第一章欧氏平面的拓广2013

1、第一章 射影平面§1 欧氏平面的拓广1.1 什么是射影几何学在系统学习之前回答这个问题是不可能的,作一点粗略的说明,可能对学习有些好处。我们知道,初等几何里研究的是几何图形的形状和大小,如长度,角度、面积和体积等等。这些东西与几何图形的位置无关,即把几何图形从一个位置搬到另一个位置时,图形的形状和大小是不改变的。这种不变性以及图形有关的不变量叫做移动变换下的不变性和不变量。所以,初等几何是研究移动变换下图形的不变性和不变量的学科。再如,太阳光线照在物体上,地面上就会出现影子,随着时间的推移,影子不仅改变它的位置,形状和大小也在不断地变,但在这种运动形式下,仍然有保持不变的性质：对于竖

2、立在地面的两根电线杆,在阳光下它们的影子,无论何时总是平行的。太阳发出的光线通常认为是平行的,由阳光照射在物体上而得的影子,叫做平行射影。于是,保持平行性就是平行射影下的不变性,若干次平行射影的结果构成所谓仿射变换。那么,研究仿射变换下图形的不变性的几何叫仿射几何。物理学中有个小孔成象现象,桌面上的光源发出的光线照射在物体上,也会出现影子,这叫中心射影,在中心射影下,影子的位置、形状、大小都要发生变化,平行性也不能保持,然而仍旧有保持不变的东西：图形间元素的结合关系,在中心射影下保持不变。若干次中心射影的结果构成射影变换。研究射影变换下图形不变性的几何就是射影几何。从以上看来,各种几何与它们相

3、关的变换有关,是否有一种变换就有一门相应的几何呢?不然,这些变换一定要成为群,才能有相应的几何。(抽像群的有关概念近世代数作专门介绍,这里不再叙述)。1.2 中心射影法中心射影法是射影几何的基础。 设和是平面上两条不同的直线,在这平面上任取 一点S,S既不在直线上,也不在直线上。若是直线 上一点,连接S和的直线S交于点，那么点 叫做点从点S到直线上的中心射影(图1·1),点S叫做射影中心。直线S叫做投射线。叫做原象点,是与原象点对应的映象点。 图1·1 由中心S和原象点求得映象点的运算,叫做中心射影法。显然, 也是在上的射影。不难知道中心射影与投影中心位置有关。如果与相交,

4、那末在中心射影下存在一个二重点(自对应点),即与的交点。在图1.1中,如果上一点与S的连线S与平行,则点不存在,即点无中心射影,同样在上有一点没有原象点,(因为S)这说明,在欧几里得平面上,中心射影法不能经常实施。为了使原象点和映象点间一一对应,使中心射影法得到完全的实现,必须对欧几里得平面进行拓广。1.3理想点和理想直线为了使平面上中心射影法能够完全实现,约定：两条平行的直线相交于一点,这个点叫做“无穷远点”或“理想点”,并使下列关系成立：1、任何两个不同的点决定并且只决定一条直线；2、平面上任何两条不同的直线相交于一个并且只相交于一个点。根据这个约定显然可知：定理1 两条平行线只能相交于同

5、一个无穷远点(理想点)。就是说,无穷远点添在两平行直线的随便哪一端都可以。新引进的“无穷远点”常用a,b,p等记号表示。任何一个无穷远点a可以用确定它的那一组平行直线中的任意一条普通直线来表示,看图1·2。 图1·2为区分起见,欧几里得平面里原有的点称为“普通点”或“有穷远点”。两条相交(不平行)直线的交点是普通点。定理2 任何一组平行直线属于唯一的一个无穷远点,此点在组中每一直线上而不在组外的任何直线上。事实上,给定一组平行直线,取定其中一条直线,则它上面有唯一的无穷远点,再取组中另一直线,则此直线与定直线必共面,所以它们只有唯一公共点,即上面所说的无穷远点。同理可证此点

6、在组中每一条直线上。定理3 不同的无穷远点属于不同的平行直线组。设12，则2与1交于a，又设1是与1不相同并与1交于普通点m的直线,21,则2与1交于b(约定)。因为1与1不可能有第二个交点,所以b与a是不相同的。再由定理2,可知不相同的无穷远点a与b分别属于不相同的平行线组。推论1 如果一个无穷远点在一条直线上,则必定在平行于这条直线的所有直线上。推论2 普通直线上有一个而且只有一个无穷远点。定理4 两个不相同的无穷远点所确定的直线,不可能通过普通点。证明 设a和b是两个不相同的无穷远点。由约定1,它们确定一条直线。若a是上的任何一个普通点,则a和a确定一条直线,而a和b确定另一条直线,因a

