晶体中电子能带理论

1、第五章晶体中电子能带理论 习题1晶体常数为a的一维晶体中，电子的波函数为3jt(。k x = i cos x ,a0(2)k xf (x la ), f 是某一函数,| =：求电子在以上状态中的波矢.解答由固体物理教程(5.14 )式屮k(F + Rn)=eF屮k(F)可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足由此得(1)于是因此得x -icosx丿 I a丿' k x a =eik x'k x a = i cos x a = i-axx5 二+，J Ja若只取布里渊区内的值:k ，则有a ajik =aooodk x a -、 f (x a la) -、 f x 一(l 一

2、 1)a.I =11'x a 八 f x-la =' k x =eika' k x .由上式知ika e =1所以有6 二k=0,a a a因此得在布里渊区内的值为k = 02. 一维周期势场为na 2 ,当 na - b 一 x _ na b0,当 n-1a b_x_ na-b.其中a =4b , W为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值. 解答如图5.1v =1a1图5.1 一维周期势场所示，由于势能具有周期性，因此只能在一个周期内求平均即可，于是得a21 2bfaV（xdx = 4bLbV（xdx-24b 刀mW22 _x2dxmW2 21 3=b2x x3

3、8b31 2 2=mW b .63.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度.解答根据教科书（5.35 ）式知禁带宽度的表示式为Eg =2Vn ,其中Vn是周期势场V x傅里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程（5.22 ）式I2 nxa dx4b1 a 2Vn= ；,2V Xe求得，第一禁带宽度为a2Eg1=2« =2 ，V(xea 2旦xa dx=2第二禁带宽度为g2=2=2=2b4b 2.2JT2X-x e a dx2b mW r. 2 b 4b 45 28mW2b2-x2cosb mW224brb21 b mW 2 b 4b 2i空xa dxdx=mW2b2=

4、 2H4.已知一维晶格中电子的能带可写成A2E k 2mai一 coska cos2ka式中a是晶格常数. m是电子的质量，求(1) 能带宽度，(2) 电子的平均速度，(3) 在带顶和带底的电子的有效质量.解答(1) 能带宽度为=E = Emax _ Emin.由极值条件dEk =0 dk得上式的唯一解是si n ka = 0的解，此式在第一布里渊区内的解为k =0, .a当k =0时，E k取极小值Emin，且有Emin = E 0=0当k =时,E k，E(k)取极大值Emax，且有 amaxE卜驾ia 丿 ma由以上可得能带宽度为(2)述二 Em axEm i由固体物理教程(5.81 )

5、1 dE kv 二 dk22亓 2 -ma式，得电子的平均速度为sin ka -丄sin2ka .4/(3)；：2e( 1 >=m coska cos2ka i2 丿2m.3由固体物理教程(5.87 )式得，带顶和带底电子的有效质量分别为1k =0=m coska cos2ka I 2 丿k =05对简立方结构晶体，其晶格常数为a.(1) 用紧束缚方法求岀对应非简并S态电子的能带；110方向有恒(2) 分别画岀第一布里渊区110方向的能带、电子的平均速度、有效质量以及沿 定电场时的加速度曲线.解答(1)非简并s态电子的能带Es k 二 E?-Cs -Js' ekRn.n式中 尺是

6、晶体参考格点最近邻格矢对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻取参考格点的坐标为(0,0,0 ),则6个最近邻点的坐标为(±3,0,0 )(0,±a,0)(0,0,±a )简单立方体非简并s态电子的能带则为Es k = E： -Cs -2Js coskxa coskya coskza .(2)在110方向上kz=0,kx=ky ，k,2能带变为Es k = E0 - 4 J s cos其中E0= Es - Cs - 2 Js,在110方向上，在第一布里渊区内，电子的能带如图5.2所示.图5.2110方向电子的能带电子的平均速度1 ；:E2、2Jsa . 2kaT&q

7、uot;si"电子的有效质量22?!.:k222Jsa cos-;，2ka2有效质量曲线如图5.4所示.JJ1J11l/I11l/I111 / 111z 111L11 .111亠1lio11ErQ j fI 口1l1 /i1l1/II11图5.4 有效质量曲线在110方向有恒定电场情况下，电子的受力电子的加速度Fh2设电场方向与110方向相反，加速度曲线则如图5.5所示.a 二一 m6. 用紧束缚方法处理面心立方体晶格的s态电子，试导岀其能带atkxakyakyakzakzakxaEs 二 Es -Cs -4Js coscoscoscoscoscos， 2 222 22 一并求岀能带

