重修材力孙版第2次课

1、1（2）2一、截面的几何性质二、弯曲内力三、弯曲应力四、弯曲变形五、简单的超静定问题 材料力学材料力学 第第 2 讲讲3一、截面的几何性质一、截面的几何性质4一、截面的几何性质一、截面的几何性质5一、截面的几何性质一、截面的几何性质Oxy dA xy截面对截面对 y , x 轴的静矩为：轴的静矩为：AAxSdyAxAySdxyCAAdAySxxAAAdAxASyyxSAyySxA（1）静矩可正，可负，也可能等于零；）静矩可正，可负，也可能等于零；（3 3）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心；（4 4）截面对形心轴的静矩等于零。截面对形心轴的静矩

2、等于零。6一、截面的几何性质一、截面的几何性质Oxy dA xy(1) (1) 截面对截面对 O点点的极惯性矩为：的极惯性矩为：AAId2pa. . 极惯性极惯性(2) (2) 截面对截面对 y , x 轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：AAxId2yAxAyId2xyC(3) (3) 截面对截面对 y , x 轴的惯性积为：轴的惯性积为：AxyAxyIdd. . 极惯性矩与极惯性矩与惯性惯性矩的关系矩的关系: :I = Ix + Iy极惯性矩极惯性矩，惯性矩的数值恒为正惯性矩的数值恒为正; ;惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零;c. . 若若x , y两坐

3、标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对x , y轴的惯性积一定等于零轴的惯性积一定等于零;(4) (4) 截面对截面对 y , x 轴的惯性半径为：轴的惯性半径为：A,AyyxxIiIi7一、截面的几何性质一、截面的几何性质两种常见截面的极惯性矩、惯性矩两种常见截面的极惯性矩、惯性矩62yhbW 矩形截面对矩形截面对 y , x 轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：123yhbI 123bhIx弯曲截面系数为：弯曲截面系数为：62bhWxbhxyC8一、截面的几何性质一、截面的几何性质两种常见截面的极惯性矩、惯性矩两种常见截面的极惯性矩、惯性矩324pdI圆形截面

4、对圆形截面对 y , x 轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：4diiyxyxIdI644弯曲截面系数为：弯曲截面系数为：323dWWyxyxdO圆形截面对圆形截面对O点点的极惯性矩为：的极惯性矩为：圆形截面对圆形截面对y , x轴轴的惯性半径为：的惯性半径为：9一、截面的几何性质一、截面的几何性质xyObaCxCyC已知截面对形心轴已知截面对形心轴 xC ，yC 的惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积求截面对与形心轴平行的求截面对与形心轴平行的 x ，y 轴惯性矩和惯性积轴惯性矩和惯性积A2yCbIIyA2aIICxxAabIICCyxxybhyCxx13)2(12A32321bhbhhbhaIICxx1

5、0一、截面的几何性质一、截面的几何性质z2RRzz1z034RycC3485)(442Czz01RRyRAII2C0yAIIzz64214DIz3485)(442Czz02RRyRAIIA2aIICxx11一、截面的几何性质一、截面的几何性质xyO主惯性轴主惯性轴总可以找到一个特定的角总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标轴使截面对新坐标轴 x0 , y0 的的惯性积等于惯性积等于 0 , 则称则称 x0 , y0 为为主惯性轴主惯性轴。主惯性矩主惯性矩截面对主惯性轴的惯性矩。截面对主惯性轴的惯性矩。x1y112二、弯曲内力二、弯曲内力13二、弯曲内力二、弯曲内力FmmmmFFsMFs

6、FsFsFsM 为正为正MMMMM 为负为负FsM14二、弯曲内力二、弯曲内力（1 1）横截面上的）横截面上的在数值上在数值上等于等于此横截面的左侧或右侧梁段上外力的代数和此横截面的左侧或右侧梁段上外力的代数和 。向上外力引起正剪力向上外力引起正剪力向下外力引起负剪力向下外力引起负剪力向下外力引起正剪力向下外力引起正剪力向上外力引起负剪力向上外力引起负剪力左侧梁段：左侧梁段： 右侧梁段：右侧梁段： （2 2）横截面上的）横截面上的在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力对在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力对 该截面形心的力矩之代数和该截面形心的力矩之代数和 。 不论在截面的不论在