7、与b不同,所以直线与也不相同。而与重合,也与重合,所以与重合,于是引出矛盾。所以不可能通过任何普通点。定理5 平面上所有的无穷远点在一条直线上。证明 设是平面上不通过任何普通点的直线,并且设平面上所有的无穷远点不都在上,那么这个平面上外至少还有一个无穷远点,设这个无穷远点为a,若a是任意一个普通点,显然a不在上。通过a和a作一条直线,则和交于无穷远点a，a和a是两个不相同的无穷远点。于是两个不相同的无穷远点a 和a所确定的直线通过一个普通点a,这与定理4矛盾。既然平面上所有无穷远点在同一条直线上,而且这条直线的所有点都是无穷远点,所以平面上无穷远点的轨迹(集合)是一条直线。这直线叫做无穷远直线

8、或理想直线。推论3 平面上有一条而且只有一条无穷远直线。含有一条无穷远直线的平面叫做拓广的平面。在欧氏平面上补充了理想直线以后,该平面便称为射影平面。引进了无穷远点,平行射影成了中心射影的一个特例。补充了理想点的直线,不再是开的,而是可以无限伸长却又是封闭的,射影直线可以看作是封闭的,因此欧氏平面上的圆常用作为射影直线的模型。射影平面也是封闭的。我们来设想射影平面的一个模型。在欧几里得平面内任取一点o(普通点),以o为圆心,以“无穷大”为半径的圆里,把圆周上每一对径点(同一直线的两个端点)粘合起来成为直线上唯一的“无穷远点”。(图1·3)图1·3把图中的每个对径点都粘合起来

9、,这样一个封闭曲面就是射影平面的一个“模型”。把图中的长方形abab剪下来,使a与a,b与b粘合起来,这个图形称为茂比乌斯带,这条带子的边界是一条封闭的曲线,从带子上一点C出发,平行于边界画曲线必定回到出发点C。说明它是单面的曲面。它就是射影平面的一部分。把拓广平面上的元素区分为理想的和普通的两种,这种观点叫做欧几里得观点。如果把理想元素与普通元素看作没有任何区别,这种观点称为射影观点。1.4利用投影到无穷远证明几何题利用中心射影法,可将一个图形中的两个普通点变成无穷远点,或将一条普通直线变成无穷远直线,这种“射影到无穷远”的方法,往往可将问题简化进而获得其解。例1设三直线P1P2,Q1Q2,

10、R1R2交于一点S,P1P2,QlQ2,R1R2分别交两直线OX1,0X2于P1,Q1,R1与P2,Q2,R2,求证直线P1Q2与P2Q1的交点L,Q1R2与Q2R1的交点N ,P1R1与P2R1的交点M在一直线上。图1·4证 将(图1.4)左图中两点L、M射影为无穷远点,则原来交于L的P1Q2与P2Q1变成平行(右图P1Q2P2Q1),原来交于M的P1R2与P2R1变成平行(即PlR2'P2R1)故得右图(把右图中字母加撇以示对应点)。若能证N的对应点N为无穷远点,则L'MN共线,从而L、M、N也共线。因此只须证Q1R2Q2R1：所以L,M,N共线(无穷远直线),从

11、而L、M、N共线。例2 设OX,OY,OZ为三定直线,A、B为二定点,其连线通过O,点R为OZ上的动点,且直线RA、RB分别交OX、OY于点P、Q。求证：PQ通过AB上一定点。 图1·5证 将图1·5(左)中的A、B射影为无穷远点A,B,则AB是无穷远直线,0变为0 , 0X0Y0Z,R1Q1与R2Q2交于B变成R1 Q1R2Q2, R1P1与R2P2交于A变成R1P1R2P2,要证明P1Q1,P2Q2通过AB上的一个动点,只须证明P1Q1 P2Q2即可。右图可知四边形和四边形都是平行四边形,所以,四边形 是平行四边形, , 交于无穷远点,显然在上,故P1Q1与P2 Q2的

12、交点在AB上。习题一1设A,B为二定点,XY为定直线。于XY上任取两点P,Q。又AP与BQ交于L,AQ与BP交于M,求证：LM通过AB上一定点。提示：将直线AB射影到无穷远,或将直线XY射影到无穷远皆可证明。§2射影平面本节首先用实数构成的数组定义射影平面、点和直线,建立射影坐标系,导出坐标变换公式；然后阐述两个最重要的概念：射影变换与射影变换下的基本不变量交比。2·1 引言设在欧氏平面上已建立一个笛卡儿直角坐标系,于是每个普通点都有一对坐标(x,y),每条普通直线都有一个方程Ax+By+C0。(A、B不全为O)。对于直线Ax+By+C0(A,B不全为0),三个实数A、B、