8、底的有效质量.解答(5.60 )用紧束缚方法处理晶格的 s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，根据固体物理教程 式,其能带表示式为Es k A Esat -Cs -ekn , Rn 是最近邻格矢.n对面心立方晶格，取参考点的坐标为(0,0,0),则12个最近邻格点的坐标为-).a a . a . a(-一， ,0),( ,0, -),(0,2 2 2 2 将上述12组坐标带入能带的表示式，得 Es k 占-Cs - , e*nJJJscos kx kycosa kx -2 2cos kx-kz!亠 coskyaky )+cos_(kx + kz)2+ kz)+ cos(ky +kz)atk

9、xakyakyakzakzakxa=Es Cs 4Js coscos + coscos + coscos 2222 22一一2mxxj2E22J7xxki=0能带底即E k的最小值对应的k为(0,0,0),有固体物理教程(5.87)可得在能带底处电子的有效质量 为同理可得2myy2Jsa2mzz22J?其它交叉项的倒数全为零7. 用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出(1) s态电子的能带为kxakyakza-8Js coscos cos222(2)画出第一布里渊区111方向的能带曲线(3)求岀带顶和带底电子的有效质量【解答】(1)用紧束缚方法处理晶格的 s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时E

10、s k 二 E? -Cs - Jek%. Rn 是最近邻格矢.,其能带的表示式为n对体心立方晶格，取参考格点的坐标为(0,0,0 ),则8个最近邻格点的坐标为a a a(±2 ±- ±-).2 2 2 将上述8组坐标代入能带的表示式，的 Es k =Esat -Cs - J?ek Rn| i kx 苫-kz 岭 kx ky 山 i| kx Jk* kz e2eeei )if-kx -ky *z )i_ky -Kz )eee)1一 Csi ： ky & j i |- kx -ky ： ：kz |+ e-2Js ei|kx kycos空2kzacosi2 &#

11、163;kykzacos十 e2一 4 Js丄；kxkyacos亠cos空2 2kzacos2kyakzaCOS 22k a=E? -Cs -8Jscoscos2(2)在111方向上kx = ky且第一布里渊区边界在=kz3 k3kx = ky = kz = ,a于是能带化成=E° -8Jscos3ka其中Eo二E；t -Cs.图5.6为第一布里渊区111方向的能带曲线=kz = 0时，Es取最小值，即kx二ky = kz = 0是能带底，电子的有效质量为-12A今加一磁场B , B与坐标轴的夹角的方向余弦分别为 证明电子在磁场中的回旋频率mxx：2e2Jsa2xxki =0同理可得

12、一2一2myy2 , mzz2Jsa22Jsa2其它交叉项的倒数全为零.而在布里渊区边界上的 ,0,0 ,a0,-.一 a处是能带顶，电子的有效质量为一22Jsa2mxx = myy其它交叉项的倒数也全为零8. 某晶体电子的等能面是椭球面坐标轴1，2,(1)3相互垂.求能态密度其中eBmi: 2 m21 ：,2 m3 2 I mim2m3【解答】(i) 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为+2m3Ek2丄k；2miE2m2E2222z+ _T =ic将上式与椭球公式.与椭球的体积+b比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面-二abc3比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积t

13、= -23d2mm2m3 E323 '由上式可得di = |；2mim2m3E12dE .能量区间内电子的状态数目dz=2 Vc3di= V；3、匕口肌口彳丘”址(2兀3 申是晶体体积.电子的能态密度N (E )=虫=-丫； 3 J2mim2m3 E12dE 兀n根据固体物理教程中(5.86)式得Fe Fe ”+F2 +F3 ,-ki ；- k2(2)ai码垃Fi；：2e2a；:k:kiFi；：2e2F2 -:k；：2E -.:ki:k32E+ F3ckk3/_ -FE、+ 一 - F2 +7 F3 .kk2ck3jF2,a3m2m3代入上述三式得运动方程为Fiai, a2mim业讦i

