四万亿投资与劳动就业

1、4万亿投资与劳动力就业摘要问题一，在中国统计年鉴可以查得GDP增长率和就业增长率的增长数据，如表格（1），由于外界各种情况都相同时，GDP增长率和就业增长率之间可以简单地认为存在某种关系，根据经济学原理，一般来说增长率与就业增长率成正比，故我们先求出每年的增长率与就业增长率的比例，然后再利用灰色预测模型来预测年的比例，从而求出当增长率为时相应的就业增长率，再算出就业人数。问题二：传统的柯布道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（C.W.Cobb） 和经济学家保罗·道格拉斯（PaulH.Douglas） 共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数， 它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中

2、都具有重要的地位， 其一般形式可以表示为：在这个问题当中,主要考虑投资与GDP增长的关系，不妨假设劳动力和综合技术水平，随机干扰系数作为一个常系数，即忽略这三者对GDP产值的影响，故可设其公式为： 两边取对数，得到令 则上式可以转化为已知08年的GDP生产总值为300670亿元，当GDP增长率为8%时，09年的GDP生产总值则为亿元。根据线性拟合，得到相应的系数，分别为0.8158,3.6354，将代入式子里面得到相应的，比08年的GDP生产总值还要少，说明想要让09年的GDP增长8%，40000亿投资还不够。问题三：我们引入三大产业的单位投资创造岗位数、平均工资和人均GDP 产出作为三大产业

3、的权重，建立目标函数，再利用最优化思想，寻找他们的限制条件，通过线性规划求得最优分配。为了选取比较稳定的数据，因此我们选取了近几年来的单位创造岗位数，人均GDP，平均工资等数据进行统计以及线性拟合从而预测年它们相应的大小。问题四：根据前三个问题进行总结GDP增长率，就业增长率，GDP总额之间的关系以及查阅相关资料，从而给出合理的比较有建设性的意见。关键词：四万亿投资 灰色预测模型 柯布道格拉斯生产函数 权重 目标函数 线性拟合 最优化思想 线性规划 一.问题重述2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估

4、计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来压力巨大。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。第一，GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充

5、分就业，2009年的GDP到底要增长多少？第二，要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？第三，不同的产业（或行业）吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业（或行业）里？第四，请你给出相关的政策与建议。二、问题分析问题一：根据经济的特点，由于GDP增长率和就业率的增长存在着某种关系，而这种关系是模糊的，不确定的。根据所学知识，灰色预测法是一种含有不确定因素的系统进行预测的方法。它是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。根据

6、从中国统计年鉴之中所得的数据，可以运用灰色预测模型来解答问题一。问题二：传统的柯布道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（C.W.Cobb） 和经济学家保罗·道格拉斯（PaulH.Douglas） 共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数， 它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位， 其一般形式可以表示为：在这个问题当中,主要考虑投资与GDP增长的关系，不妨假设劳动力和综合技术水平，随机干扰系数作为一个常系数，即忽略这三者对GDP产值的影响，故可设其公式为： 两边取对数，得到令 则上式可以转化为根据线性拟合，得到相应的系数，将已知数据代入式子算出相应的，从而算出四万亿投

7、资是否足够。问题三：对国家来说，将重点考虑某一产业的产出对GDP 贡献的大小；而对劳动者来说，更关心的是某一项产业的平均工资，同时人均GDP也是决定一个产业对GDP贡献大小的因素之一，所以引入三大产业的单位投资创造岗位数、平均工资和人均GDP 产出作为三大产业的权重，再利用最优化思想，通过线性规划，寻找他们的限制条件求得最优分配。由前2003-2007 年的数据引入三大产业的单位投资创造岗位数、平均工资和人均GDP 产出数据分别通过对近几年来的三大产业单位投资创造岗位数，人均GDP，以及平均工资这些数据进行拟合，预测出09年的三大产业单位投资创造岗位数和三大产业的人均，利用这些数据作为目标函数

8、的系数，接着根据近几年的三大产业的财政投资比重以及投资总额为万亿，作为他们的约束条件，运用线性规划的方法，从而对四万亿的投资进行分配，实现劳动力就业最优化。问题四：可以根据前三个问题所建立的模型进行总结GDP增长率，就业增长率，GDP总额之间的关系，从而给出合理的建议。三、.模型假设1、假设在问题一之中，就业增长率主要受GDP增长率的影响。2、假设在问题二之中，资本投入全部为国家资金支出，影响GDP增长率的因素只有政府的投资和每年的GDP总额。3、假设充分就业包括上一年的失业人口和当年的应届毕业生在当年全部就业，同时上一年的就业人口都不发生失业现象。4、假设在问题三之中，万亿元全都投入到三大产