7、截面的 左侧左侧 或或 右侧右侧 向上向上的外力均将引起的外力均将引起 正值正值的弯矩，而的弯矩，而向下向下的外力则引起的外力则引起负值负值的弯矩。的弯矩。顺时针转向外力偶引起正弯矩；顺时针转向外力偶引起正弯矩；逆时针转向外力偶引起负弯矩。逆时针转向外力偶引起负弯矩。逆时针转向外力偶引起正弯矩；逆时针转向外力偶引起正弯矩；顺时针转向外力偶引起负弯矩。顺时针转向外力偶引起负弯矩。左侧梁段：左侧梁段：右侧梁段：右侧梁段：15二、弯曲内力二、弯曲内力例题例题7 7：求指定截面上的内力：求指定截面上的内力 FsA左左 ， FsA右右， FsD左左 ， FsD右右 ，MD左左， MD右右 。m3kNqm

8、=3kN.m2m2m4mCADBFAFB解：解： FA = 14.5 kN ，FB = 3.5 kN 计算计算 FsA左左，FsA右右 FsD左左， FsD右右kN62qFsA左kN5 . 82AqFFsA右kN5 . 3BsDsDsDFFFF右左看左侧看左侧看右侧看右侧16二、弯曲内力二、弯曲内力例题：求指定截面上的内力例题：求指定截面上的内力 FsA左左 ， FsA右右， FsD左左 ， FsD右右 ，MD左左， MD右右 。m3kNqm=3kN.m2m2m4mCADBFAFB解：解： FA = 14.5 kN ，FB = 3.5 kN 看左侧看左侧看右侧看右侧计算计算 MD左左， MD右

9、右kN.m42mFMBD左kN.m4364qFMAD左kN.m7364mqFMAD右kN.m72BDFM右17二、弯曲内力二、弯曲内力Fs = Fs (x )M = M（x）即：即：用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律， 分别称作剪力方程和弯矩方程分别称作剪力方程和弯矩方程 。弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在 x 轴下侧，负值画在轴下侧，负值画在 x 轴上侧轴上侧剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在轴上侧，负值画在 x 轴下侧轴下侧 画剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的画剪力图和弯矩图的最基本

10、方法是，首先分别写出梁的 剪力方程剪力方程 和和 弯矩方程弯矩方程 ，然后根据它们作图。，然后根据它们作图。18二、弯曲内力二、弯曲内力例题 m3kNq2m2m4mCADBFAFB解： FA = 14.5 kN ，FB = 3.5 kN x)m20(3)(xxqxxFsCA段)m20(22)(2xqxxxqxM)m6m2(35 .14)(xxqxFxFAsAD段)m6m2(25 .142)(2xqxxxxqxFxMA)m20(5 . 3)(xFxFBsDB段)m20()(xxFxMB xx+-6kN8.5kN3.5kNFs-图图x=4.83m列出梁的内力方程并作内力图。19二、弯曲内力二、弯曲

11、内力m3kNqm=3kN.m2m2m4mCADBFAFB例题 列出梁的内力方程并作内力图。解：解： FA = 14.5 kN ，FB = 3.5 kN x)m20(3)(xxqxxFsCA段段)m20(22)(2xqxxxqxM)m6m2(35 .14)(xxqxFxFAsAD段段)m6m2(25 .142)(2xqxxxxqxFxMA)m20(5 . 3)(xFxFBsDB段段)m20()(xxFxMB xxM(kN.m)-图图x=4.83m+-6.0446720二、弯曲内力二、弯曲内力（1 1）三者间的微分关系）三者间的微分关系)(d)(dsxFxxM)(d)(dsxqxxF)(d)(d2

12、2xqxxM21二、弯曲内力二、弯曲内力当当q = 0 时时FS(x)= 常数，剪力图为一水平直线段常数，剪力图为一水平直线段M(x)为一次函数，弯曲图为一斜直线段为一次函数，弯曲图为一斜直线段当当q = 常数常数时（均布荷载）时（均布荷载）FS(x)为一次函数，为一次函数， 剪力图为一斜直线段剪力图为一斜直线段 当当q 0 时（分布荷载向上），单调上升时（分布荷载向上），单调上升 当当q 0 时（分布荷载向上），抛物线上凸时（分布荷载向上），抛物线上凸 当当q 0 时，弯矩为递增函数时，弯矩为递增函数当当 FS(x) 0 时，弯矩为递减函数时，弯矩为递减函数集中载荷作用处，剪力有突变，弯矩连