14、,m2如dtdtHE 警 *3dt(i)当存在磁场B时，电子受到洛仑兹力F = -ex B .其分量形式为Fj - -e V2 B3 - V3 B2 - -e V2 B -V3B- =' - 2- 3 -'' 3V2, F2 - -e V3 Bi - V1B3- -e V3> - V|B = - 3- j - 'iV3,F3 = -e v1 B2 -v2B1 = -ewB： -v2B_：= T 2 1 2V1式中B = B ,d = eBot,(o2 = eBP,co3 = eBf.将上述结果代入运动方程(i )得dvim3 ' 3V2,dt(2)

15、dv2 m23W -讥，dtdv3 m3iv 2vi.(3) 上述方程可用不同的方法求解.解法一：对(2)式两边作拉普拉斯变换，并采用如下初始条件Vi 0 = V10 ,V2 0 = V20, V3 0 = V30.m pL Vi L 3l V2 L -2L V3 !=mivi0,3LV1L m?pL V2 i L V3 】=rn2V20,2lViL-.ilV2 + m3pL V31= m3V30.由此解出其中miP-'32m2P-1m2 f m3 身三 Ap p2 B .A = mim2m3, B =miViom2V20m3V303m2P-i-'2'Im3P二 mim

16、mhViop3mms 2V30mm 3V20 p-mim2m3Vio, C - m2m- 2V3 3V20 i,2-m 'i Vi0m2 'i 2V20m3 i 3V30 .2L V = Ci P C2 p C31Ap P2 B上式两边取逆拉普拉斯变换得mi2Vi0m2i 2V20|3V30= Gp2C2pC3CiC3因此得C3 i . GB _ C3 p . C2i2 2AB p AB p B A p BVi企丄 + GB -C3 cos JBt + -Csin jEt.AB p ABA. B同理可得C3 1 C1B -C3C2=+cosjBt + si njBt.AB p

17、ABA. BC1 二 gm2m3v20,C2 二 mm3 3W0g ,C3 = m2 320 m3，2；-. 3v30 m 1 2v10.C2丄.ClB_C3cos._BtC2 sin、Bt.AB p ABA、BG 二 imjm2m3v30, C2 mim2r ：卜20； 2Wo 1C3 = m3' 3 v30 ' g ；："；：； 3v10 ' m2；：； 2；：；3v20 .可见电子回旋频率为,B .解法二：由于电子作周期运动，将试探解v2 = v2°e5= v3°e wV3（这里v10,v20,v30 般为复数，电子的真实速度应为V1

18、, V2,V3的实部或虚部）代入（2）式得 cmlV10 + “T2V30 - '3V20 =0，'3V10 + cm2V20 -'1V30 =°，2V10 -1V20 + 'cm3V30 =0.v10, V20,v30有不全为零的解的充要条件是-3i cm3由此得于是这样,-0.22m/ 2m3 3'0.2 2 22 _ g 1 m2 2m33cB .m1 m2m3两种方法均给岀电子回旋频率为m1m2m3再将h=eB：,匕=eB：, 3=eB ,代入上式即得eB-cm其中2 12mim2m3=m9求岀一维、二维金属中自由的能态密度解答1) 一

19、维情况自由电子的色散关系为2k2E =2m由此得dE=dk=匚m i m1 2E12dk,1 2EJ2dE.dZ =Ld31亠勢idEdk=黑对应同一个dE，在_k方向各有一个dk，因此空间中E与E - dE之间的区间为E J2dE,在该范围内的状态数为其中L是晶格长度.于是，态密度兀1 2E 二2(2 )二维情况参照固体物理教程(5.102)式可知，二维情况下态密度的一般表示式为2兀2屮kE E的等能线进行.由N(E)= SdL+ k：）其中s是晶格的面积，积分沿能量为E k； 2mJE = (kxm于是有dL处：毎.2 m二a = 2A,b = 4A，原子为单价的10. 二维金属晶格，晶胞

20、为简单矩形，晶格常数(1) 试画岀第一、二布里渊区；(2) 计算自由电子费密半径；(3) 画出费密面在第一、二布里渊区的形状【解答】1)倒格子原胞基矢-2兀-b1i ,b2选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有4个,它们是二 4,二 t>2这4个倒格矢的中垂线围成的区间即是第一布里渊区.即图5.7中I所示区间.原点的次近邻倒格矢有 4个,它们是二 d 二 b2这4个倒格矢的中垂线围成的区间与第一布里渊区边界围成的区间即是第二布里渊区.即图5.7中H所示区2k2E,能量Er E dE区2m间./2A1V k；1 017/f图5.7二维矩形晶格第一、二布里渊区(2) 在绝对零度时，二维金属