13、C完全确定了这条直线。与这三个实数成比例的任何三数组也能确定这条直线。因此,一条确定的直线可用所有的三数组(A、B、C)来表示,其中0,而且A、B中至少有一个不为零。如果两条直线不相同且不平行,它们对应的三数组分别是(A1,B1,C1)和(A2,B2,C2),由克莱姆法则,它们的交点(x,y)分别由下式求得。 (1.2.1)这里是三个二阶行列式。如果两条直线平行(不重合),则,其余两个行列式中至少一个不为零。这便是交点为理想点的情形。令 (1.2.2)当x30时,不论x1,x2如何,(x1,x2,x3)表示普通点。当x30时, x1,x2不全为0,则(x1,x2,x3)表示无穷远点。当三个数都

14、等于零时,出现了(0,0,0)它不能表示任何点,也就是无意义。此外,成比例的三数组表示同一个点,也就是说,(x1,x2,x3)与(x1，x2，x3) 0是同一个点的不同表示法。刚才已经提到,可以用三数组(A,B,C)或(A,B,C) 0表示直线(其中A、B不全为零)。这时没有考虑到理想直线的表示法。事实上,理想直线纯粹由理想点构成,而且平面上所有理想点都在这条直线上,也就是满足线性方程x3 =0的所有点的集合,然而这个方程又可以由变成，即写成于是表示理想直线的三数组应是(0、0、1)。因此,拓广的平面包含除(0，0，O)以外的三数组(x1,x2,x3)作为点,成比例的三数组表示同一点；还包含不

15、全为零的所有三数组(A、B、C)作为直线。为了把点与直线区别开来,约定用带足标的小写拉丁字母表示的三数组(x1,x2,x3)作为点,用带足标的小写希腊字母表示的三数组()作为直线。有时也用单一的拉丁字母x,y来代替点(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),直线（),也可以用直线来代替。2·2 三数组的运算拓广平面上的点和直线都可以用非零的三数组表示,它们在形式上与空间非零矢量的分量相同,为了方便,我们引入三数组的运算,它们在形式上完全类似于解析几何里空间矢量运算的分量表示(在右手直角坐标系里)设三数组为,，规定：1)线性运算 2)内积 3)外积 4)缩写记号 由此不难得到 (1.

16、2.3)2·3射影平面的解析定义如果x(x1,x2,x3)是任意实数的三数组,把与它成比例的所有三数组x(0)归并为一类,记作x。显然,如果两个类有一个公共的三数组,则它们完全相同。所以每个类由它的任意一个三数组完全决定。属于同一个类的三数组x和y记作xy,否则记作xy。每个类都含有无穷多个三数组,只有零类例外,它只含有一个三数组0(0,0,0)。定义 除零类以外的所有类x的集合叫做射影平面(或二维射影平面)。类x称为射影平面的点。x1,x2,x3称为点x的绝对坐标定义 满足线性方程 (1.2.4)的点x的集(轨迹)称为射影平面的一条直线。利用点积定义,方程也可以写成 (1.2.5)

17、由于这个方程的齐次性,如果x满足这个方程,则 ()也满足这个方程。反过来也对。这就说明,如果类x的一个成员x满足方程,则这个类中的任何成员也满足它,因此方程量·x=0确实能够表示点的轨迹。设0, 0是特定的两个三数组,显然,如果,那么两个方程和表示同一条直线；如果,那么它们表示两条不同的直线。所以类与直线与之间有着一一对应关系,因此说类是射影平面的一条直线。并把方程的系数称为直线的绝对坐标。定义 对于固定的x,关于线性坐标的方程可以看成是点x的方程。定义 点x和直线若满足关系就称为是结合(从属或关联)的。根据以上的讨论知道,经过两个不同的点y和z,有唯一的直线,即。并且,两条不同的直

18、线和有唯一的交点,即。以实数系为基础的射影平面的点,与拓广的欧氏平面上的点是一一对应的。然而在这里,所谓点就是一个类x,没有“理想点"和“普通点"的差别；也没有“理想直线”与“普通直线”的区别,这就是前面提到过的射影观点。§3 平面图形 平面对偶原理射影平面上由基本元素点和直线构成的图形,称为平面图形或平面形。基本的平面形有点列和线束,称为一维基本图形；点场和线场称为二维基本图形。3·1 点列和线束(一维基本图形)在同一条直线上的点称为共线点；通过同一个点的直线称为共点线。定理6 在射影平面上,三点x,y,z共线的充要条件是,即x,y,z线性相关；三直线