13、续，但呈现一个尖点集中载荷作用处，剪力有突变，弯矩连续，但呈现一个尖点集中力偶作用处，弯矩有突变，剪力连续集中力偶作用处，弯矩有突变，剪力连续)(d)(dsxFxxM)(d)(dsxqxxF)(d)(d22xqxxM23二、弯曲内力二、弯曲内力24二、弯曲内力二、弯曲内力3m4mkN22FkN.m10mm1kNqABCDE4m4mkN21FBFAF解：支座约束力为解：支座约束力为kN5kN,7BARR将梁分段：将梁分段： AC、CD、 DB、BE 剪力图形状剪力图形状AC：向下斜的直线向下斜的直线（ ）CD：向下斜的直线向下斜的直线 ( ( ) )DB：水平直线水平直线 ( (）EB：水平直线

14、水平直线 ( (）弯矩图形状弯矩图形状AC：下凸的抛物线下凸的抛物线（）CD：下凸的抛物线（下凸的抛物线（）DB：向上斜的直线（向上斜的直线（ ）EB：向下斜的直线向下斜的直线 ( )25二、弯曲内力二、弯曲内力3m4mkN22FkN.m10mm1kNqABCDE4m4mkN21FBFAFFs-图图kN7sA右F7kN+-3kNsC左F1kNsC右F3kNsDF3kNDBs，F2kNsB右F3kN1kN3kN2kNFx = 5m26二、弯曲内力二、弯曲内力3m4mkN22FkN.m10mm1kNqABCDE4m4mkN21FBFAFM-图图0AM02CM16D左M5 .20Fmax MM6D右

15、F6BM单位：单位：kN.m201620.5+-660EMFx=5m27三、弯曲应力三、弯曲应力28三、弯曲应力三、弯曲应力FFaaCDFFFsFaM推导推导纯弯曲纯弯曲梁横截面上正应力计算公式梁横截面上正应力计算公式, ,要综合考虑要综合考虑几何、物理和静力学几何、物理和静力学三方面三方面。29三、弯曲应力三、弯曲应力30三、弯曲应力三、弯曲应力：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍为平面，它绕着该横截面上的：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍为平面，它绕着该横截面上的 中性轴中性轴 旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线 。31三、弯曲应力三、弯曲应力因而因

16、而, ,横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等。横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等。该式说明该式说明: : 和和 y 坐标成正比坐标成正比 , ,而与中性轴而与中性轴 z 坐标无关。坐标无关。ya. 几何方面几何方面b. 物理方面物理方面由由a、b两方程得：两方程得：纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态。纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态。材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。由单轴应力状态下的由单轴应力状态下的 胡克定律胡克定律 可得物理关系：可得物理关系： =E Ey在距中性轴为在距中性轴为 y 的同一横线上的同一横线

17、上 各点处的各点处的 正应力正应力 均相等均相等 。32三、弯曲应力三、弯曲应力c. 静力学方面静力学方面Ey需要解决的问题：需要解决的问题：如何确定中性轴的位置如何确定中性轴的位置 ？如何计算如何计算 1/ ? ?AAyEd0 SzE AAFdN中性轴过截面形心且与横截面的对称中性轴过截面形心且与横截面的对称轴轴 y 垂直垂直中性轴是横截面的形心主惯性轴中性轴是横截面的形心主惯性轴z1EIMEIz 称为截面的称为截面的弯曲刚度弯曲刚度AAyEd2MIEz )d(AzAyM33三、弯曲应力三、弯曲应力Eyz1EIMM 横截面上的弯矩横截面上的弯矩y 求应力点的坐标求应力点的坐标式中式中 ：Iz