21、中导电电子若看成自由电子 ，电子的能量间的电子占据波矢空间 dk的范围.在此范围内的波矢数目为7 二二二/图5.8二维波矢空间S（2 二）22-kdk ,S其中2是二维金属中导电电子的波矢密度 ,S是金属面积(2 二)由 E *2k2. 2m 得mdE kdk .厂.能量E E dE区间的量子态数目则为dz=2S2（2二）2 二mdEmS：.dE .能态密度N E =夹=dEnS-2mS匚。LEf.在绝对零度时，费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有eFmS e0N° n EdE = o dE由上式可得eF其中n是金属中导电电子的密度。令eF2m可得二维金属中导电电子的费米半径为k

22、F对于原胞面积为s=2 4 10,0m2的单价金属,n =1.25 10f，kF = 8.862 1 09mJ(3) 图5.9划岀了费米面在第一、第二布里渊区的形状。km是原点到第一布里渊11. 计算体心和面心一价金属的 kF .'km比值.其中kF是自由电子的费米半径, 区边界的最小距离.【解答】体心立方格子的倒格基矢可取-2兀厂 -b j ka-2 r - i ka因为倒格子是面心立方结构，所以离原点最近的有12个倒格点，它们是-b3 士 b -b2二 b|二 b2- b32 二 2 二 j k, a ab2-b3 - bi2 二2k i .aa由这12个倒格矢的中垂线围成的区间就

23、是第一布里渊区.因此，原点到第一布里渊区边界的最小距离等于这12个倒格矢中任一个倒格矢模的一半.所以km兀2a由固体物理教程（6.4）式可知，自由电子的费米半径2 13 kF =（3n 让）,式中n为单位体积中的电子数对单价金属体心立方格子,2n 3，a13=2二费米半径kF 二 2 二于是可得kF_km0.877.二，2面心立方格子的倒格矢可取为2 二bi-i j k ,b3b2i j -k . a因为倒格子是体心立方结构，所以离原点最近的有8个倒格点，它们是士E，士b2,士b3,士b p 弋）原点到第一布里渊区边界的最小距离等于这8个倒格矢中任一个倒格矢模的一半.所以兀3km .对单价金属

24、面心立方格子，有4n 3a将上式代入自由电子的费米半径kF =（3n兀2得到kF =2二于是可得a12. 对于六角密积结构，六角形的两对边的间距为a,基矢-a忑- aV3 - 厂aiiaj, a?i aj, a = ck,2 2 2 2试画岀此晶格的第一布里渊区.【解答】六角密积结构原胞的体积-3a ca3-六角密积结构的倒格矢b22 二 a：a3_ 2.Q a2 二i 3a2- a3 a12二.2 二評 3aJ，11c 在包括和的平面内选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是一»4- bib2.这6个倒格矢的中垂面围成的区间构成的正六边形属于第一布里渊区若考虑整个三维空

25、间，原点的最近邻倒格矢有8个，它们是-, -b2，- bi b2 ,亠由这8个倒格矢的中垂面围成的区间就是第一布里渊区，它是一个正六棱柱图5.11第一布里渊区13. 平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求（1）正格矢和倒格矢；（2 ）画出第一和第二布里渊区内切圆半径.解答（1）正格原胞的基矢如图所示取为-a.3 .a1 = ai i aj .2 2其中和是互相垂直的单位矢量 取单位矢量k垂直于和j，则a1,a2和k构成的体积丄2. 2兀（a2汉k ） 2兀-2兀-b -i J,0av3au 2兀（k汉aj ）4兀b-J.。V3a（2）选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是.正六

26、边形外士bi,士b2,士b 也）这6个倒格矢的中垂线围成的区间构成了两部分，以原点为对称心的正六边形是第一布里渊区图5.13第一和第二布里渊区，第一布里渊区内切圆14. 已知某简立方晶体的晶格常数为 a，其价电子的能带E = Acos kxa cos kya cos kzaB.已测得带顶电子的有效质量m(1)2 2，试求参数A;2a2（2）（3）【解求岀能带宽度； 求岀布里渊区中心点附近电子的状态密度.答】假定A大于0 对于能带为E = Acos kxa cos kya cos kzaB.简单立方晶体中的电子，其能带顶在布里渊区中心-1(1).在布里渊区中心，电子的有效质量为一2I g2E2

