评价雨量预报方法的数学模型

1、评价雨量预报方法的数学模型摘要：本文建立了用于评价雨量预报方法准确性的数学模型。首先针对问题一，结合具体数据进行量化评价。我们先是在模型一中利用matlab的二维插值法得到观测站点的预测数值，与这些站点的对应观测值进行比较得到二者的差值，通过比较差值的平方和RSS、分布函数的均值方差等，初步得出结论，方法一略优于方法二。模型二中根据气象部门进行的是四时段预报，进一步细化模型，分时段比较两种方法预测的误差的平方和及分布函数的均值方差，结论同之前的总体比较。模型三中考虑到用预测值的相对误差比用绝对误差来衡量预报准确度更为科学，我们以观测值为中心建立波动率分别为5%、10%、20%的允许误差区间，看

2、其对应的预测值是否落入这个区间以判定预测是否准确，通过建立计数函数t可以得出落入相应区间的预测值数，t即可视为每种方法预测相对准确的数，再除以预测值总数求得预报准确率来比较方法优劣。结论如下：方法1方法2准确率之差r=0.050.683020.679360.00366r=0.10.713890.707880.00601r=0.20.762560.757060.0055为了检验我们的结论，引入验证工具成功预测概率(POD)来进行检验。证明我们结论正确，方法一略优于方法二。针对第二问要求在评价方法中考虑公众的感受，我们主要考虑公众对预报的满意程度，并将降雨量的具体数值模糊化，按照降雨量的数值大小进

3、行归类，归入从无雨到特大暴雨一共7类中，以数字07作为等级代码。在初期模型中，得到预测值与观测值对应的等级代码后，求出二者等级之差作为预报误差。引入因子表示公众的满意程度，易知是等级之差的减函数。建立反映二者关系的分段函数，并得到两种方法下各个取值的频数进行比较。考虑到预报误差与分段区间长短的关系，我们引入因子作用于，随分段区间长度的不断增加，预测难度的降低，取值越小，以此衡量人们对准确率的要求随预报的容易而降低。作为新的衡量满意程度的因子，求出两种方法该因子的均值，得出法一较优。问题二的模型二中，我们借用模糊数学中的隶属度函数来描述这种分等级的预报方式给人们带来的感受。根据降雨等级所包含的降

4、雨量的区间的不同（有界区间还是无界区间），分别采用降半正态分布，升半正态分布和正态模糊函数作为不同区间的隶属度函数，用预测值确定该情形应使用的隶属度函数，然后把观测值代入预测值确定的隶属度函数，并把每种方法算出的隶属度加总比较，两者近似相等。，作为考虑进人们心理因素后的预测准确率，可见预测的准确程度有提高。最后我们评价了模型的优缺点，并对模型的改进提出了建议。关键词：二维插值；均值；方差；计数函数；准确率；隶属度一、 问题的提出雨量预报对农业生产、城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量做出预报是一个十分困难的问题，广受世界各国关注。我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，

5、即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。气象部门提供了41天的用两种不同方法得到的预报数据和相应的实测数据。雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。1) 请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性；2) 气象部门将6小时降雨量分为6等：0.12.5毫米为小雨，2.66毫米为中雨，

6、6.112毫米为大雨，12.125毫米为暴雨，25.160毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？二、 模型假设及说明1) 由于问题中经纬度跨度不是很大，预报的位置均位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上，所以假设不考虑地球球体表面的曲度，将问题置于二维平面中考虑。即相当于将题目中涉及的地球球体表面在平面上展开。2) 假设各雨量在问题涉及的区域内（包括预报的各网格点和观测站点）分布是光滑的。3) 假设气象部门提供的这两种不同的预报方法的预报技术稳定，每天、每时段对各网格点雨量做出的预报的准确系数稳定，无较大技