9、业之中。5、劳动力就业最大化的度量是由投资数与单位投资创造岗位数，人均GDP，以及平均工资的乘积和的最大值四、符号系统：为GDP生产总值为投资总额是资本产出的弹性系数，是常系数为三大产业，分别为1,2,3为某个GDP产值总额为某个产业的投资数目为某产业的工资收入五、模型求解问题一：灰色预测模型第一、模型的提出：所谓预测就是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法和先进的手段，对其未来的发展和状况进行扫描和分析，并形成科学的假设和判断，对于一个将来出现的、现在没有诞生的未来系统，必然是既有已知信息，又有未知的或者是不完全确定的欣喜并且处于连续变化的动态之中。预测本质上来说就是灰色问题

10、，基于灰色动态GM（n,h）模型的预测就称为灰色预测。在灰色预测之中的GM（n,h）是微分方程的时间连续模型，其中n表示微分方程的阶数，h表示变量的个数。灰色预测所需数据量较少，计算简单，步骤不繁琐，可借助数学软件计算，而且灰色预测不需要太多关联因素，可用于短期的预测。根据经济的特点，由于GDP增长率和就业率的增长存在着某种关系，而这种关系是模糊的，不确定的。根据所学知识，灰色预测法是一种含有不确定因素的系统进行预测的方法。它是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。根据从中国统计年鉴之中所得的数据，为了使GDP增长率和就业增长率

11、之间的关系能够转换为时间的关系，我们可以假设在等同的条件时，GDP比率与就业岗位增加比率成线性正比关系。因此，可以对2009年GDP为8%增长率时就业岗位增长率的值进行预测，此数值即为问题一所求的增加岗位数第二、GM(1,1) 灰色预测模型求解：1设有原始数列，共有 个观察值：,，这里2一般经济数列都是非负数列，累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。对作1-AGO，得到新的数列，其元素 （1）3对于数列，建立预测模型的白化形式微分方程GM（1，1） （2）（2）式中， ，为待估参数，为发展灰数， 为内生控制灰数。设 为待估参数向量， 按最小二乘法求解。 （3） （4

12、）4求解GM（1，1），得到 （5）5根据累减生成公式计算 灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测的数据是通过生成数据的 GM(1,1) 模型所得到的预测值的逆处理结果。 （6）6模型检验灰色预测模型检验有残差检验，关联度检验和后验检验。如果按原始数列建立的GM(1,1)模型检验不合格，可以用GM(1,1)残差模型进行修正。根据中国统计年鉴可以得到19912008年GDP增长率和就业增长率。根据经济学原理，一般来说增长率与就业增长率成正比，故我们先求出每年的增长率与就业增长率的比例，然后再利用灰色预测模型来预测年的比例，从而求出当增长率为时相应的就业增长率。数据如下表（

13、1）表（1）GDP增长率和就业增长率比数表年份GDP增长率就业增长率GDP增长率/就业增长率19919.20%1.15%8199214.20%1.01%14199314.00%0.99%14199413.10%0.97%14199510.90%0.90%12199610.00%1.30%819979.30%1.26%719987.80%1.17%719997.60%1.07%720008.40%0.97%920018.30%1.30%620029.10%0.98%9200310.00%0.94%11200410.10%1.03%10200510.40%0.83%13200611.10%0.76

14、%15200713.00%0.77%1720089.00%0.64%14将数据用matlab画出来得出离散的图像，再画出灰色预测模型处理后的数据，可见他们呈正比关系，如图（1）所示。图（1）灰色模型预测关系图根据灰色预测模型得到预测值为12.5814则年的就业增长率年的增长率预测值由08年的就业人口数为77480万，则可以求得09年的就业人口数为万人就业。由2008年的失业人口2000万人和2009年的高校毕业生人数611万人，并且在2008年共有77046万人的就业岗位，得出若要实现充分就业，则2009年必须要提供2611万个就业岗位，当要实现充分就业时，就业增长率需要增长的是：，再根据灰色

15、预测模型的结果可算出年相对应的增长率为： 问题二：第一、模型的提出： 用数学模型来描述投入与产出的关系，可以采用柯布道格拉斯生产函数模型。柯布道格拉斯生产函数是产值、劳动力与投资的函数关系式。它是根据本区域内历年工业固定资产产值、劳动生产产值，建立本区域的柯布道格拉斯生产函数。在问题二当中,我们主要考虑投资与GDP增长的关系，不妨假设劳动力和综合技术水平，随机干扰系数作为一个常系数，即忽略劳动力和综合技术水平，随机干扰系数这三者对GDP产值的影响。从而运用柯布道格拉斯生产函数模型来求解问题二。第二、模型的求解：传统的柯布道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（C.W.Cobb） 和经济学家保罗&

