《物理学教学》6-2 平面简谐波的运动方程

1、一、一、波长波长 波的周期和频率波的周期和频率 波速波速OyA A -ux 波传播方向上相邻两振动状态完全相同波传播方向上相邻两振动状态完全相同的质点间的距离的质点间的距离（一完整波的长度一完整波的长度）. 1 波长波长6-2 6-2 平面简谐波的运动方程平面简谐波的运动方程-波函数波函数横波：横波：相邻相邻 波峰波峰波峰波峰 波谷波谷 波谷波谷 纵波：纵波：相邻相邻 波疏波疏波疏波疏 波密波密波密波密 2 周期周期 T 波传过一波长所需的时间波传过一波长所需的时间，或一完整或一完整波通过波线上某点所需的时间波通过波线上某点所需的时间.uT3 频率频率 单位时间内波向前传播的完整波的单位时间内

2、波向前传播的完整波的数目数目. （1 内向前传播了几个波长）内向前传播了几个波长）s决定于介质的弹性（弹性模量）和惯决定于介质的弹性（弹性模量）和惯性（密度）性（密度）波在介质中传播的速度波在介质中传播的速度 4 波速波速 u钢铁中钢铁中 水水 中中例如，声波在空气中例如，声波在空气中1sm340-1sm5001-1sm0005-四个物理量的联系四个物理量的联系T1TuTuu注意注意0cosOyAt 设有一平面简谐波沿设有一平面简谐波沿 轴正方向传播，轴正方向传播， 波速为波速为 ，坐标原点，坐标原点 处质点的振动方程为处质点的振动方程为xuOyxuAA-OPx二、波方程的建立波方程的建立 表

3、示质点表示质点 在在 时刻离开平衡位置的距离时刻离开平衡位置的距离.OyyxuAA-OPx0cosOyAttO 考察波线上考察波线上 点点(坐标坐标 ), , Px P P点比点比O O点的振动落后点的振动落后 , , P点在点在t t 时刻时刻 的位移是的位移是O O点在点在 时刻的位移，由此得时刻的位移，由此得xtuxtu-( )()POytytt-()Oxytu-( )( )()POOxytyttytu-0( )()Poxxyty tAtuu-cos 由于由于 为波传播方向上任一点，因此上为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，述方程能描述波传播方向上任一点的振

4、动，具有一般意义，即为沿具有一般意义，即为沿 轴正方向传播的轴正方向传播的平平面简谐波的波函数，又称波动方程面简谐波的波函数，又称波动方程.Px0( )cos()OytAtyxuAA-OPx换一种思路！换一种思路！ 由于沿波的传播方向每增加一个波长由于沿波的传播方向每增加一个波长 ，位相滞后位相滞后 ，所以，所以， 点处振动质点的位相点处振动质点的位相滞后原点处质点滞后原点处质点2P2xkx由原点处质点的振动方程由原点处质点的振动方程0( )cos()OytAt得得P P点处质点的振动方程为点处质点的振动方程为0()cos()y x tAtkx-,可得波动方程的几种不同形式：可得波动方程的几种

5、不同形式：利用利用000coscos2 2 cosxyAtutxATAtkxk-T22uT和和三三、波方程的几种常见形式波方程的几种常见形式波函数波函数0cos()xyAtu-质点的振动速度，加速度质点的振动速度，加速度0vsin()yxAttu -2202cos()yxaAttu -四四 、 波函数的物理含义波函数的物理含义（波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）),(),(TtxytxytAycos 则则002x -令令002cosxyAt-Oyt 1 一定，一定， 变化变化 xt表示表示 点处质点的振动方程（点处质点的振动方程（ 的关系）的关系）ty 0 x波线上各点的简谐运动图波线

6、上各点的简谐运动图00tC 令令（定值）（定值）22coscosxxyAA-则则 y o x002cosxyAt- 2 一定一定 变化变化xt 该方程表示该方程表示 时刻波传播方向上各质点时刻波传播方向上各质点的位移的位移, 即即 时刻的波形（时刻的波形（ 的关系）的关系）ttxy 方程表示在不同时刻各质点的位移，方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播即不同时刻的波形，体现了波的传播.yxuO3 、 都变都变xt0cosOyAtyxuAA-OPx如图，设如图，设 点振动方程为点振动方程为Ouxt 点振动比点振动比 点超前了点超前了PO4 沿沿 轴方向传播的波动方程轴方