7、术失误或波动。4) 假设气象部门提供的91个观测站点的实测数据是准确的，能较真实地反映该观测站点附近的降雨量情况。5) 预报中存在的误差主要源自预报天气系统的误差，随机误差为次要影响因素，在此不考虑。将观测站点的预测值与观测值的差值u视为随机变量，假设其服从正态分布，各个差值之间相互独立，即，。6) 假设当雨量小于0.1毫米时，视为无雨。7) 问题二中气象部门将6小时降雨量分为6等的等级分类法已经实行较久，并且已经为公众所熟知。三、 模型中符号说明第k个观测站点的降雨量的预测值，k=1,27644；第k个观测站点的降雨量的观测值，k=1,27644；第k个观测站点的降雨量的预测值与观测值的差值

8、，k=1,27644；赋予一天预报雨量的4个时段的权重，i=1,2,3,4；RSS观测站点降雨量的预测值与观测值的差值的平方和；观测站点降雨量的预测值与观测值的差值所服从正态分布的均值；观测站点降雨量的预测值与观测值的差值所服从正态分布的标准差；公众对气象部门预报准确度的满意度；隶属度，；四、 模型的建立与求解问题一：根据数据评价两种6小时雨量预报方法的准确性。根据题目中给出的网格点和观测站点的经纬度，设x轴表示纬度，y轴表示经度，我们用matlab的画图功能得到这些点的分布图如图1。（蓝色点网格点位置，红色小叉为观测站点位置）图1由图1可见，由于受各种条件限制，观测站点的设置并不均匀，而且与

9、预测网格点极少重合。所以在假设1)、2)的前提下，我们首先通过已知的网格点的预测值推断出观测站点的预测值，再将观测站点的这些预测值与它们对应时段的观测值进行比较，建立数学模型来分析预报数据与实测数据误差的大小，进而比较出两种方法孰优孰劣。根据合理假设3)，两种预报方法技术稳定，无重大技术失误或波动，可以认为这两种预报方法每天的准确率与误差率都是稳定的。所以，我们从提供数据的6月18日起的41天中，抽取隔天数据，6月取18日、20日，7月取1日、3日，即6月取偶数日，7月取奇数日，一共用21天的数据来对两种预报方法的准确性进行比较。剩下其他天数的数据用于最后对我们的结论进行检验。模型一：回顾回归

10、分析的知识，考虑到曾用决定系数来衡量拟合优度，其中涉及一个参数RSS(即residual sum of squares的缩写)，能够较好地评价用拟合函数得出的估计值与实际观测值的关系，我们决定引用RSS的概念，将观测站点的预测值和观测值进行比较，求出对应时间段上这两个值的差值，进而求得这些差值的平方和，比较方法一、二中这一平方和的大小。首先需要得到观测站点的预测值。我们使用matlab工具中提供的二维插值法得到这91个观测站点21天4个时段的近似预测值，一个时段上的91个观测点的预测值作为一组，则每种方法各有84组这样的预测值，一共有预测值的个数个。用字母(Forecast)表示预测值，(Me

11、asuring)表示对应时段的观测值，表示预测值与观测值之间的差距，即反映了某种预报方法在某时段对某网格点预报的误差。我们定义，可以分别计算两种预报方法各自的RSS进行比较，RSS值越小，说明预报方法的误差越小，则这种方法越优。通过数据处理，我们得出第一种预报方法的RSS为 142760，第二种预报方法的RSS为162100，142760 < 162100，可见预报方法一总体上的误差更小，所以初步认为方法一优于方法二。为了进一步对两种预报方法下的这些误差数值的分布状况进行评价，按照假设5)， 将观测站点的预测值与观测值的差值视为随机变量，并假设其服从正态分布。将数据通过matlab处理，

12、得到两种方法下的差值服从的正态分布分别为：及。可见，虽然预报方法二下的差值的均值更趋近于0一些，但是标准差却比方法一大，这与之前对RSS的讨论一样。为直观地看到这两个分布的情况，我们将两个正态分布描在同一个坐标系下，如图2。图2由图可见，两个正态分布的均值相差不大，基本重叠，但是方法一的差值服从的正态分布图的峰度较明显地大于方法二，表明方法一的预报技术更稳定，误差的波动比方法二小，相对来说，准确性更大一些。由此，我们仍然认为方法一更优。但同时我们也发现，模型一也存在一些问题：事实上，两种方法的RSS 相差不是很大，于是考虑进一步改进我们的模型与评价标准。模型二： 气象研究所研究的是6

