高考数学分类专题复习之二十三 空间位置关系与证明

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2、异面直线 l，m 外的任意一点，则（B A过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都相交A 1 D）D1C1 B1 CD过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都异面 2 （06 湖南）如图，过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中 A B 点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( D ) 条 条 条 条 3 （湖北）平面 外有两条直线 m 和 n ，如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是 m 和 n ，给出下列四个命 题： m n ? m n ； m n ? m n ；

3、m 与 n 相交 ? m 与 n 相交或重合； m 与 n 平行 ? m 与 n 平行或重合 其中不正确的命题个数是（ ） 1 2 3 4 4.（湖北）关于直线 m 、 n 与平面 、 ，有下列四个命题： （D ） m / , n / 且 / ，则 m / n ； m , n / 且 / ，则 m n ； B. 、' ' ' ' m , n 且 ，则 m n ； m / , n 且 ，则 m / n . C. 、''其中真命题的序号是： A. 、 D. 、 ) 5在正方形 ABCD ? A B C D 中，过对角线 BD 的一个平面交 AA 于

4、E，交 CC ' 于 F，则( 四边形 BFD ' E 一定是平行四边形 四边形 BFD ' E 有可能是正方形 四边形 BFD ' E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形 BFD ' E 有可能垂直于平面 BB ' D 以上结论正确的为 。 （写出所有正确结论的编号） 6 （上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知 ， 是两个相交平面， 空间两条直线 l1，l2 在 上的射影是直线 s1，s2 ， l1，l2 在 上的射影是直线 t1，t2 用 s1 与 s2 ， t1 与 t 2的位置关系，写出一个总能确定

5、l1 与 l 2 是异 面直线的充分条件：s1 / s 2 ，并且 t1 与 t 2 相交（ t1 / t 2 ，并且 s1 与 s 2 相交） 高考要考什么 高一线与线的位置关系:平行、相交、异面； 线与面的位置关系:平行、相交、线在面内； 面与面的位置关系:平行、相交； 二转化思想： 线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行,线 线 ? 线 面 ? 面 面 ；高考将考什么 高考将考什么 ， 【范例 1】如图，在四棱锥 P ? ABCD 中， PA 底面 ABCD ， AB AD，AC CD，ABC = 60°PA = AB = BC ， E 是 PC 的中点 P （）证明 CD AE

6、 ； （）证明 PD 平面 ABE ； E （）求二面角 A ? PD ? C 的大小 （）证明：在四棱锥 P ? ABCD 中， A D 因 PA 底面 ABCD ， CD ? 平面 ABCD ，故 PA CD C B AC CD，PA I AC = A ， CD 平面 PAC 而 AE ? 平面 PAC ， CD AE （）证明：由 PA = AB = BC ， ABC = 60° ，可得 AC = PA E 是 PC 的中点， AE PC 由（）知， AE CD ，且 PC I CD = C ，所以 AE 平面 PCD 而 PD ? 平面 PCD ， AE PD PA 底面 A

7、BCD，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD ， AB AD ， AB PD 又 AB I AE = A ，综上得 PD 平面 ABE （）解法一：过点 A 作 AM PD ，垂足为 M ，连结 EM 则（）知， AE 平面 PCD ， AM 在 平面 PCD 内的射影是 EM ，则 EM PD 因此 AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角 由已知，得 CAD = 30° 设 AC = a ， P M 2 3 21 2 可得 PA = a，AD = a，PD = a，AE = a E 3 3 2 在 Rt ADP 中， AM PD ， AM PD = PA AD ， 2

8、 3 a a 2 7 PA AD 3 则 AM = = = a PD 7 21 a 3在 Rt AEM 中， sin AME =A B CDAE 14 = AM 4解法二：由题设 PA 底面 ABCD ， PA ? 平面 PAD ，则平面 PAD 平面 ACD ，交线为 AD 过点 C 作 CF AD ，垂足为 F ，故 CF 平面 PAD 过点 F 作 FM PD ，垂足为 M ，连结 CM ， 故 CM PD 因此 CMP 是二面角 A ? PD ? C 的平面角 由已知，可得 CAD = 30° ，设 AC = a ， 可得 PA = a，AD =PE2 3 21 1 3 a，

