函数的单调性教案

1、函数的单调性教案高中数学适用年级高一适用区域苏教版区域课时时长1分钟2课时知识点单调性的概念、单调性的判别证明方法、单调性的运用教学目的使先生掌握应用函数图象和单调性定义判别、证明函数单调性的方法.经过对函数单调性定义的探求,浸透数形结合的思想方法,提高先生的推实际证才干.教学重点函数单调性的概念、判别.教学难点依据定义证明函数的单调性.【知识导图】(教学进程一、导入函数的单调性是先生在了解函数概念后学习的函数的第一特性质，是函数学习中第一个用数学符号言语描写的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据.关于函数单调性，先生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号言语去描写图象的

2、上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到笼统的转变对高一的先生是比拟困难的；(2)单调性的证明是先生在函数内容中初次接触到的代数论证内容，而先生在代数方面的推实际证才干是比拟单薄的.二、知识解说减函数考点1单调性的定义设函数段）的定义域为/,假设关于定义域/内某个区间D上的恣意两个自变量的值X,X2定义当AKV2时，都有人不卜人，那么就说当X1<X2时，都有九刀工），打陷就函数/U）在区间D上是增函数说函数./U）在区间D上是减函数图象描画自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降考点2单调区间的定义三、例题精析日判别公增函数或减函数，打陷称函数了二仆）在这一区间上具有（严厉的）单调性

3、，区间D叫做产危）的单调区间.1 .增函数：设函数.'7"）的定义域为I，假设关于定义域/内的某个区间D内的恣意两个自变量xiA2当xi<X2时都有/（xi）/（x2）那么就说广在区间£）上是增函数。力aeon力磔仿照增函数的定义可定义减函数.2 .假设函数/（外在某个区间D上是增函数或减函数，就说/（X）在这一区间上具有严厉的单调性，区间。叫/匕）的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的如右图1，减函数的图象从左向右是下降的如右图2.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋向，失掉函数的单调区间及单调性.3 .判别单调性的步骤：设%,占e

4、给定区间，且M<%；-计算/区）-/（A-,）一判别符号一下结论.例题1判别函数/（x）=x+州（a>0）在（0,+8）上的单调性【解析】（1）设由，比是恣意两个正数，且0<H<T2,x2那么风一/CV2）=X+"（X2+）=2（玉一"）当0<Xl<X2W时，0U1X2V，又内一X2<0,所以应一/10)>0，即/UOMq),所以函数./U)在(0,&上是减函数；当时，XX2>a,又内一X2<0,所以J(X)j(X2)<0,即f(X)<J(X2),所以函数./U)在6,+8)上是增函数.综上可知

5、，函数/*)=工+%3>0)在(0,6)上是减函数，在(后,+8)上为增函数.X【总结与反思】归结解题步骤：引导先生归结证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.类型二函数单调区间的求法/(X)J(x)Wk k、f(x)>k以四奴卜二.")在(-8,+8)内有定义.关于给定的正数左，定义函数取函数网二25当上;时函数小)的单调递增区间为()A(-8,0)8.(0,+8)C(-8,-1)D.(1r+OO)【解析】C由,")>；,得-1OV1.由危)工；,得XW-1或XE所以/；(X)=,故/,(X)的单调递增区间为(-8,-1).2【总结与反思】(

6、1)普通地，我们在解时，假定正面情形较为复杂，我们就可以先思索其反而，再应用其补集,求得其解，这就是"补集思想”.(2)处置含参数效果的集合运算，首先要理清标题要求，看清集合间存在的相互关系，留意分类讨论思想的运用。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易招致错解。类型三函数单调性的运用例题1假定於）为R上的增函数，那么满足负2-，）勺如今的实数机的取值范围是.假定函数./U）=I2v+洲的单调递增区间是3,+8）,那么=.【解析】.府）在R上为增函数，.27Mm匕：.nr+m-2>0.a.;n>l或j<-2.由/S）T2x+al可得函数«

7、;T）的单调递增区间为（-2.+0C）故-=3,解得。=-6.22【总结与反思】1 .判别两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻觅两集合间的关系；二是用罗列法表示各集合,从元素中寻觅关系.2 .两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.处置这类效果经常需求合理应用数轴、Venn图协助剖析.四、课堂运用if标是R上的增函数，且“?+3）K/（5）,那么实数小的取值范围是23 .函数），=一的单调递减区间为.4 .函数/（%）为R上的单调函数，假定/（1+2“-1）=/（3-“），那么”=.答案与解析1 .【答案】（口,2【解析】省略

8、2 .【答案】i-OD,0）和（O,*Dl【解析】省略3 .【答案】4和1【解析】由于函数，（另是R上的单调函数，所以自变量和函数值是逐一对应关系，故由，但,+2-1）二,（3一。）得/十2口一1二3a，即a二4或a=1.是以上的减函数，假定，（溶+3）工，（5）,那么实数部的取值范围是.x2-2x+3（j,j:>22 .函数是式上的增函数，那么实数以的取值范闱是.|2x-l?x<23 .画出函数、=一/+2k|+3的图象，并指出函数的单调区间.答案与解析1 .【答案】m>2【解析】由，（溶+3）工，（5）且«r）是R上的减函数得%+325,.刑之2.2 .【答案】