13、小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，但是，我们考虑到了晚上20点在预报未来的不同时段时难度是不一样的。比如，晚上20点预报接下来21点的降雨情况应该比预报第二天早上9点的降雨情况更容易一些，所以预报不同的时段，对准确度的要求也应该不一样。我们决定对不同时段预报数值的误差赋予不同的权重，以体现出对预报方法准确性的要求不同。显然，既然距离预报时点越近的时段更容易预报，就应当赋予这一时段的误差以较大权重，对预报精度的要求也越高。根据这种思路，我们将数据区分为四个时段，同样利用模型一中的处理方法

14、，将四时段对应的四部分数据通过matlab进行处理，得到四个时段的值、值和值(i=1,2,3,4;j=1,2；i表示一天中的四个时段，其中，1表示21点至次日3点这一时段，2表示次日3点至9点，3表示9点至15点，4表示15点至21点；j表示方法一和方法二)。具体数值见表1。表1方法1方法2时段1时段2时段3时段4时段1时段2时段3时段4-0.04299-0.094-0.08301-0.03529-0.04002-0.06108-0.09987-0.03326.67564.15723.26831.48257.22934.19123.53551.58858512033026204164200.3

15、9982533559238934821.9从大体上看，两种方法中四个时段对应的均值和标准差情况与模型一中类似，法二下的均值更接近0，但标准差情况差一些。为体现不同时段对预报准确度的要求不同，我们分别赋予4个时段不同的权重()。然后将四个时段的值、值和值进行加权，得到， ，再将和、和、和的值的大小进行比较。为简化数据处理，同时符合递减的原则，并且不影响加权后的综合评价指数、和在评价时的有效性，取，()。计算得到表2所示结果：表2方法1方法2-0.06553-0.057624.719315.0150348459.0355258.49通过模型二的建立，我们发现评价的结果与模型一类似，没有明显的改进，

16、即体现出的两种方法的准确性的差异不是很显著。说明预报方法一更优也没有提出十分有力的证据。所以，在进一步改进中，为简化模型，我们将不再将数据区分为四个时段。模型三：实际上，在之前的分析中，我们并没有考虑预报误差的相对性。例如，真实降雨量是4mm却被预测成了14mm，和真实降雨量是40mm 的降雨被预测成50mm，显然前一种方法预测的更不准确（它预测值高估了250%，而后者仅为25%），误差更严重。这提醒我们，判断一种预报方法的预测是否准确，实际的误差值可以作为一个评判标准，但这个误差是在实际值多大的时候产生的也十分重要。为解决这个问题，我们考虑用误差的相对性来代替误差的绝对值来评价预报方法。我们

17、首先考虑用作为一个相对误差的衡量指标，但实际降雨量很多时候为0，使上式分母为0，将使计算难以进行下去。为了避免观测值为0 的影响，同时又要考虑相对性，我们建立了一个计数模型，以期从比率的角度对两种预测方法的准确性进行评价。模型建立如下：首先把每个观测值M用一个区间来代替，例如让M值上下浮动r=20%，则对应的区间为（0.8M，1.2M），看该观测值对应的用两种预报方法得出的两个预测值是否落入该区间，如落入，则说明预报较为准确。建立一个分段的计数函数t如下：t=1 ；t=0 。同理，对于M值上下浮动10% 和5%的情况，建立相应的分段的计数函数t。根据上述模型，每种预报方法的7644个预测值都可