7、向传播的波动方程 x-从形式上看：从形式上看：波动是波形的传播波动是波形的传播.从实质上看：从实质上看：波动是振动的传播波动是振动的传播. 对波动方程的各种形式，应着重从对波动方程的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握物理意义上去理解和把握. 故故 点的振动方程（波动方程）为：点的振动方程（波动方程）为：P0( )cos ()()oxy ty ttAtu0()cos()y x tAtkx,0cosxyAt如图，设如图，设 点振动方程为点振动方程为0 x0 xxtu- 点振动比点振动比 点滞后点滞后P0 x5 已知点不在原点已知点不在原点的波动方程的波动方程的建立的建立 00()()cosP

8、xxyx ty x ttAtu- -,0()cosxxy x tAtu-,如果沿负方向传播如果沿负方向传播 00()()cosxxy x ty x ttAtu- ,0cosxyAt0()k xx- 点振动位相比点振动位相比 点滞后点滞后P0 x00()()cos()Pyx ty x ttAtk xx -,同样由同样由 得：得： 0()cos()y x tAtk xx-,因而平面简谐波波方程的一般形式为因而平面简谐波波方程的一般形式为0()cosxxy x tAtu-,m0()cos()y x tAtk xx-,m0( , )cos 2xxty x tAT-m0cosxyAt0()cosxy x

9、 tAtu,m0()cosy x tAtkx,m0( , )cos 2txy x tATm 例例1 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 时坐标原点处的质点在平衡位置沿时坐标原点处的质点在平衡位置沿 轴正向轴正向运动运动. 求：求： 波动方程；波动方程；m0 . 1A0tm0 . 2s0 . 2TOxOy解解 ( (1) ) 写出原点处振动方程写出原点处振动方程(0 )(2),cosytt-m0 . 1AT22- ()2( , )cosxy x ttu-1uT)(2xtA-cos解解 (2)(2) 写出原点处振动方程写出原点处振动方程(

10、0 )(2),cosytt-m0 . 1AT22-(2)y x tAtkx-( , )cos2k(2)( , )cosy x tAtx-2-0,0tyyv00 xtyAO解解 (3)(3) 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式()2costx-()+ xy x tAtu-( , )cos2T1A1uT ()2y x ttx-( , )cos2-0,0tyyv00 xt)cos(-kxtAyyAO解解 (4)(4) 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式)2(-xtycos22kT1A2-0,0tyyv00 xtyAO解解 (5)(5) 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式()2cos

11、tx-22T1A2 ()+ txy x tAT-( , )cos2 ()222txy x tA-( , )cos 例例2 一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 沿直线传播，波线上点沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方的简谐运动方 程程-1sm20u)4cos(1032tyA-求求: :( (1) )以以 A 为坐标原点，写出波动方程；为坐标原点，写出波动方程；( (2) )以以 B 为坐标原点，写出波动方程；为坐标原点，写出波动方程；( (3) )求传播方向上点求传播方向上点C、D 的简谐运动方程；的简谐运动方程；( (4) )分别求出分别求出 BC ，CD 两点间的相位差两点间的相位差.

12、.uABCD5 m9 mxo8 m单位分别为单位分别为m，s).yt, ,; ( (1) ) 以以 A 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程)cos()(5t41032x-uABCD5 m9 mxo8 m)cos(),(ttyyA410302-)cos(),(kxttxy-4103252k102u)20(41032xt -cos2(3 10 )cos4t5x-( (2) ) 以以 B 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程)cos()(),(ttyyA410352-uABCD5 m9 mxo8 m2( , )3 10 cos4(5)y x ttk x- -5k25(3 1

13、0 )cos4(t)20 x- ( (3) ) 写出传播方向上点写出传播方向上点C、D的运动方程的运动方程213( 13, )(3 10 )cos45Cyytt-m10uABCD5 m9 mxo8 m)cos()(tyA41032-(a)(a) 以以 A 为坐标原点时波动方程为坐标原点时波动方程20( , )(3 10)cos(4t)5Axyx t-29(9, )(3 10 )cos45Dyytt- ( (3) ) 写出传播方向上点写出传播方向上点C、D的运动方程的运动方程cos)(),(513410382-ttyyCm10uABCD5 m9 mxo8 mtyA)s4cos()m103(12- (b) (b) 以以 B B 为坐标原点时波动方程为坐标原点时波动方程5t410320-xtxyBcos)(),(cos)(),(594103142-ttyyD 另解另解( (3) ) 写出传播方向上点写出传播方向上点C、D的运动方程的运动方程点点C 的相位比点的相位比点A 超前超前cos)(ACtyC241032-cos)(51341032-tm10uABCD5 m9 mxo8 mtyA)s4cos()m103(12-23 10cos(4 )Ayt-2AC点点 D 的相