18、 横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩zIMymaxmaxmaxtcMmaxcmaxt34三、弯曲应力三、弯曲应力纯弯曲纯弯曲时的正应力公式可以精确的计算时的正应力公式可以精确的计算 横力弯曲横力弯曲 时横截面上的正应力时横截面上的正应力zIyxMx)()(zIMy等直梁横力弯曲时，某一横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的位置。等直梁横力弯曲时，某一横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的位置。maxmax)(yIxMza. 中性轴为对称轴中性轴为对称轴maxyIWzzWZ 称为弯曲截面系数称为弯曲截面系数maxmaxmaxct令：令：zWMmax梁横截面上最大正应力的计算公式为梁横截

19、面上最大正应力的计算公式为35zyMytmaxycmax三、弯曲应力三、弯曲应力zIyxMx)()(maxmaxtcb. 中性轴为不对称轴中性轴为不对称轴梁横截面上最大正应力应分别计算梁横截面上最大正应力应分别计算: :maxcmaxtztIyxMmaxt,max)(zccIyxMmax,max,)(36三、弯曲应力三、弯曲应力梁的横截面上最大工作正应力梁的横截面上最大工作正应力 max 不得超过材料的许用弯曲正应力不得超过材料的许用弯曲正应力 maxmaxmaxzWMa. 中性轴为对称轴中性轴为对称轴b. 中性轴为不对称轴中性轴为不对称轴当为脆性材料时，因为当为脆性材料时，因为tcmaxma

20、xtc（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）maxttmaxccmaxt,maxmaxtztIyMmax,maxmax,czccIyM37三、弯曲应力三、弯曲应力38bzyC2h2h三、弯曲应力三、弯曲应力bISFzzs*sFzI*zSbyA*)4(2d22*yhbyAAySACz39bzyC2h2h三、弯曲应力三、弯曲应力bISFzzs*yA*0bhFbhhFhIFsz231284232s2smaxbhFs23max40三、弯曲应力三、弯曲应力(2) (2) 等直梁横截面上最大切应力的一般公式等直梁横截面上最大切应力的一般公式 对于等直梁，其最大切应力对于等直梁

21、，其最大切应力 max 一定在最大剪力一定在最大剪力 Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。bISFzz*maxmaxsmax41三、弯曲应力三、弯曲应力(3) (3) 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度。梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度。梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处*max,max,bISFzzs式中式中 ： 材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力;Sz*max中性轴任一

22、边的半个横截面面积对中性轴的静矩中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩;在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。b 中性轴处截面宽度中性轴处截面宽度;42三、弯曲应力三、弯曲应力按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件。主要是依据梁的正应力强度条件。 WMzmaxmax(1)(1)合理配置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值合理配置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值a. .合理地配置梁的荷载合理地配置梁的荷载b. 合理地设置支座位置合理地设置支座位置（2 2）合理选择截面形

23、状）合理选择截面形状当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大。当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大。即即 Wz /A 较大，则截面的形状就较为经济合理。较大，则截面的形状就较为经济合理。 一般要使截面面积分一般要使截面面积分布在距中性轴较远的地方。布在距中性轴较远的地方。43F/2F/2三、弯曲应力三、弯曲应力a. .合理地配置梁的荷载合理地配置梁的荷载8Fl+FlF4l4l2l+4Fl44三、弯曲应力三、弯曲应力b. 合理地设置支座位置合理地设置支座位置ql.M21250 maxlq当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动 a=0.20

24、7l 时时qlM2max0215. 0 45三、弯曲应力三、弯曲应力a. .对于塑性材料制成的梁，选以中性轴为对称轴的横截面对于塑性材料制成的梁，选以中性轴为对称轴的横截面圆环形比圆形，工字形比矩形圆环形比圆形，工字形比矩形，矩形竖放比平放更合理。矩形竖放比平放更合理。如：工字形，矩形如：工字形，矩形, ,圆形圆形, ,圆环形等截面。圆环形等截面。（2 2）合理选择截面形状）合理选择截面形状46三、弯曲应力三、弯曲应力（2 2）合理选择截面形状）合理选择截面形状b. .对于脆性材料制成的梁，宜采用对于脆性材料制成的梁，宜采用 T 字形等对中性轴不对称的截面，字形等对中性轴不对称的截面， 且将翼