16、#183;道格拉斯（PaulH.Douglas） 共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数， 它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位， 其一般形式可以表示为：式中是工业总产值，是综合技术水平，是投入的劳动力数（单位是万人或人）, 是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）, 是资本产出的弹性系数, 是劳动力产出的弹性系数，表示随机干扰的影响，。在这个问题当中,主要考虑投资与GDP增长的关系，不妨假设劳动力和综合技术水平，随机干扰系数作为一个常系数，即忽略这三者对GDP产值的影响。故可设其

17、公式为： 两边取对数，得到这里为GDP生产总值，为投资总额，是资本产出的弹性系数，是常系数令 则上式可以转化为这里的是常系数。则GDP总量的计算公式为相应地，需要的投资总额为 （*）已知08年的GDP生产总值为300670亿元，当GDP增长率为8%时，09年的GDP生产总值则为 亿元根据线性拟合，得到相应的系数，分别为0.8158,3.6354，将代入式子里面得到相应的，比08年的GDP生产总值还要少，说明40000亿投资还不够。运用回归分析得到以下数据b = 3.6354 0.8158bint = 2.8450 4.4258 0.7326 0.8990stats = 0.9668 436.9

18、108 0.0000 0.0173由stats的第一个值显示回归方程的置信度超过70%，第三值很小，即回归模型成立。将相应的数据代入（*）计算得出投资总额为544560亿元，所以40000亿元是远远不够的。问题三：模型：设某产业单位投资创造岗位数为：为三大产业的投资数目，故有（亿）设为某个GDP产值总额故目标函数为（i=1,2,3）对09年的和，通过拟合的方法进行预测，得到图5,图6,图7的图像所示图5第一产业人均GDP图图6第一产业单位投资创造岗位数图图7第二产业平均工资图得到以下数据：三大产业的单位投资创造岗位数： 三大产业的人均： 三大产业的平均工资 根据查阅近几年的投资比重，上下取一个

19、范围使得 其中 为投资比重取的范围的上下限第一产业 ：第二产业 ：第三产业： 运用MATLAB7.0.1，进行线性规划，解得x = 1.0e+004 * 0.1200 1.00002.8000feval = -1.0325e+009得出当投资第一产业为1200亿，第二产业为10000亿，第三产业28000亿时，实现的劳动最优化问题四、根据我们前面所作出来的模型，再结合我国当前的经济发展状况，我们给出了以下几点建议：第一、调整就业结构，大力发展第三产业，发掘第三产业的就业潜力。2008年金融危机爆发之后，造成大量人员失业，但是第三产业能够有效地解决就业问题。从目前的角度看，在第三产业中有一定需求

20、的主要是社区服务业、房地产业、卫生保健业、商业餐饮服务业、金融保险业等，其中社区服务业需求量巨大，是我国目前寻求就业出路。应当指出，随着我国人口老龄化和消费成熟化的到来，对于社会服务事业将产生巨大的需求，这为就业岗位的开拓提供了极好的机遇。因此，我国应该不断提升产业结构的调整，大力发展第三产业，发掘出第三产业的就业潜力是解决就业问题的关键。第二、政府应该加大对经济的投入力度，保持国民经济的持续稳定发展。经济发展是解决就业问题的根本，应当指出，经济发展具有速度、质量两个方面。首先，必须保持一定的经济发展速度，才能有效地进行就业机会的创造。因此，保持一个较大的经济建设规模，不仅对于刺激就业机会是有

21、益的，而且对于容纳本地区的劳动力供给也是必须的。同时，还应当保证国民经济发展的质量。只有经济规模符合发展质量要求的时候，才可能减小国民经济波动幅度，推动国民经济稳步发展，使经济波动对劳动者的损害最小。第三、加大西部经济建设，减少东、西部之间经济上的差距。我国东、西部的经济差距十分大，加快西部经济建设可以缩减东、西部经济上的差距，同时从今社会的发展，增加就业岗位，缓解当前我国的就业压力。第四、加快农村的建设，健全社会保障制度，减轻就业压力。加快农村的建设，使得更多的农民在当地就业，这样可以减少城市之中农民工的数量，从而减轻就业压力。这样可以增加农民的收入，提高农民的生活水平，同时也在一定程度上缓

22、解了当前的就业压力。第五、加大力度发展新型劳动密集型产业，缓解就业压力。发展劳动密集型产业是促进农村就业和农民增收的重要途径，促进农村就业的重要途径能够吸纳更多的劳动力。大力发展劳动密集型产业对解决就业，增加农民收入，拉动农村有效需求，将会发挥重要作用。六、模型的优缺评价与改进方向：根据经济的特点，由于GDP增长率和就业率的增长存在着某种关系，而这种关系是模糊的，不确定的。根据所学知识，灰色预测法是一种含有不确定因素的系统进行预测的方法。它是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。运用灰色预测模型，比较适合计算问题一。在问题二中我