27、.-Aa由此可知A = 2.（2）电子能带E =2cos kxa cos kya cos kzaB.的能带底在（51 JI 兀、十一于一十一 |I J J a a a处.由带顶和带底的能量知能带宽度为4.（3）在布里渊区中心附近，k > 0,E 二 2 cos kxa cos kya cos kzaB.=2 1-=2 1(kxa f(kya2(kza f22 2=2 B -a k令E、B 2 - E,则上式化成E" = a2k2.E'和能量 E-dE两等能面间的波失空间体积为可见在布里渊区中心附近，等能面是球面.因此，能量4 二 k2dk.Vc2 二 3相应的量子态数目

28、dz2Vc34k2dk¥3B 2-E12dE.(2江32兀 2a3能态密度N E =N E 纽 B 2 E、2二 2a3二、假定A小于0（1） 对于能带为E = Acos kxa cos kya cos kza i亠 B.简单立方晶体中的电子，其能带顶在第一布里渊区8个角顶处(Tt JI JI )I a a a 丿 在这些点，电子的有效质量为Aa2'；2e2l冰丿ki®由此可知A=-2(2)电子在能带顶的能量E =2 + B在布里渊区中心的能带底的能量E = 2 + B可见能带宽度为4.(3) 在布里渊区中心附近，k. 0,(kxa f 丨 _ x(kxa)2一 g

29、a j* 1 _ * 1 _-2 cos kxa cos kya cos kza i亠 B. r-2 1-2|1(kxa f(kyaf(kza )222 2-2 B a k令E丄E 2 - B,则上式化成2| 2.因此，能量E'和能量 E - dE两等能面间波失空间体积为24* dk.E = a k .可见在布里渊区中心附近，等能面是球面Vc相应的量子态数目2Vc2Vc .12 *dz3 4二k dkE 2 - B dE .(2兀)2兀a能态密度N(E )=-佢十2 B.2兀k15. 设晶格常数为a，原子数为n的单价一维简单晶格中，第 n格点上电子的几率振幅 Cn满足方程i c = A

30、Cn - BCn J BCn 1,n和n +1格点上的几率振幅，求其中A、B是常数，CnJ、Cn和Cn 1 ,为电子在第n-1,(1) 电子的能量与波失的关系；(2) 带顶空穴及带底电子的有效质量;(3) 求A= 0时电子的能态密度；(4) 求T= 0时的费米能EF .【解答】(1)设电子在第n个格点上的几率振幅分别为则电子在第(n 1)和(n +1)个格点上的几率振幅分别为tk n 1 a Et丿Cn 1 二 C0ei将以上三式代入方程得到i C = ACn - BCn J - BCn 1,电子的能量则为(2)E = A - 2Bcoska.k =0是电子的能带底，在能带底电子的有效质量j2

31、E2 '2Ba2k二一是电子的能带顶，在能带顶电子的有效质量 a'2一22Ba2带顶空穴的有效质量则为(3)2石.相应的量子态数目d2-2dk 二2Na 1dEdE2Na二 2Bas in kadkdE尊,4B2 _ A_ EdE.由此得到A = 0时的能态密度4B2 -E2.采用A = 0时(4) 晶体内有N个导电电子，在绝对零度时，这些电子都分布在费密能级及以下的能态密度，得二：N(E)dEeF利用积分公式得到"Cx2dx 二 sin 1 xdn兀I1L,sineF辽丿2B'eF= 2B.16.设有一维晶体,原胞基矢 a = ai ,b = bj,且，b

32、= . 3a，晶格的周期势为 d、f 2兀2兀、V(x, y)=2V° cosx+cosy k ab丿(1)(2)(3)画出第一、第二布里渊区；以近自由电子模型求 E kx,0的第一能带与E0,ky的第二能带交迭的条件;，求引起电子强烈散射的晶列指数 .若电子的波矢k JI JIla ' b 丿解答(1)(2)由已知条件可得岀倒格子原胞基矢-2兀-2兀-b1i ,b2j.ab坐标原点的格点有4个最近邻，它们是b1,b2, -b,.它们的中垂线围成的区间就是第一布里渊区.坐标原点的格点有4个次近邻，它们是bi b2,b1 -S,-bi，b2,-b1-b2.它们的中垂线和第一布里