9、PD = a，CF = a，FD = a 3 3 2 6FM FD = PA PD A BM F C DFMD PAD ，3 aa FD PA 7 6 = = 于是， FM = a PD 14 21 a 31 a CF 2 = 7 = 在 RtCMF 中， tan CMF = FM 7 a 14所以二面角 A ? PD ? C 的大小是 arctan 7 所以二面角 A ? PD ? C 的大小是 arcsin14 4变式：如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面 CDE 是等边三角形，棱1 BC =2 （1）证明 FO /平面 CDE ； （2）设 BC

10、 = 3CD ，证明 EO 平面 CDF EF /M 证明： （）取 CD 中点 M，连结 OM. 在矩形 ABCD 中， OM /连结 EM，于是四边形 EFOM 为平行四边形. FO / EM 又Q FO ? 平面 CDE， EM ? 平面 CDE， FO平面 CDE （）证明：连结 FM，由（）和已知条件，在等边CDE 中，1 1 BC ，又 EF / BC ，则 EF /OM ， 2 2CM = DM , EM CD 且 EM =3 1 CD = BC = EF . 2 2因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而 EOFM 而 FMCD=M， CD平面 EOM，从而 CDEO. 而 FM

11、 CD = M ，所以 EO平面 CDF. 点晴】 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的 使用，考查空间想象能力和推理论证能力。 D1 C1 【范例 2】如图，在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方 形，四边形 A1 B1C1 D1 是边长为 1 的正方形， DD1 平面A1 B1C1 D1 ， DD1 平面 ABCD ， DD1 = 2 A1B1（）求证： A1C1 与 AC 共面， B1 D1 与 BD 共面 （）求证：平面 A1 ACC1 平面 B1 BDD1 ； （）求二面角 A

12、? BB1 ? C 的大小（用反三角函数值表示） 证明：以 D 为原点，以 DA DC，DD1 所在直线分别为 x 轴， ， D Cy 轴， z 轴建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图，则有A BA(2， 0) B (2， 0) C (0， 0) A1 (1 0， 0， 2， 2， ， 2) B1 (11 2) C1 (0，2) D1 (0， 2) ， ， 1 ， 0，（）证明：uuuu r uuur uuuur uuu r A1C1 = (?11 0) AC = (?2， 0) D1 B1 = (11 0) DB = (2， 0) ， ， 2， ， ， 2， uuur uuuur uuu

13、 r uuuur AC = 2 A1C1， = 2 D1 B1 DBD1 z A1 C1 B1uuur uuuu r uuu uuuur r AC 与 A1C1 平行， DB 与 D1 B1 平行，于是 A1C1 与 AC 共面， B1 D1 与 BD 共面 （）证明： DD = (0， 2) ( ?2， 0) = 0 ， 0， 2， 1 ACuuuu uuur rD ACyBuuu uuur r DB AC = (2， 0) (?2， 0) = 0 ， 2， 2，xuuuu uuur uuu uuur r r DD1 AC ， DB AC DD1 与 DB 是平面 B1 BDD1 内的两条相

14、交直线 AC 平面 B1 BDD1 又平面 A1 ACC1 过 AC 平面 A1 ACC1 平面 B1 BDD1 （）解： AA1 = ( ?1 0， 1 = ( ?1 ? 1 2) CC1 = (0， 1 2) ， 2) BB ， ， ?， 设 n = ( x1，y1，z1 ) 为平面 A1 ABB1 的法向量，uuuruuuruuuu ruuur uuur n AA1 = ? x1 + 2 z1 = 0 ， n BB1 = ? x1 ? y1 + 2 z1 = 0 于是 y1 = 0 ，取 z1 = 1 ，则 x1 = 2 ， n = (2，1) 0， 设 m = ( x2，y2，z2 )