19、共点的充要条件是,即线性相关。如果ab,则a,b的连线的齐次方程是,即 (1.3.1)若yz, ,从高等代数知存在着两个实数,使得 xy+z。 (1.3.2)反过来定理7 如果yz,是不为零的实数,则x=y+z是y×z上的一个点,并且xy,xz。证明 所以x是y×z上的一个点。如果xy,则存在实数u0,使得x=uy,y+z=uy,(-u)y+z=0(-uO,否则z为O)。于是yz,与假设yz矛盾,所以xy。同理,xz。这里要注意的是,类y和类z是射影平面的两个不同的点；y和z分别是点y和点z的任意一个表示法(三数组)。如果按本定理讲到的表达式中的y和z分别以点y和z的另一个

20、表示法代替时,表达式虽然还是直线y×z的一个点,可是这个点一般与不相同,即x。为了使和表示直线y×z的同一个点(使),只要适当选择点y和z的表示法并把它们固定下来就行了。选好了的固定表示法记作和。定理8 如果，是三个互不相同的类x,y,z的固定表示法,而且x在y×z上,则唯一存在两个数和,使得 (1.3.3)而且类x中任何成员用，表示时,系数比保持不变,比的值决定x。证明 设如果(1.3.3) 式成立,则应有由此得到关于的线性方程组：因为yz,而且x,y,z共线,所以此方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相等,都是2,因而方程组有唯一解。也就是说唯一地存在两个数和,使(

21、1.3.3) 式成立。而且。不然x必定与y、z中的一个类相同或者是零类,但这些都是不能允许的。最后,类x中的一般成员是,这里的任意但不为零。因为系数比保持不变,因此,这个比的值决定x。直线上所有点的集合称为点列。直线称为点列的底。如图1.6, 是点列y,z,x的底,记作(y,z,x,)或者(y),这里y表示点列中的任何一点。图1.6由定理8,若y*和z*是两个不同的点y和z的固定表示,那么对于所有的0,0的选择, 是以y×z为底的点列中的一个点,但是这个点既不同于y也不同于z。因为0,所以, ，若令，则。于是也可以确定直线y×z的点,但这个点与y,z都不相同,为了使与y&#

22、215;z的点对应,我们约定：=O时, 时, 。因此,当在扩展的实数系(包括所有实数,外加的集)上变化时, 与y×z上的点一一对应,所以就是以y×z为底的点列的解析表达式。实际上,直线和点列在某种意义下是同义词。平面上通过同一个点a的所有直线的集合称为线束,公共点a称为线束的中心或底；图1.7中以a为中心的线束可记作线束a或a(),或a()。图1.7把(1.3.3)中三个互不相同的类理解为三条直线,其结论也成立。因此,若和是两条不同的直线的固定表示法,那么对于所有的0。0的选择, 是以为中心的线束里的一条直线,但这直线既不同于也不同于。3·2 点场和线场(二维基本

23、图形)平面上所有点的集合称为点场,该平面称为点场的底。平面上所有直线的集合称为线场,该平面称为线场的底。点场和线场在某种意义下都是平面的同义词。3·3 平面对偶图形和对偶命题平面射影几何里研究射影平面上按照点与直线的结合关系能够表达出来的全部命题。在射影平面上,只涉及到点与直线的结合关系的命题称为射影命题。“点”与“直线”叫做平面上的对偶元素。在射影平面上给了由点和直线按照某种结合关系组成的一个图形。把这图形的元素换成对偶元素,并保留结合关系,结果得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。如：共线点共点线点列线束点场线场三个不共线的点以及其每两点连线而成的三条直线的集合称为三点形,每一

24、点叫做顶点,每两点的连线叫做边。三条不共点的直线以及每两条直线相交的三个交点的集合,称为三线形。每一条直线叫边,每两直线的交点叫做顶点。由于三点形与其对偶图形是一样的,称这种情况自对偶。互为对偶的两个图形一般是不同的。把一个射影命题里的点换成直线,直线换成点,并保留结合关系,得到的命题称为前一个命题的对偶命题。举例如下：点几何学线几何学1、射影平面上,点的绝对坐标是非零三数(x1,x2,x3),成比例的三数组表示同一点,不成比例的三数表示不同点。1、射影平面上,直线的绝对坐标是非零三数组(),成比例的三数组表示同一直线,不成比例的三数组表示不同的直线。2、在点坐标里,直线的方程是2、在线性坐标

