IPm - D2n = Ps是连续的，电位移矢量D的法向分量在存在面电荷的分界面上不连续。 资料个人收集整

12、理，勿做商业用途第3章 静态电磁场及其边值问题的解1、学习静电场、恒定电场和恒定磁场的基本方程和边界条件；2、学习静态场的边值问题的解法：镜像法、分离变量法和有限差分法。静电场基本方程:i JsD dS 十dV iP ”D = P肚 E dl=0®<E=0表明：静电场是有源无旋场，静止电荷是产生静电场的通量源；电场线从正的静止电荷出发，终于负的静止电荷。静电场边界条件：（Din-D2n =Ps表明：电场强度的切向分量是连续的，两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。资料个人收集整理，勿做商业用途电位函数:¥=-勺W ,单位V，即静电场的

13、电场强度矢量等于负的电位梯度。点电荷系产生的电场的电位函数为玖：）=1选定无限远处为电位参考点，则P点电位为w（p）=j：E d静电位的泊松方程:若空间内无自由电荷即P=o，则满足拉普拉斯方程知=0电位函数的边界条件:电=码I 12«輕 巩-勺 2J - - Pscncn1静电场的能量：We =- :叫斗 :能量密度：We = D 'E = EE22 2V WdV 叫qi，单位是J2 id：，单位是J/m3厂n J 恒定电场的基本方程：CS-I 4也cEd =0dS=0表明：从闭合面S穿出的电流恒为零，即闭合面包为的体积内的电量不随时资料间改变。恒定电场是保守场，电场强度沿任

14、一闭合路径的线积分恒为零。个人收集整理，勿做商业用途恒定电场的边界条件：户t E2t - 0j-n - J2n =0一2电位函数的边界条件：/ 时滸2- =02 I点 ncn静电比拟法：E恒E静、Jw D、b2、W恒 申静恒定磁场的基本方程:LCH d = JsJ dS 宓 H=J也 B dS =0jy.B =0表明：恒定磁场是无源有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源；磁力线是 与源电流相交链的闭合曲线。H1t H2t = JS恒定磁场的边界条件：« 1t 2t SBin - B2n =0表明：磁感应强度的法向分量是连续的， 不同磁介质的分界面上存在磁化面电流时，磁场强度切向分量是

15、不连续的。资料个人收集整理，勿做商业用途磁矢位的边界条件:T匕1Al = A2+亦亦 A =Jn匕 丿矢量磁位：B=A，A的单位是T.m （特斯拉米） 磁矢位的泊松方程：'2；=-卩J 在无源区域（；=0）时，即拉普拉斯方程可2；=0静电场边值问题解法：解析法和数值法。解析法给出的结果是场量的解析表示 式，例如镜像法和分离变量法。数值法则是通过数值计算给出场量的一组离散 数据，例如有限差分法。资料个人收集整理，勿做商业用途 镜像法：在研究的场域意外的某些适当的位置上，用一些虚设的电荷（镜像电荷）等效代替导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷。资料个人收集整理, 勿做商业用途分离变量

16、法:行变量分离,把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，代入偏微分方程进分别求解各常微分方程并利用边界条件确定待定常数，从而得到位函数的解。资料个人收集整理，勿做商业用途有限差分法：将所要求的整个连续分布的场域空间的场转换为所求的场域空间中各个离散点上的场的集合。二维拉普拉斯方程的差分格式：£（怙j +些2+怙,j +叫卄4第4章、时变电磁场1、学习时变电磁场的基本理论，波动方程、电磁场的位函数。2、学习电磁能量守恒定律和时谐电磁场的基本知识。波动方程无源空间中电磁场的波动方程: 在线性、各向同性的均匀媒质中，E和H满足的麦克斯韦方程:% 砒i虽V H =0可E =0对第二个方程两边

17、取旋度：亦（亦E）（可X H ）Ct,-2单二 Vx （g E） + As雪=04f2Ej-曲=0 E满足的波动方程曲氏攀=0 H满足的波动方程电磁场的位函数矢量位和标量位：rA t是电磁场的矢量位，半是电磁场的标量位I a规定矢量位的散度：7=-氏 洛仑兹条件 则可得到唯一的A和®。在洛仑兹条件下，A和W满足的微分方程:于A十里达朗贝尔方程戲2戸2半1可2® _卩£ J = P戲2£电磁能量守恒定律电磁场能量密度：O = ©e +«m =E D +-H B2 2坡印廷定理：也EW+E'D” + 注 JdV内电场对体积V中的电

18、流所做的功，-QL(E X H)右端第一项指在单位时间内体积 V中所增加的电磁场能量，第二项指单位时间 dS则是单位时间内通过曲面S进入体积V的电磁能量。将E沢H定义为电磁能流密度矢量,方向为能 量的流动方向，单位 W/m2 。资料个人收集整理，勿做商业用途唯一性定理 唯一性定理：在以闭合曲线 S为边界的有界区域 V内，若给定t=0时刻的电场 强度E和磁场强度H的初始值，且在t>o时，给定边界面S上的电场强度E的 切向分量或磁场强度H的切向分量，那么，在t>0时，区域V内的电磁场由麦 克斯韦方程唯一的确定。 资料个人收集整理，勿做商业用途时谐电磁场复矢量的麦克斯韦方程:vx H1=

19、 J + bD亦E =-血B可 ”B=oD= P在时谐场中，对于介电常数为g、电导率为G的导电媒质:亦 H"E+zE=j 屛-jDE=cE I 丿式中S-j-%为等效复介电常数对于时谐电磁场,f宀2CC一T 1«、2 T 欲a2-o2，贝U得到亥姆霍兹方程:F2H+k2H =0&E+k2E =0时谐场的位函数:iE=jA可®洛仑兹条件变为:达朗贝尔方程变为:喘=_j曲申F2A+k2A=pJ（可2申+k2护=-丄PIS第5章 均匀平面波在无界空间中的传播、理想介质中的均匀平面波 在无源区，对于沿Z方向传播的均匀平面波，电场强度和磁场强度的分量满足标L 2d4 + k2Ex =0 dzd2Ey 2量亥姆霍兹方程:+k Ey =0 dz2dz2d2Hy 2+k2H y =0dz2y以第一个式为例解得：Ex(z) =Aez+A2ejkz ,