15、 为平面 B1 BCC1 的法向量，uuur uuuu r m BB1 = ? x2 ? y2 + 2 z2 = 0 ， m CC1 = ? y2 + 2 z2 = 0 于是 x2 = 0 ，取 z2 = 1 ，则 y2 = 2 ， m = (0， 1) 2，cos m，n =mn 1 = m n 51 二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 ? arccos 5解法 2（综合法） ： （）证明： D1 D 平面 A1 B1C1 D1 ， D1 D 平面 ABCD D1 D DA ， D1 D DC ，平面 A1 B1C1 D1 平面 ABCD 于是 C1 D1 CD ， D1 A1 DA

16、设 E，F 分别为 DA DC 的中点，连结 EF，A1 E，C1 F ， ， 有 A1 E D1 D，C1 F D1 D，DE = 1 DF = 1 ，D1 A1C1 B1DF OMC A1 E C1 F ，A 于是 A1C1 EF 由 DE = DF = 1 ，得 EF AC ， 故 A1C1 AC ， A1C1 与 AC 共面 过点 B1 作 B1O 平面 ABCD 于点 O ， 则 B1O A1 E，B1O C1 F ，连结 OE，OF ， 于是 OE B1 A1 ， OF B1C1 ， OE = OF EB B1 A1 A1 D1 ， OE AD B1C1 C1 D1 ， OF CD

17、 所以点 O 在 BD 上，故 D1 B1 与 DB 共面 （）证明： D1 D 平面 ABCD ， D1 D AC ， 又 BD AC （正方形的对角线互相垂直） ，D1 D 与 BD 是平面 B1 BDD1 内的两条相交直线， AC 平面 B1 BDD1 又平面 A1 ACC1 过 AC ，平面 A1 ACC1 平面 B1 BDD1 （）解：直线 DB 是直线 B1 B 在平面 ABCD 上的射影， AC DB ， 根据三垂线定理，有 AC B1 B 过点 A 在平面 ABB1 A1 内作 AM B1 B 于 M ，连结 MC，MO ， 则 B1 B 平面 AMC ，于是 B1 B MC，

18、B1 B MO ， 所以， AMC 是二面角 A ? B1 B ? C 的一个平面角 根据勾股定理，有 A1 A =5，C1C = 5，B1 B = 6 2 10 10 B1O OB 2 = ， BM = ， AM = ， CM = B1 B 3 3 3 3 OM B1 B ，有 OM =AM 2 + CM 2 ? AC 2 1 1 cos AMC = = ? ， AMC = ? arccos ， 2 AM CM 5 5二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 ? arccos1 5D1 C1 F M D C A H G B B1变式如图，已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长为 3

19、 的正方体， 点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，且 AE = FC1 = 1 （1）求证： E，B，F，D1 四点共面； 分） （4A 1E2 （2）若点 G 在 BC 上， BG = ，点 M 在 BB1 上， 3GM BF ，垂足为 H ，求证： EM 平面 BCC1 B1 ； 分） （4（3）用 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1 B1 所成的锐二面角的大小，求 tan 证明： （1）建立如图所示的坐标系，则 BE = (3，1) ， BF = (0， 2) ， BD1 = (3，3) ， 0， 3， 3， 所以 BD1 = BE + BF ，故 BD1 ， BE ，

20、BF 共面 又它们有公共点 B ，所以 E，B，F，D1 四点共面uuu ruuu ruuuu ruuuu ruuu uuu r ruuuu ruuu ruuu rzD1 C1 F M DyA1 B1 Euuuu ? r 2 ? （2）如图，设 M (0， z ) ，则 GM = ? 0， ，z ? ， 0， ? 3 ? ?而 BF = (0， 2) ，由题设得 GM BF = ? 3， 得 z = 1xAuuu ruuuu uuu r r2 3+ z 2 = 0 ， 3H G BC因为 M (0，1) ， E (3，1) ，有 ME = (3， 0) ，又 BB1 = (0， 3) ， BC