18、以对应t的值0或1。对应1时表明该预测值落入观测值的对应区间，误差在允许范围内，认为准确；对应0时则预测失误。便表明7644个预测值中有多少个预测准确。定义P=，表示每种预测方法中预测正确的比率，即该方法的准确率。用matlab处理数据后，可以分别求出第一和第二种预测方法的准确率如表3：表3方法1方法2准确率之差r=0.050.683020.679360.00366r=0.10.713890.707880.00601r=0.20.762560.757060.0055可见随着波动区间的不断缩小，对预测准确程度要求的不断提高，方法1的准确率始终高于方法2。这与我们之前模型的结论是一致的。问题一结论

19、的检验：通过以上对模型和评价方法的不断改进，我们的结论是第一种预报方法相对更优一些，准确度更大一些。为验证我们的结论，我们采用验证工具成功预测概率(POD，Probability of Detection)来进行检验。该工具认为，由于目前数值模式对降雨量的预测与实况相比在数值上仍有一段距离，因此在数值上直接对比并不实际，于是从质的方面处理。当预报降雨为某一数值，例如3毫米，而实况纪录有超过3毫米时就认为是一次成功的预报。先将预报数据与观测数据按不同类别排列如下表(统计量a、b、c、d以次数计)：次数观测值(超过指定雨量) 是 否预测值(超过指定雨量) 是 a b 否 c d根据工具中所给公式：

20、成功预测概率，我们将指定雨量的值定为3、5、7、9(单位：mm)，得到两种预报方法在这四个指定雨量下的POD值，如表4所示：表4雨量设定值(单位：mm)3579pod10.97160.960.94670.8843pod20.96780.95840.94480.8912从现有数据分析，多数时候下雨量不超过10mm，通过上表可见预报方法一的POD值大于方法二，表明成功预测概率更高，这与我们之前通过建立模型得出的结论一致。问题二：在评价方法中考虑公众感受模型一：气象部门将6小时降雨量分为6等，可以用数字16表示这6个等级，其中：1对应区间0.12.5 毫米，表示小雨；2对应区间2.66 毫米，表示中

21、雨；3对应区间6.112 毫米，表示大雨；4对应区间12.125 毫米，表示暴雨；5对应区间25.160 毫米，表示大暴雨；6对应区间大于60.1毫米，表示特大暴雨。考虑到假设6)，我们还另外加入数字0表示无雨，对应区间小于0.1毫米。我们将公众的感受用公众对气象部门的预报是否准确的满意程度来衡量。为将公众感受量化，引入因子表示公众的满意程度，取正值时表示公众满意；反之，取负值时表示公众对预报不满意，数值的大小反映公众满意或不满意的程度。易知，预报的误差越大，公众越不满意。由于以公众感受来评价两种预报方法优劣时，具体降雨量的数值模糊化，所以可以按照降雨量的数值大小进行归类，归入上述的7类中，通

22、过用等级代码06来代替具体降雨量数值，可以将预报数值的误差简化为预报值与观测值的等级之差的绝对值，该绝对值的数值越大，说明预报越不准确。例如，某天某一时段的预测值为4.6000毫米，在区间2.66毫米内，属于中雨，所以赋予其等级2；而该天同一时段的观测值为7.4000毫米，在区间6.112毫米内，属于大雨，赋予其等级3；预报值与观测值的等级之差为，即误差程度为1。易知，公众满意程度是预报误差的减函数，。为便于模型处理，将公众满意程度也用数字表示。函数值与自变量的取值情况定义如下：=0，=10 (这时预报准确，公众对气象部门较满意)；=1，=0 (由于预报数值与实测数值差距不是很大，公众不很在意

23、)；=2，=-5 (误差程度较大，公众对气象部门的预报较不满意，取负值)；=3，=-10；=4，=-15 (误差已引起公众较大不满，随着不准确的程度上升，不满意度也上升)；，=-20 (虽然误差程度上升，但公众的不满意度有一个上限，即不满意度达到这个极值时不会再无限制地增加)。按照定义的该分段函数，可以通过处理数据得到每天每个时段各观测站点的预测值给公众带来的满意程度。事实上，这两种预报方法在预测时均很少出现很大误差，的大部分值集中在(-10)10。取各值的频数情况如表5所示：表5满意度100-5-10-15-20方法147481984436420056方法247501981439416058