25、里,点()的方程是3、不同两点y和z决定唯一的直线。3、不同两直线和决定唯一的点。4、三点x,y,z共线的充要条件是,即存在不全为零的三个数,使 4、三直线共点的充要条件是。即存在不全为零的三个数,使3·4 平面对偶原理定理9(平面对偶原则) 如果交换点和直线的概念,射影的定理保持正确。我们知道,射影平面上的点x和直线都是非零三数组的类,射影命题仅仅是由形式的结合关系决定的,这式子关于是对称的。所以交换射影命题中点和直线的概念,仍成立,因此定理仍保持正确。后一个定理与原来的定理互为“对偶”。由对偶原理,互为对偶的两个射影命题,只要其中一个正确,另一个也是正确的。在射影几何里,每个概念

26、都有它的对偶概念,每个定理都有它的对偶定理。但要注意,命题必须是“射影的”。例 作出下列平面图形的对偶图形图1.8（2）图1.8（1）容易得到上述图形对偶图形为 图图3·5 笛沙格定理(Desargues 1593-1662)定理10 如果两个三点形对应顶点的连线共点(笛沙格点),那么对应边的交点共线(笛沙格线)。证明 设三直线aa,bb,cc的公共点为s(图1.9),由于s,a,a共线,所以s一定能表示为a,a的线性组合：同样有比较这三式,得图1.9第一式中,左端表示a,b连线的一点；右边表示连线上的一点,所以它代表直线a×b和a×b的交点r,其余类推。因为r+

27、p+q=0即r,p,q线性相关。所以p,q,r共线。对偶定理11 如果两个三线形对应边的交点共线,那么对应顶点的连线共点。这个对偶定理恰好也是笛沙格定理的逆定理。笛沙格定理一共包含十个点和十条线,其中每一条直线上有三个点,过每个点有三条直线,这是射影几何里最著名的构图之一。若两个三点形的对应顶点的连线共点或对应边的交点共线,则称它们为透射的。对应顶点的连线的交点称为透射中心,对应边交点所在的直线称为透射轴。由此,笛沙格定理及其逆可简单地叙述为：两个三点形若有透射中心,则必有透射轴。反之,若有透射轴,则必有透射中心。例 利用笛沙格定理证明三角形的三条中线交于一点证明如图所示，的中点分别为，由三角

28、形中位线定理，于是，与交于，与交于，与交于 因为，三点都在无穷远直线上，即与对应边的交点共线（无穷远直线），由笛沙格定理，与对应顶点的连线共点，即，共点 §4 射影坐标4·1点列上(或线束里)的射影坐标系由(1.3.3)式,在连结两个不同的点y和z的直线y×z上取一点u,使,那么这条直线上的其它点x*便能表示为。系数比/唯一地决定y×z上的点x；把系数比按上式右边两项的顺序写成有序数偶(,)的形式同样可以唯一地决定点x。有序数偶(、u)称为点x的齐次射影坐标；系数比/称为点x的非齐次射影坐标。有序数偶类(,u)的任一个代表(或表示法)：(),中两个数的比

29、仍为,所以()也是点x的齐次射影坐标。点y和z的齐次射影坐标指定为(1,O)和(0,1),点u的齐次射影坐标是(1,1),或者说y、z、u对应于类(1,0),(0,1),(1,1)。这样一来,直线上的点与有序数偶的类(,u)之间建立一一对应,但零类(0,0)除外。定义 设直线上三个不同的点,按给定的顺序记作y,z,u,满足关系,便构成了这条直线上的一个齐次射影坐标系,点y和z称为坐标生成点或基础点,u称为单位点。基础点和单位点统称参考点。点y,z,u的齐次射影坐标依次是(1,0),(0,1)和(1,1)。如果,则点x的齐次射影坐标为有序的数偶(、u)或类(、u)；而系数比/u称为x的非齐次射影

30、坐标。基础点y和z的非齐次坐标为和0。点的齐次和非齐次射影坐标都是相对于一个坐标系而言的,因而都是相对坐标。例 取直线上的点作为上射影坐标系的参考点,试求上的点x(8,2,-7)的齐次射影坐标和非齐次射影坐标。解 首先选择y和z的表示法y*和z*。,使得为此,取并设则得方程组解得。所以设则得方程组解得,故x的齐次射影坐标是(3/2,1/3)(9,2)；而非齐次射影坐标是9/2。仿照射影平面的定义,可以说,除零类以外所有数偶的类(a,b)的集合是射影直线,一个类(a,b)就是射影直线的一个点(a,b)。定义了射影直线后,可以用上面的方法,建立直线上的射影坐标系。对偶地,在通过一个点x的直线集合,