33、渊区边界 围成的区间即是第二布里渊区.图5.15示岀了第一布里渊区和第二布里渊区的分布.h2'L :EagA2m其中EgA是kx方向第一能带与第二能带间的能隙EO,ky的第二能带底的能量为gB2m其中EgB是ky方向第一能带与第二能带间的能隙.E ()的第二能带与E ()的第一能带交迭的条件是2 二2 一22-即交迭的条件是3ma EgAEgB .求电子的能隙必须应用平面波方法的中心方程当电子所处的点是两个或两个以上布里渊区边界交汇的点求解.当电子所处的点不是布里渊区边界交汇的点，求电子的能隙(即是此种情况)可直接采用以下方法(也是由中心方程求得的)：EgA=2V(KAp其中是与过点的

34、第一布里渊区边界垂直的倒格矢，且该边界是的中垂面.由于满足该条件的倒格矢所以求岀可求得而-2兀-Ka F i,a即求是而是周期势场付里叶级数的系数.由2兀2兀V(x,y)=2V0 cos x+cosy , b丿占i Ej r a - e b二"VoV Ka2 二xaa e一Vo,EgA =2VoEgB =2V Kb ,与KA相类同- - 2Kb 弋=j，b所以求出V KB即求得EgB，而V KB是周期势场付里叶级数的系数.由周期势场付里叶级数的展式得V Kb =-V°,EgB =2V°于是，E 0, ky的第二能带与E kx,0的第一能带交迭的条件是兀2舟22 -

35、 2V0.3ma(3)若电子的波矢k末端落在了布里渊区边界上，则 k满足Kn=0.设 Kn = pinNnsTF 亠iTT 亠qj将Kn和k = i 一 j 一并代入上式，得到a b2=0, q q 0,b 22兀P-Pa2由上式可得的上式说明，过p 7 ;qaKn三个解_ 2:.i , Kn2 an _ n _=0,Kn1b j%2 二 2 二.i ja bk = i j末端有三个布里渊区边界，它们分别与Kn1, Kn2,Kn3垂直.这一点从第一a b布里渊区的分布图即可看岀.引起电子产生强烈散射的晶面(列)与布里渊区边平行，即与Kn1, Kn2, Kn3垂直.设与 Kn1,Kn2,Kn3垂

36、直的的晶列为 sa1 ta2，由 Kn1R=0,Kn2 R = 0禾口 Kn3 R = 0得出 引电子产生强烈散射的晶列的指数分别为 010、 100和1刁0.17.假定波函数-：k Xi；=eikxu x中u X因子不显含波矢k，以N个原子构成的一维原子为例，证 明万尼尔函数具有定域性.解答由固体物理教程(5.50 )式可知，一维晶格的万尼尔函数为%(na, x)=-2； eJkna(k,x .Y N k按照布洛赫定理，晶体中电子的波函数屮a(k,x )=eikxUa(k,x )上式中调制因子u ：. k, x .是晶格的周期函数.将波函数代入万尼尔函数得Wjna,x)=送 eik(x&qu

37、ot;a U/kx )若调制因子u 一. k, x .不显含波矢k,则上式化为W/na,x )=-Uo(x 瓦 eikka)V Nk上式中解法一:令万尼尔函数化成k=丄丟卜貝N ia 丿 2I.! 2W/na,x)=ujx 近 e忙k z讥待/弓H_naNN丄 u：. X ' e N hN j上' e N上式最后求和是一等比级数前N项的和，所以W. na,x =h丄h 41一 x _naTN%xe2i sin xnaa.、.西xa )由上式可知，当=、Nu：x rr-1 e l x 厂 n a, n = n 时W-. na,n a = 0当x > na时，利用y. 0,e

38、y ： 1 y，得到万尼尔函数最大值W- na,na =： Nu x .可见万尼尔函数具有定域性.'解法二：由于原子数N是一个很大的数目，波矢 的取值可看成准连续的，所以万尼尔函数W-. na,x =1t - ik x -nau X、ek的求和项可化成积分，即W：. na,x =i x-na a=-Nu x 4 - a2 -ix -naax-naTtsin x - na an'一 x - naa由上式可知，当W-. na, n a =0 ；当x na时，得到万尼尔函数峰值W_ na, na 二 Nu. x .可见万尼尔函数具有定域性.18. 一维晶格，周期势为V x - A、x