24、由表中数据难以比较出两种方法的优劣，可能由于满意度取值个数过少，随机性较大。所以我们决定改进衡量满意度的因子。考虑预报误差与分段区间长短的关系，引入因子作用于，与7个分段区间的区间长度成反比。随区间长度的不断增加，预测难度会降低，取值便越小，以此衡量人们对准确率的要求随预报的容易而降低。作为新的衡量满意程度的因子，求出两种方法该因子的均值进行比较。我们定义区间06对应的因子分别为：1、0.95、0.9、0.85、0.8、0.75、0.7。计算出两种方法下新的满意程度的衡量因子当定义的因子的取值变动但仍满足递减的规律时，仍有上述结论。但两种方法的差距不是很大，法一的优势不是很明显，我们尝试建立新

25、模型来衡量优劣。模型二：第一问中要求主要根据数值来判断哪一种方法准确，而在第二问中将降水量分成了六个等级 ，再加上无雨的情况一共是七个等级，量化衡量要求降低。气象部门以等级的形式（如小雨、大雨、暴雨）将预测的值向公众预告，很明显预报条件改变了（由一个具体的降雨量的数值变为一个等级），所以我们在评价预报方法优劣的过程中不能再单纯地比较数字，应该加入公众的感受。经过思考我们发现常规的高等数学方法不易解决此类问题，尤其是公众的感受这一非量化因素使问题变得更加不好把握。由此我们考虑到用模糊数学的相关知识解决这个问题。在引入具体模型之前，先对人们如何评价降雨等级预报是否准确进行如下的论述：根据合理假设7

26、)，气象部门将6小时降雨量分为6等的等级分类法已经实行较久，并据此向外部预报，为公众所熟知。由于已经较久地接受这种信息，人们会不断地把预报的降雨级别和现实中实际的降雨情况作对比，在生活中逐渐形成类似气象台降雨分级的评价标准。但显然人们对于每次降雨不会或很少去实地测量，只能凭大致的主观判断。以大雨为例，气象台6.112毫米都预报为大雨，人们受到大量的有关降雨量和等级的信息的冲击，会有自己的模糊的评判标准认为多大的雨符合大雨的概念。假定人们这一模糊概念对应的是中间值9.05mm（以下称这种类型的值为该等级的最优降雨量），随着实际发生的雨量偏离9.05mm越大，人们会认为气象台下大雨的预报和实际降雨

27、情况差距越大，预测的准确性是逐渐降低的。当实际的降雨量与9.05mm的差距足够大时，可能就会认为气象台预报暴雨或中雨更为贴切（对于小雨和暴雨等也有类似的情况）。在这里我们把上述的预测的准确性用模糊数学中的隶属度表示，记为（）。如果预测下大雨而且实际发生的降雨量为9.05时，人们认为预告最准确，记 =1；随着差距的变大，值向0趋近。当<0.5时人们会认为预测为别的降雨等级更准确。对于大雨采用正态模糊函数，其形式为（k>0 为常数），取属于大雨等级的最优降雨量为9.05mm。由于小雨、中雨、暴雨、大暴雨和大雨类似，都是双侧的，所以采取同样的函数形式。对于没有雨的情况，实际的雨量不会比人

28、们根据预报没雨而认为的最优降雨量0大，所以取降半正态分布（k>0,>），这里=0。对于特大暴雨，它的区间的右侧没有边界，这里取升半正态分布，（k>0），这里=60.05 。下面确定各方程的参数k，仍以预报为大雨的情形为例。如前所述，实际值与最优值9.05的差距加大会使隶属度下降，当隶属度小于0.5时，人们会认为预报大雨已很不准，应该预报其他降雨等级，而这个边界值就是区间的端点。在不影响最终结果的情况下把大雨的定义区间转为6.05 12.05mm，因而有，从而k=0.077。类似的可以求出。当预报无雨时，由于实际降雨量为0，隶属度最大为1，所以k为227。对于特大暴雨，由于实际