31、即线束x里,也可以建立射影坐标系：选取通过点x的两条不同的直线和作为基础直线,指定它们的齐次射影坐标为(1,0)和(0,1)；再选另一条直线中作为单位直线,选定它的坐标为(1,1)。若是线束x里的任一直线, ,那么直线的齐次射影坐标就是()；非齐次射影坐标就是。比的不同的值对应不同的直线。三条直线称为线束里射影坐标系的参考直线。4·2 平面射影坐标系选取射影平面的四点Pl,P2,P3,和P4,其中没有任何三点共线。选择前三点的固定表示法,使得,构成的三点形称为坐标三点形或参考三点形,P4*称为单位点。这四点的齐次射影坐标指定为P1*=(1,0,0),P2*=(0,1,0),P3*=(

32、0,0,1),P4*=(1,1,1),为了方便起见,依次用d1,d2,d3,e代替,d1=(1,0,O),d2=(0,1,O),d3=(0,0,1),e=(1,1,1)。在射影平面上选定了参考三点P1P2P3和单位点P4,并且固定了各参考点的表示法,使得 (1.4.1)成立,那么便构成了射影平面的齐次射影坐标系。若x是平面上的任一其它点,而且 (1.4.2)那么(x1,x2,x3)就是点x的齐次射影坐标(相对坐标)。射影平面的四点,必须满足也只须满足一个条件：其中没有任何三点共线,便可选作坐标参考点,建立齐次射影坐标系。平面上这样的四个点,称为四角形点集。也就是说,平面上的任何一个四角形点集,

33、都可以选作坐标参考点,建立齐次射影坐标系。选择射影平面上一个四角形点集作为参考点而建立起来的齐次射影坐标系,属于点坐标系。在点坐标系里,点有坐标,直线的方程仍是齐一次方程。在平面上建立齐次射影坐标系后,每一个点x=(x1,x2,x3)的坐标xi(i=1,2,3)不全为零,若x30,则,称为点的非齐次射影坐标。4·3坐标变换(1)在一条直线上从一个射影坐标系到另一个射影坐标系的坐标变换公式。设在直线上有两个射影坐标系, 是以和为基础点的坐标系里点x的坐标,即 （I）是以和为基础点的坐标系里同一个点x的射影坐标,即 （II）对和，以和为基础点的坐标系里，存在适当的数 aik有 （III）

34、把()代入(I),得到将此式与()比较,并令,得到 (1.4.3)这就是直线上从一个射影坐标系到另一个射影坐标系的坐标变换公式。反过来,如果和是射影坐标,那么(1.4.3) 式所定义的和也是射影坐标(证明留作练习)。 (1.4.3)式中的是一个非零的任意常数,是直线上同一点的射影坐标。但必须注意,在同一个问题中对应于不同的点,非零任意常数一般是不相同的。例 设直线上从一个射影坐标系到第二个射影坐标系的坐标变换把三个点(1,O),(1,1),(2,1)分别变为(1,0),(-1,3),(1,4)。试求坐标变换公式。解 设所求的坐标变换公式为以各点的对应的坐标依次代入上式,必须注意,对于不同的点,

35、公式左边的非零任意常数,一般不同,于是有： 这是一个包含7个未知数,6个方程的线性方程组。方程组必有解,其中一个未知数的值可以任意指定。为了求解方便,我们把6个方程重新组合： 解得 从而得到之间的关系：、令3(是非零的任意数),则=7, =4所以所求变换方程为 或最后,在同一线束里,从一个射影坐标系到另一个射影坐标系的线坐标变换公式与(1.4.3) 式相同,只要把其中的和理解为线束里同一条直线在两个坐标系里的坐标即可。(2)平面坐标变换公式。设在平面上以为参考点建立了齐次射影坐标系记作；同时又有以为参考点的坐标系记作。平面上同一点x在和里的坐标分别是和。即 （） （）如果在里的坐标为令则上式又

36、可写作 （）把看作1×3矩阵,我们可以把（I）改为 （）把（）代入（）,得到 （）比较（）（）,得 (1.4.4)就是从坐标到的坐标变换公式,其中是任意非零常数。 在(1.4.4)两边取转置矩阵,则得 (1.4.5)也可写成方程组的形式： (1.4.6) 或缩写为： (1.4.7) 上面(1.4.4-1.4.7)四个公式意义相同。都表示在两个坐标系里,同一个点x的坐标之间的关系。但应注意左边的非零常数,在同一个问题里,对应于不同的点一般不相同。反过来,如果是射影坐标里点x的射影坐标,那么由(1.4.4)式 所决定的也是点x的射影坐标,不过相关联的是另一个坐标系罢了!为了证明这一点,令