9、«>1【解析】2x2-1022-2x2+%,得3 .【答案】同解析+2x+3,x20【解析】y=-旷+2lxl+3=厂2x+3,x<0函数图象如下图.函数在（一8,1,0,1上是增函数，函数在-L0,1,+8）上是减函数.函数月=一炉+2己+3的单调增区间是（一8,TJ和0口,单调减区间是-L0和U，+8）.1 .八町/g在（瓦I上是增函数，且a<gx）<b,求证：，但任）在（见勾上也是增函数.2 .定义在式上的函数/（另满足：对恣意实数附4总有/（+=/（我"，且事先X>0»0</（2T）<1.（1）试求/（0）的值：（

10、2）判别/（力的单调性并证明你的结论.答案与解析1 .【答案】同解析【解析】证明<a<x<X2<bfg（x）在（a,b）上是增函数,g（Xl）Vg（X2<且a<g（xi）<g（x2）<b.又二Ax）在（a,b）上是增函数,，./CgS）矶*2），儿的幻）在（a,）上是增函数.2 .【答案】同解析【解析】在加|+）=危。危）中,令7=1,=0,得川）=川）7（0）.由于也）工0,所以«o）=l（2）函数八刈在R上单调递减.任取片，A2R,且设X<%2.在条件yo+，2）=/（】）./（）中，假定取加+“=也，W=X,那么条件可化为4

11、>2）=/&1）负X2九】），由于X2f1>0,正以O</（X2X）<1.在加+）=犬?）贡）中，令7=X,"=-X,那么得/（X）.A-X）=1.当x>0时，0<Ax)<l,所以又的）=1,所以关于恣意的X£R均有兀30.所以,/（也）一抵门）=«仃）f（X2X1）-10即小如）.所以函数/U）在R上单调递减.性的普通步骤，即:1取值：即设内、处是该区间内的恣意两个值，且小分2作差：即加）4勿）（或手'）出）,并经过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判别差的符号的方向变形。3定号：依据给定的区间和X2-

12、K符号，确定差八不）二f*）（或f（M）二/但）的符号。当符号不确定时，可以停止分类讨论。（4判别：依据定义得出结论。1 .丁（/）在区间同上单调，且丁/团0,那么方程了（引=0在区间凡可上.（填序号）至少有一个根：至少有一个根：无实根；必有独一的实根.2 .函数/（、）=-/+2x在区间（-8,0上是单调函数.（填"增"或"减"）3 .以下命题中，正确的有.（写出一切正确命题的序号）假定函数/（1）怎5）在立上均为增函数,那么函数/+g也为K上的增函假定函数了（另遭（”在史上均为增函数，那么函数/q）g（x）也为史上的增函数:假定函数/，式力在史上均为

13、增函数，那么函数/一武力也为史上的增函假定函数/（）在区间和N上均为增函数，那么函数”另在的UN上也为增函数.答案与解析1 .【答案】【解析】'TW在口,切上单调,且刎处）0,当於）在a,b上单调递增,那么的）0,加）0,当.”）在口，句上单调递减，那么加）0,购0,故./U）在区间a,b上必有Xo使/Uo）=O且Xo是独一的.2 .【答案】增【解析】二次函数启齿方向向下，对称轴为x=1.所以在区间（-8,0上是增函数3 .【答案】【解析】由函数单调性的定义可知正确，错误62+2"3的单调递减区间为2.函数,"）对恣意的加£R,都有而+）=/（，）+加）-

14、1,并且心0时，恒有（1）求证：犬工）在R上是增函数；（2）假定/（3）=4,解不等式加於+。-5）2.答案与解析L【答案】（-8,-3【解析】该函数的定义域为（一8,一引Ul,+8）,函数1（*）=*+2*3的对称轴为X=-1,由函数的单调性可知该函数在区间（一8,一刃上是减函数.2.【答案】同解析【解析】证明设XI,A-2ER,且XX2,，X2X0,:当X0时，危）1,，,2一即）1.NX2)=H(X2-Xl)+Xl=/(X2两)+./(占)-1,.兀立)一大司)=人。一川)一1>0.AX1)<AX2),，明)在R上为增函数.(2)解，£R,无妨设m=1,.川+1)=

15、川)+.A1)-1=负2)=2也)一1,式3)=4=/(2+1)=4不2)+川)-1=4=3/(1)2=4,.,式1)=2,m2+”-5)<2=41),10分7U)在R上为增函数，：.a2+a-5<-3<a<2,即£(3,2).）关于恣意4,£用总有/（"/力二彷）-1，并且当工0时，/G）1.（1）求证：/C6在R上是增函数:假定/(4)=5,解不等式/(3疗_-2)<3；假定关于x的不等式/（心-2）+/口-/）2恒成立，务实数的取值范围.2.函数/（X）是定义在（0,仲）上的减函数，对恣意的X,yG（0,+8）冗ye（o,+8）

16、,都有/口+丁）=元且丁（4）=5.（1）求2）的值;（2）解不等式/（浴2）X3.答案与解析L【答案】同解析【解析】(1)设入卜攵心且町<、2，那么工，2一“1>°，/&2一修)>1，f(父)二f(X1)=/(攵一“1)+町)1)=/(a-2".vi)(/)-1/(xp=/(登一、i)T>0,/5)力”)(6即人啊)勺2)./&)在R上是增函数.(2),:f(4)/(2+2)=/4/-1=5,，f(2)=3,:.不等式/(3病-m-2)<3即为f(3nf-/n-2)</(2)G4又T(x)在R上是增函数，3j2-l2<2,解得一4因此不等式的解集为洲-l<m<-；(3)令g氏0,得/(0)