39、-na ,n =1其中、；x _na为：.函数.孤立原子中s态电子的波函数曾(x na) JeW求晶格中s态电子的能带解答从已知条件看，周期势场仅仅在格点处有很大的负值，稍稍偏离格点，周期势场的值就趋于0.根据周期势场的这一特点可以断定，晶格中的电子被束缚在格点附近的几率远远大于它在偏离格点处的几率，也就是 说，本题是典型的紧束缚模型.用紧束缚方法处理晶格的态电子，当只计及最近邻格点的相互用时，由固体物理教程(5.60 )式，其能带表示式为Es k 二 E? -Cs -Jsv ekRn , Rn 是最近邻格矢，n其中积分Cs是将参考格点取为原点一 曾匕比仪)-Vat(x)b：t(xdx.如果取

40、参考格点为 x = na，则有- NCsNaT"(x -n"a：|-送 A6(xna A x-na :：S x-na dx：t x - n a dx.=Jn®：5(x na|-迟 A6(X na)3- n学1r根据、；函数的性质可知，上式积分 Cs =0 .而积分Js =-申:匕 一 na%-£ A6(x-na)+A6(x-n"a-a)盯匕 一 n"a-a)dxLNaI_ N-n z!_ N= _La 申:匕一n"aZ A6(x_ na)申:匕 _n "a_a)dx.Nan严)一=adx = aAe 曲e；a|LA

41、、. x_na /a假设x轴是水平方向，在上式积分中只取了参考格点右边的最近邻格点，取左边的最近邻格点也有同样的 结果.由参考点左右两个最近邻，又得' ek Rn =eika e =2coska.n于是s态电子的能带E k 二 Esat 2A： e-acoska.19.证明迪阿哈斯一范阿耳芬效应的周期为B S其中s是kz =0的平面在费密球上所截出的面积.解答 由热力学可知，当磁感应强度 B增加dB时，磁场H所作的功dU =VcHdB,c即系统内能的微分(1)其中Vc是晶体体积.由电磁学可知，磁感应强度、磁场和磁化率的关系是由(1), (2)两式可得其中是真空中的磁导率1/ B作振荡的

42、反映.我们知道，当不存在磁场时, 场的作用使电子的量子态高度简并,则电子系统的能量对上式求微商.:u因为所以(7)可见,(2)VVcB1U0 cB.由上式可以看岀，磁化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能的微商(3)能态在波矢空间分布是均匀的，当由磁场存在时能，能态重新分布，磁 此时电子的状态密度为Vc 屉 c f2m f2 苛兀!n(4)lN E八n =0a，g卜(5)Efl ef aEdEU = EN EdE 八 0, aEdE120n =°E bnl=S 二aEF bn2a(bnY233n =0l(6)+ Z <2abn Ef bn12 2a(bn f2ln =0'

43、2 Sa ”32 3,1=匕：2匠底弋 -3血"ln =0式中有一项为每当2 |"宀日f +I oB-2 * bn 323abn 仁主IL：B2汨bnl-zn =oibn汨n 1 -eB.2 m(8)2ab:bn 汨i Ef -m Ef(9)时，' ：B将成为极大值，磁化率将变成极小值.设B二Bj时（* 1 WeB匚n + I= Ef<2丿m对应磁化率的一个极小值，相邻的一个极小值对应(10)B = Bi i 时（A 1 VeBin 1 +_ i'、2 .丿 m其中我们假设 Bi d大于Bi.由以上两式可得=Ef(11)（lB 丿Bi BimEF上式的

44、厶1 是一个固定的常量，这说明，每当两个 丄的间距（周期）等于这一常量时，磁化率IB 丿BmEp曲线就多一个极小.也就是说，磁化率以磁场倒数丄作振荡.B因为kz2kFEf 2m=0的平面在费密球上截得的圆面积2S= .kp,费密能所以有a '1 '2ne20.从 E 一 尸. IB丿尽二E0到E = Ef能带都为2E洛3ky+mxmy其中都是大于零的常数.求电子的能态密度.N（ .3Vcn.2（Ef - E°）mz+ +2mx E - E。 2my E _ E。 2mz E - E。二 1.222将上式与椭球公式2 20 . y_2 a2+ 2 =1 b2 c2比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积4 二abc3比较可得知，能量为 E的等能面围成的椭球体积其中n为单位体积内的电子数.【解答】由已知条件可将波矢空间内电子能带