37、表示矩阵()中元素的代数余子式。再以矩阵()右乘(1.4.4) 的两边,注意 (E3是3级单位矩阵),有置,则上式可写作 (VI)按假设是里点x的坐标,上述()成立。把(VI)代入(),得到令 ()则 ()然而()可改写为其中非零常数。因为不能同时为零(否则),所以平面上确实有点存在。而且因为,所以不共线,可以取作坐标系的基础点。另一方面, 不能同时为零。不然由(1.4.6) 得到齐次线性方程组：它的系数行列式,只有唯一的平凡解：,这与假设矛盾。既然点可取作坐标系的基础点,记此坐标系为；同时不全为零,那么()式表明：是点x在里的射影坐标。因此,得到下述定理：定理12 如果xi和xi"

38、是平面上同一点x在两个坐标系里的射影坐标,那么这两个坐标的关系式为(x1",x2",x3")=( x1,x2,x3)(aki) |aik|0 ,反过来,如果xi是一个点的射影坐标,而xi"是由上式决定的数,那么xi"是这个点在另一个坐标系里的射影坐标。在§2.3中,射影平面和点的概念是直接用数来定义的,与坐标系无关,故x1,x2,x3为点x的绝对坐标,然而,在平面上建立了齐次射影坐标系后,点x在任一齐次射影坐标里的坐标为xi,就是说,(x1,x2,x3)= x1p1*+x2p2*+x3p3*,若pi*的绝对坐标为(a1i,a2i,a3

39、i),那么用推导定理12前半结论的方法,可推得xi和xi的关系式为(x1,x2,x3)=( x1,x2,x3)(aki) |aik|0 （*）因为xi是射影坐标,所以由定理12后半结论xi也是射影坐标。因此,我们说,点的绝对坐标也是关于某个射影坐标系的射影坐标（相对坐标）。对于绝对坐标而言,直线的方程是关于xi的齐一次方程,即1x1+2x2+3x3=0写成矩阵形式： (i不全为零)在（*）两边取转置矩阵,然后代入上式便得到 令 0 (1.4.8)因为|aik|0,i不全为零,所以i不全为零。故或写作 ·x=0 ， 0. 可见在任一射影坐标里,直线的方程仍然是齐一次方程。对偶地说,在任

40、何射坐标系里,点用齐一次方程x·=0表示。以上说明了绝对坐标与相对坐标没有什么区别,因此以后不再区分绝对坐标和相对坐标。这样一来,选择坐标系得到很大的方便,平面上的四个点,只要满足一条件：其中没有任何三点共线,就可以选作参考点。要是选得适当,可以使问题大为简化。一般,一个变换推导出另一个变换,后者称为前者的诱导变换。现在考虑从坐标系到的点坐标变换,x=x(aki) |aik|0 () 如何诱导出线坐标变换：实际上从(I)推导线坐标变换的过程与跟从(1.4.4)导出(1.4.8)的步骤相同。只要考虑从到时,直线 ()的坐标是怎样变化的,问题便清楚了。用(Aik)右乘(I)式两边,把两边

41、的非零常数合并为一个,记作,则有,x=x(Aik) | Aik |0 （）在（）式两边取转置矩阵,得把此式代入（）式,得 （）令 |Aik|0就是 =(Aki) |Aik|0 ()则（）式变成 ()可见直线的方程()变为方程(),它的坐标则变为,(V)正是这两个坐标间的关系式,所以,(V)就是坐标变换(I)诱导出来的线坐标变换。事实上，当点时，下面从另一角度来看直线的变化过程。设则有 于是得结论：定理13 点坐标变换()： x=x(aki) |aik|0 (1.4.9) 诱导出线性坐标变换： =(Aki) |Aik|0 (1.4.10)逆变换（） x=x(Aik) | Aik |0 (1.4.