29、降雨量大于60.1时人们认为预报是特大暴雨已经是最合理的了，可以认为当降雨量为60.05时，隶属度为0.5 ，也即=0.5，所以k=1.92*10-4 ，这样我们就得到了7个等级的隶属度函数：；。图形如图3所示：图3由于人们是检验实际降雨量对于预报降雨等级的隶属度，因而首先分别把两种方法预测出的降雨量按照降雨量的分级方法转换成降雨等级，把各地各时段的实际的降雨量代入相应时段和地点的降雨等级的隶属度函数，求出实际雨量对于预报的等级的隶属度，最后把两种方法的所有隶属度分别加总。具体过程用matlab实现。最后得出两种方法的隶属度加总结果分别为：6347.6 和 6330.3。将加总结果分别除以76

30、44，得平均隶属度分别为：0.8304和0.8281。不妨将隶属度看作人们认为预测的准确度，所以我们的结论是方法一优于方法二，但是优势不明显。然而考虑人们的主观感受后，预测的准确程度较问题一有提高。总述：通过设计多种模型对两种方法的准确性进行分析，问题一主要侧重数量方面，问题二则侧重公众感受。尽管我们得出的结论是方法一优于方法二，但同时也看到，方法一的优势并不明显，两种方法的准确性并无存在极大差异。在问题一的求解中，方法一的准确率是76.3%，方法二是75.7%(依据模型三，r=0.2)，可见两种方法的准确率均较高。在问题二的求解中，两种方法的准确率分别为：五、 模型的评价及改进建议1、优点：

31、1） 数据处理时，是在比较合理的假设基础上进行的，即各雨量在问题涉及的区域内（包括预报的各网格点和观测站点）分布是光滑的，从而可以采用二维插值的方法预测出各观测点的预测值，使后面的分析大大简化。2） 对于预报方法的准确性这一较为模糊的概念，我们在处理两个问题的过程中均通过不断调整改进，建立多个模型，以期从不同的角度把握准确性这个概念。3） 在对第一问解答的探讨中，我们分别从预测偏差的绝对数和相对数的两个角度建立模型进行评价，避免了只考虑绝对数时的不足。4） 对于第二问，我们将人们的感受巧妙地利用模糊数学的相关知识加以表达，较具合理性。5） 鉴于本题数据较多，我们在不影响分析的前提下，把数据作了

32、筛选，使运算量大为简化。6） 文中大量使用图表，简单明了。2、缺点：1) 我们只采用了21天的数据来进行拟合，如果要得到更精确的评价结果，应该最好将41天的数据都用来拟合，或者获取气象部门处更多的数据，对两种预报方法在较长期时间中的预报准确程度进行衡量。2) 用插值法得到观测站点的预测值是否合理有待检验，但由于数据所限，无法进行。3) 第二问的模型一，涉及到权重的设计，在权重取值上主观性和随意性较大。4) 第二问的模型二中，没有具体说明为什么采用该种形式的隶属度感受函数，隶属度为1的值的取法依据，也缺乏必要的理论基础。3、模型的改进：对于第一问，在模型进一步完善的过程中可以考虑联系用于短期较细

33、致预报的hlafs模式，结合预报中的EOF分析方法，探讨两种预报方法的内在机理，并将其应用于评价准确性的分析当中。同时可以考虑根据不同预测时段距离预测时间的远近和实际雨量的大小，从细节上具体比较和评价两种预测方法。第二问中可以考虑把经济学中的效用函数作为评价人们心理感受的一个依据。 六、 参考文献1 飞思科技产品研发中心，MATLAB7基础与提高，北京：电子工业出版社，2005.42 赵静，但琦，数学建模与数学实验(第2版)，北京：高等教育出版社，2004.53 姜启源等，大学数学实验，北京：清华大学出版社，2005.24 黄金铺等，2002年日本气象厅全球数值预报模式在香港附近雨量预测的验证，5 杨伦标，模糊数学原理及其应用，广东；华南