函数.04函数零点.学生版

1、他三高考要求次知识框架埠重难点一、函数的零点函数零点定义函数零点的更 厂_二分法二次函数根的分内容要求层次重、难点函数的零点函数的令点B1 .理解函数零点的概念2 .掌握函数零点的性质3 .明确零点是一个“值”，而非一个点的坐标4 .会利用函数的零点探索二次方程根的分布问题二分法A了解二分法的原理1 .零点的概念：对于函数y=f(x)(xCD),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xCD)的零点.2 .函数零点的意义：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.3 .零点存在性判定定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条

2、曲线，且f(a)f(b)v0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在cC(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.4.二次函数零点的判定(1)二次函数零点的判定二次函数yax2bxc的零点个数，方程ax2bxc0的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0两个相等的实根一个一重零点0无实根无零点(2)二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号. 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.(3)二次函数的零点的应用利用二次函数的零点

3、研究函数的性质，作出函数的简图.根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.【定理1】kx1,2一b4ac0X2af(k)b2a如图所示:【定理2】x1x2kb24ac0af(k)2a如图所示:【定理3】如图所示：x1kx2af(k)0.推论1 x1推论2 x1【定理4】如图所示：0X2ac0.1x2a(abc)0.有且仅有k1x1(或x2)k2f(k1)f(k2)0【定理5】k1x1k2Pix2P2a0a0f(ki)0f(ki)0f(k2)0或f(k2)0f(Pi)0f(Pi)0f(P2)0f(P2)0,2-12-b4ac0b4ac0a0a0【定理6】k1 x1 x2

4、k2f(k1)0或f(k1)0f(k2)0f(k2)0ki2ak2ki2ak2如图所示:(1)对于在区间a,b上连续，且满足 f a gf b0的函数y f x通过不断把函数f x的零点所分法在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间a,b，验证fagfb0,给定精确度.第二步：求区间a,b的中点xi.第三步：计算fxi若fxi0,则xi就是函数的零点；)若fa.fxi0,则令bxi；若fxigfb0,则令ax.第四步：判断是否达到精确度，即若ab,则得到零点的近似值a(或b),否则重复第二

5、、三四步.但例题精讲1.函数零点的判定及求解【例1】（2010宣武一模理4）设函数f(x),则其零点所在的区间为（A.(0,1)B.(1,2)C.(23)D.(3,4)【例2】函数lgx1,一一，一、一的零点所在的区间是xA.0,1B.1,22,33,10【例3】已知函数f(x)x1,log2x,0,则函数y0,ff(x)1的零点个数是（A.4【例4】（2009石景山一模）已知函数f(x)和yg（x）在2,2的图象如下所示:给出下列四个命题:方程fgx0有且仅有6个根方程gfx0有且仅有3个根方程ffx0有且仅有5个根方程ggx0有且仅有4个根其中正确的命题是.（将所有正确的命题序号填在横线上

6、）【例5】设函数fx1xlnx(x0)-Uyfx()3A.在区间1,1,1,e内均有零点.eB.在区间1,1,1,e内军均无零点.e,1C.在区间-,1内有零点，在区间1,e内无零点.eD.在区间1,1内无零点，在区间1,e内有零点.e【例6】(2009年山东文)若函数fxaxxaa0且a1有两个零点，则实数a的取值范围是.2 .二次函数根的分布及零点问题【例1】已知关于x的方程x2(2m8)xm2160的两个实根x1和x2,满足x2刍x1，求实数m的2取值范围.【例2】若关于x的方程3x25xa0的一个根在2,0内，另一个跟在1,3内，求a的范围.a的取值范围为【例4】已知m R,函数f x

7、【例3】若关于x的方程22x2xaa10有两个不同的正实根，则实数mx21xa恒有零点，求实数a的取值范围.3 .函数图象与方程【例5】（2010?上海）（上海卷理17)%是方程ix3的解，则%属于区间（【例6】人3,1B-2C-31D.03设 X, x2, x3 依次是方程 logx 2 x, log2(x 2)2C , 2x x 2的实数根，试比较x1,x2, x3的大小【例1】试判断方程|x2 91a 2实根的个数.【例2】(2011湖南六校联考)设xi,X2是方程lnx2m(m为实常数)的两个根，则Xix2的值为()A.4B.2C.-4D.与m有关【例3】（2011浙江金华十校）已知f

8、xx22xc,f1xfx,fnxffnix（n>2,nN）若函数yfnxx不存在零点，则c的取值范围是（）1399AcB.c>C.cD.c>4444【例4】(07广东)已知a是实数，函数f x2ax2 2x 3 a ,如果函数y f x在区间1,1上有零点，求a的取值范围.【例5】已知函数fxx28x,gx6lnxm.(1)求fx在区间t,t1上的最大值htmax.(2)是否存在实数m使得yfx的图像与ygx的图像有且只有三个不同的交点若存在,求出m的范围；若不存在，说明理由.函数零点的综合应用【例1】(2010年西城二模理14)已知函数f(x)exalnx的定义域是D,关于

9、函数f(x)给出下列命题:对于任意a0,函数f(x)是D上的减函数；对于任意a,0,函数f(x)存在最小值；存在a0,使得对于任意的xD,都有f(x)0成立；存在a,0,使得函数f(x)有两个零点.其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号).【例2】(2009天津文21)设函数f x1 322-x x m 1 x x R ,其中 m 0 . 3(1)当m 1时，求曲线y f x在点1, f 1处的切线的斜率;(2)求函数f x的单调区间与极值;(3)已知函数 fx有三个互不相同的零点0 , x1 , x2 ,且xx2 .若对任意的x x1x2fxf1恒成立，求m的取值范围.【例3】(20

10、09?广东)已知二次函数ygx的导函数的图象与直线y2x平行，且ygx在x1处取得极小值m1(m0).设fxgxx.(1)若曲线yfx上的点p到点Q0,2的距离的最小值为2,求m的值;(2)kkR如何取值时，函数yfxkx存在零点，并求出零点.【例4】(湖南理22)已知函数f xf x g x的零点个数，并说明理由;5】设函数fxx32axbxa,gxx23x2,其中xR,a,b为常数，已知曲线yfx与ygx在点2,0处有相同的切线1(I) 求a，b的值，并写出切线1的方程；(II) 若方程fxgxmx有三个互不相同的实根0，x1，x2，其中x1x2，且对任意的xx1,x2，fx()g()xm

11、(x1)恒成立，求实数m的取值范围课堂总结1 .函数零点的判定判断函数yfx在某区间上是否有零点，有几个零点，常用以下方法：解方程：方程根的个数即为零点的个数定理法：利用函数零点存在性定理直接判断图像法：转化为求两个函数图像的交点个数问题进行判断2 .函数与方程思想函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而是问题获得解决.方程的思想，就是分析数学中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题.是问题获得解决.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨、达到解决问题的目的.遍.课堂检测【习题1】已知二次方程（m2）x23mx10的两个根分别属于1,0和0,2，求m的取值范围.2一一一一一.、，x2x3xW0【习题2】（2010福建）函数fxx2X3，X0,的零点的个数为（）2lnx,x0A.0B.1C.2【习题3】已知关于x的二次方程x22mx2m10.（1）若方程有两根，其中一根在区间1,0内，另一根在区间1,2内，求m的范围.（2）若方程两根均在区间0,1内，求m的范围.2【习题4】(2010广东深圳)已知函数fxx22e