42、11) =(aik) |aik|0 (1.4.12)例 设平面上从射影坐标系到的射影坐标变换把4个点的坐标：(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)和1,1,1)分别变换为(1,1,O)(1,-1,0),(1,0,-1)和(1,-1,1),试求这个坐标变换公式。解 坐标系里4个点和里4个点中都设有任何三点共线,都是四角形点集。设所求的坐标变换公式为x=x(aki)，|aik|0,各点的对应点坐标代入此公式,左边的非零常数i取i=l,2,3,4,得到：1（1,1,0）=（1,0,1）(aki)， 2（1，-1,0）=（0,1,1）(aki) 3（1,0，-1）=（1,1,0）(aki)，

43、4（1,-1,1）=（1,1,1）(aki)这是包含l3个未知数的12个方程的线性方程组解得：a11=½（1-2+3） a21=½(1+2) a31=-½3a12=½(-1+2+3) a22=½ (-1-2) a32=-½3a13=½(1+2-3) a23=½(1-2) a33=½31=4, 2=34, 3=-24令4=1,则1=1, 2=3, 3=-2 a11=-2 a21=2 a31=1a12=0 a22=-2 a32=1a13=3 a23=-1 a33=-1 又所以所求的变换公式为：它的诱导变换是：

44、逆变换是： §5 射影变换明确了射影平面的定义,理解了射影坐标的实质,掌握了坐标变换公式以后,从本节开始,将在上述知识基础上,根据克莱茵(Felix Klein)的群论观点,以射影映射、射影变换为基本线索来阐述(平面)射影几何的基本内容。因此,射影变换是一个非常重要的概念。为此先给出映射和变换群的概念。5·1 映射 先介绍映射及相关概念。设，是非空集合， 到的一个映射指的是一个法则，若对于中的每一个元素，在中都有一个唯一的元素与之对应，记作或其中映射通常用等表示。为方便记.设或说从到的一个映射是映上的，或是一个满映射，简称满射.（即对）又对于到的一个映射，若对于中任意，就有

45、，则称是到的单射.（即若有）若到的一个映射既单且满.则称是一一的，记作5·2变换群变换群是一种特殊的群，为此先介绍群的定义设G是非空集合，如果 G上定义了一个叫做乘法的运算×，且运算×满足以下条件，则称G称为一个群。(1) 闭合律 "a, bÎG，有a×b= cÎG；(2) 结合律 "a, b, cÎG，有(a×b)×c = a×(b×c)；(3) 存在一单位元素I，"aÎG，有I×a = a (4) 对G中任何一个元素a都有逆元素，对

46、"aÎG，$bÎG ，使得b×a = I设是一个非空集合，的一个变换即为到的一个映射：到自身的一一变换，称为S的一一变换。对于任意上的变换我们定义到自身的变换，如果，则叫做的乘积，称为上的变换的合成，记也是上的变换。即有若到自身的变换使得上每个元素的保持不变，则这个变换称为上的恒等变换。而以到自身的某些一一变换为元素的群为变换群。例 假设为平面上的所有点之集,那么平面的一个绕一个定点O的旋转可以看成的一个一一变换:设O为原点,那么经过一个角的旋转可以解析地表为映射其中 设为包含所有绕一个定点旋转的集合, 则为一个变换群:()封闭性:()结合律:显然成立;

47、()单位元:的单位元;()逆元: 5·3 直线到上的射影映射定义 设和是平面上两条不同(或相同)的直线,在上点x有射影坐标()；在上点x有射影坐标(),如果映射：xx能表示为 (1.5.1)那么映射称为直线到上的射影映射。推论 直线到上的射影映射是一一映射,并且逆映射也是射影映射。满足上述定义的射影映射是否存在?一般形式怎样?是否唯一?下面就来讨论这些问题。定理14 设和是平面上两条不同或者相同的直线,那么必有到上的射影映射：xx,把上三个不同的已知点按指定的顺序变为的三个不同的已知点。证明 设和上的三个已知点按指定顺序分别记作y,z,u和y,z,u。根据本章定理8,我们可以在和上分

48、别以这些点为参考点建立射影坐标系,分别记作1和1,如果上的点x的坐标为(),即 那么,由于上的点与有序数偶的类一一对应,所以在上有唯一的与()同类的()为射影坐标的点x,把这个类的一般成员记作。所以 再由在和上建立坐标系的方法,可知y和y的坐标同为(1,0),z和z的坐标同为(0,1),u和u同为(1,1),因而我们建立的和上的射影映射 满足定义的要求。定理15 在定理14中建立的直线到上的射影映射：xx,在任意射影坐标系里,形式是相同的。如果(1，2)和(1，2)是点x和x分别在直线和上任意坐标系里的坐标。那么的一般形式是 (1.5.2) 或 |cik|0 (1.5.3) 若=1/2,=1/2,则上式等价于 (1.5.4) (,分别是点x和x的非齐次射影坐标)也可写成双线性方程 axx+bx+cx+d=0,ad-bc0 (1.5.5)证明 如定理14,在和上已分别建立了坐标系1和1,点x和x在各自坐标系里的坐标为 和(),而且,。本定理假设以和分别表示和上的任意坐标系,则点x和x的坐标按假设分别是(1，2)和(1，2)这样一来,