21、 = (0，0) ，所以 ME BB1 = 0 ， 0， 0， 0， 0， 3，uuuruuuruuu ruuur uuuruuur uuu r ME BC = 0 ，从而 ME BB1 ， ME BC 故 ME 平面 BCC1 B1 （3）设向量 BP = ( x，y， 截面 EBFD1 ，于是 BP BE ， BP BF 3) 而 BE = (3，1) ， BF = (0， 2) ，得 BP BE = 3 x + 3 = 0 ， BP BF = 3 y + 6 = 0 ，解得 x = ?1 ， y = ?2 ， 0， 3， 所以 BP = (?1， 2， ? 3)uuu ruuu ruuu

22、 ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu uuu r ruuu uuu r ruuu r0， 又 BA = (3， 0) 平面 BCC1 B1 ，所以 BP 和 BA 的夹角等于 或 ? （ 为锐角）uuu ruuu ruuu ruuu r BP 于是 cos = uuu r BP故 tan = 13 uuu r BA 1 uuu = r 14 BA【范例 3】如图，在长方体 AC1 中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1ECD

23、 的大小为D1 A1 D A E B B1C14.解析：法 1 （1）AE面 AA1DD1，A1DAD1，A1DD1EC（2）设点 E 到面 ACD1 的距离为 h，在ACD1 中，AC=CD1= 5 ，AD1= 2 ， 故 S ?AD1C =1 1 3 1 1 ? 2 ? 5 ? = , 而S ?ACE = ? AE ? BC = . 2 2 2 2 21 1 1 3 1 S ?AEC ? DD1 = S ?AD1C ? h, × 1 = × h, h = . 3 3 2 2 3D1 A1 D AH V D1 ? AEC =（3）过 D 作 DHCE 于 H，连 D1H、

24、DE，则 D1HCE， DHD1 为二面角 D1ECD 的平面角. 设 AE=x，则 BE=2xC1 B1 C E B在 Rt ? D1 DH 中,Q DHD1 =4, DH = 1.Q 在 Rt ? ADE中, DE = 1 + x 2 , 在 Rt ? DHE中, EH = x ,在 Rt ? DHC 中 CH = x+ 3= 3 , 在 Rt ? CBE 中 CE = x 2 ? 4 x + 5 ? x = 2 ? 3.x 2 ? 4 x + 5. AE = 2 ? 3时 , 二面角 D1 ? EC ? D 的大小为4.法 2：以 D 为坐标原点，直线 DA、DC、DD1 分别为 x、y

25、、z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A1(1，0， 1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0). （1） 因为DA1 , D1 E = (1,0,1), (1, x,?1) = 0, 所以DA1 D1 E. （2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0） ， 从而 D1 E = (1,1,?1), AC = (?1,2,0) ， AD1 = (?1,0,1) ， 设平面 ACD1 的法向量为 n = (a, b, c) ，A1 D o D1zB1C1?n ? AC = 0, ? a + 2b = 0 ?a = 2b ? 也即 ? ，得

26、? ， 则? ?n ? AD1 = 0, ? a + c = 0 ?a = c ?C E ByxA从而 n = (2,1,2) ，所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 h = （3）设平面 D1EC 的法向量 n = (a, b, c) ， CE = (1, x ? 2,0), D1C = (0,2,?1), DD1 = (0,0,1), 由?| D1 E ? n | |n|=2 +1? 2 1 = . 3 3?n ? D1C = 0, ?2b ? c = 0 ? 令 b=1, c=2, a=2x， ?n ? CE = 0, ?a + b( x ? 2) = 0. ? n = (2 ? x,1,2). 依题意 cos4=| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |=2 ? 22 ( x ? 2) + 52=2 . 2 x1 = 2 + 3 （不合，舍去） x 2 = 2 ? 3 . ， AE= 2 ?