23、们还利用了柯布道格拉斯函数，运用了回归方程求解，这个模型所得出的数据还是比较符合实际的，而且总额和资本投出量两者之间的关系还是很清晰的，做出的结果拥有比较高的可信度。不过，增长率和就业增长率的关系比较模糊，柯布道格拉斯生产函数中把技术水平作为固定常数,难以反映出因技术进步而给产出带来的影响，得出的结论具有一定的局限性。在问题三中利用规划的思想达到一个优化问题的目的，整个过程简单但是又不缺乏合理性，不过在拟合时会出现一些误差，从而导致最后的结果会造成一些误差。就对近几年中国的经济发展的情况的了解以及对相关数据的分析，我们发现GDP和就业以及投资的关系并不是那么清晰，是模糊的，所以仅仅用上述的模型

24、去分析解决问题有点不合理，而且造成结果有比较明显的误差，因此，我们在接下来的改进中考虑用比较完善的预测模型，根据已有的研究结论得出更为精准的结果。这些问题和模型现在仅仅针对中国整个大的市场，我们可以推广到中国各地区或者其他国家地区的GDP和就业以及投资的数学模型，以及其他方面与GDP关系的模型。七、参考文献1中华人民共和国国家统计局，2胡良剑 孙晓君 数学实验，北京：高等教育出版社，2006年6月 3CNKI中国知网 4姜启源 谢金星 叶俊 数学模型， 第四版，北京：高等教育出版社，2011年1月八、附录程序一、利用MATlAB7.01 % 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。%

25、 应用的数学模型是 GM(1,1)。% 原始数据的处理方法是一次累加法。y=input('请输入数据 ');n=length(y);yy=ones(n,1);yy(1)=y(1);for i=2:nyy(i)=yy(i-1)+y(i);endB=ones(n-1,2);for i=1:(n-1) B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1)/2; B(i,2)=1;endBT=B'for j=1:n-1 YN(j)=y(j+1);endYN=YN'A=inv(BT*B)*BT*YN;a=A(1);u=A(2);t=u/a;t_test=input('请输

26、入需要预测个数：');i=1:t_test+n;yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t;yys(1)=y(1);for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1);endx=1:n;xs=2:n+t_test;yn=ys(2:n+t_test);plot(x,y,'r',xs,yn,'*-b');det=0;for i=2:n det=det+abs(yn(i)-y(i);enddet=det/(n-1);disp('百分绝对误差为：',num2str(det),'%'

27、;);disp('预测值为： ',num2str(ys(n+1:n+t_test);程序二、用MATLAB7.0.1计算GDP总量与资本投资量的关系的回归方程的程序：y=log(D(:,1);x=log(D(:,2);p=polyfit(x,y,1)g2=40000;Value=exp(polyval(p,log(g2)X=ones(17,1),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,bint,stats324720*exp(-0.8158+3.6354)p = 0.8158 3.6354Value = 2.1532e+005b = 3.635

28、4 0.8158bint = 2.8450 4.4258 0.7326 0.8990stats = 0.9668 436.9108 0.0000 0.0173ans = 5.4456e+006程序三、应用MATLAB7.0.1计算劳动分配最优化的线性规划的程序：x=2003:2007;y=22.11826,18.65394,14.61916,11.84063,9.238715;%plot()p,s=polyfit(x,y,1)xi=x;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,'ro',xi,yi,'k');xlabel('年份')yl

29、abel('单位投资创造岗位数')title('第一产业单位投资创造岗位数')Posa=polyval(p,2009)x=2003:2007;y=0.752968,0.588716,0.465642,0.396563,0.33733;%plot()p,s=polyfit(x,y,1)xi=x;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,'ro',xi,yi,'k');xlabel('年份')ylabel('单位投资创造岗位数')title('第二产业单位投资创造岗位数')Po

30、sb=polyval(p,2009)x=2003:2007;y=0.66975199,0.57749402,0.49925199,0.41882504,0.34242325;p,s=polyfit(x,y,1)xi=x;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,'ro',xi,yi,'k');xlabel('年份')ylabel('单位投资创造岗位数')title('第三产业单位投资创造岗位数')Posc=polyval(p,2009)x=2003:2007;y=4.75612,6.071262,6.59

31、9941,7.383066,8.934932;%plot()p=polyfit(x,y,1)xi=x;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,'ro',xi,yi,'k');xlabel('年份')ylabel('人均GDP')title('第一产业人均')Proa=polyval(p,2009)x=2003:2007;y=38.8358,43.67867,48.31043,53.66034,58.84013;%plot()p=polyfit(x,y,1)xi=x;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,'ro',xi,yi,'k');xlabel('年份')ylabel('人均GDP')title('第二产业人均')Prob=polyval(p,2009)x=2003:2007;y=25.