25、缘置于受拉一侧且将翼缘置于受拉一侧。maxcmaxtzy1y2要使要使 接近下列关系接近下列关系: :最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力21yy212max1maxmaxmaxctzzctyyIyMIyM47三、弯曲应力三、弯曲应力（3 3）合理设计梁的外形）合理设计梁的外形 梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为则称为 等强度梁等强度梁 。例如，宽度例如，宽度 b 保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其

26、高度随截面位置的变化规律度梁，则其高度随截面位置的变化规律 h(x) ，可按正应力强度条件求得可按正应力强度条件求得。bh(x)2l2lF48三、弯曲应力三、弯曲应力（3 3）合理设计梁的外形）合理设计梁的外形bh(x)2l2lF梁任一横截面上最大正应力为梁任一横截面上最大正应力为 )()61()2()()(2maxxbhxFxWxM求得求得bFxxh3)(但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度。但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度。 minmax22323bhFAFs求得求得43minbFh49三、弯曲应力三、弯曲应力（3 3）合理设计梁的外形）合理设计梁的外形bh

27、(x)2l2lF按上按上确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁。F50四、弯曲变形四、弯曲变形51四、弯曲变形四、弯曲变形52四、弯曲变形四、弯曲变形 挠曲线挠曲线转角转角 yAB xCw挠度挠度C53四、弯曲变形四、弯曲变形)(1xfw )(2xf挠曲线挠曲线转角转角 yAB xCw挠度挠度C挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：)( tan1xfw 挠度：向下为正，向上为负挠度：向下为正，向上为负; ;转角顺时针转为正，逆时针转为负。转角顺时针转为正，逆时针转为负。挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定:54四、弯曲变形四、弯曲变形EIM1 )

28、()(1EIxMx横力弯曲时横力弯曲时, , M 和和 都是都是 x 的函数的函数 。略去剪力对梁的位移的影响。略去剪力对梁的位移的影响, , 则则纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系为与弯矩的关系为由几何关系知由几何关系知, , 平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作232)1 (| |)(1wwx近似原因近似原因 : (1) : (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响 ; (2) ; (2) 略去了略去了 w2 项。项。zEIxMw)( 55四、弯曲变形四、弯曲变形zEIxMw)( 21zd d)(CxCxxxMwEI 1zd)(CxxMwEIEI56四、弯曲变形四、弯曲变形0 x0|

29、0 xw0|0 x0 x0|0 xw0|0 xlx 0|lxw0|lx57四、弯曲变形四、弯曲变形021|xaxww021|xaxC右左CCww右左CC或58四、弯曲变形四、弯曲变形确定梁的连续条件确定梁的连续条件wwBBBB右左右左,wwCC右左右左右左DDDDww,wwFF右左但是但是右左右左EECC,ABCDEGF分几段？分几段？几个积分常数？几个积分常数？51059四、弯曲变形四、弯曲变形60四、弯曲变形四、弯曲变形BACqBAMCABMlCq=+61四、弯曲变形四、弯曲变形FABCBC曲线曲线直线直线BwBBCwwCBBBCBBC62四、弯曲变形四、弯曲变形63四、弯曲变形四、弯曲变

30、形梁的刚度条件梁的刚度条件maxlwlw式中：式中：wmax 为梁上最大的挠度为梁上最大的挠度；l 为梁的跨长；为梁的跨长； w / l 为梁的许可挠度与的跨长比值。为梁的许可挠度与的跨长比值。max64四、弯曲变形四、弯曲变形梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关外，还取决于以下三个因素：关外，还取决于以下三个因素：材料材料 梁的位移与材料的弹性模量梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；成反比；截面截面 梁的位移与截面的惯性矩梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；成反比；跨长跨长 梁的位移与跨长梁的位移与跨长 l 的的 n 次幂次幂成正比。成正比。6.6.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施65四、弯曲变形四、弯曲变形6.6.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施（1 1）增大梁的抗弯刚度）增大梁的抗弯刚度 EI工程中常采用工字形、箱形截面。工程中常采用工字形、箱形截面。为了减小梁的位移，可采取下列措施为了减小梁的位移，可采取下列措施（2 2）调整跨长和改变结构）调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。