固体习题之一模板

1、固体物理学习题1 .求sc晶格中沿耳汨2声3,臼，3,3,以及面对角线，体对角线方向，和ai+-a2_1a3方向的晶列指数。2 32 .设两原子间的相互作用能可表示为aPur=rr其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；a、区n和m均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足nm。3 .原子质量为m,原子间距为a的一维单原子链，设原子间力常数为0,在最近邻近似和最近邻近似下(1)写出晶格振动的运动方程；(2)求出格波色散关系并画出示意图;(3)分析并确定波矢的独立取值范围;(4)分析并确定波矢的具体分立取值。4 .*设晶体的总相互作用能可表示为其中，AB、m和n均为大于零

2、的常数，r为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求：(1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r0和晶体的相互作用能U;设晶体的体积可表为V=N/，其中N为晶体的原子总数，为体积因子。若平衡时晶体的体积为V。，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K为mn|U09V。5 .画出sc的(100),(110),(111),(121),(231)晶面。6 .证明晶面指数的两个定义等价。7 .证明，对于立方晶系，晶向hkl月晶面(hkl)正交。8 .证明：1)、正基矢与倒基矢的关系ai *bj = 2二 j2冗=02)、正格矢与倒格矢的关系Ri h =2-m(m为整数)3)、两种点阵原胞间的关系（2二）3194)、正格

3、子与倒格子互为对方的倒格子(倒格子的倒格子是正格子)5）、倒格矢捻=hib+h2b2+h3b3与正格子晶面族（h1h2%）正交.）中的硅原子数；如果a,求正格子空间9 .说明半导体硅单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞（Conventionalunitcell晶格常数为a,求正格子空间原胞（Primitivecell）的体积和第一布里渊区的体积。10 .说明氯化钠单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞中包含的原子数；如果晶格常数为原胞（Primitivecell）的体积和第一布里渊区的体积。11 .求NCl晶体中一个原胞的平均相互作用势能。12 .求一维NkCl晶体的马德隆常

4、数。13 .求NkCl晶体的马德隆常数，仅计算至次次近邻。14 .用H原子的波函数（R,l,Yl,m）表示出Px,Py,Pz轨道波函数；写出金刚石中C原子的四个sp3杂化轨道波函数。15.问题：证明（2.4 -5）可以等价地写成如下形式:（2） uj =rj2 -2广，（约化单位:能/ &长度/ro）16 .写出Lennard-Jones势。17 .计算一位单原子晶格中格波速度（相速度）Vp,证明在长波极限（qT0）,晶格中传播的格波就象在连续介质中传播一样。18 .计算布里渊区边界处格波的群速度，并对结果进行讨论。19 .一维双原子晶格，对长声学波（g0,6-T0）,证明：1） 与之aqJ=

5、q=q工=qv,它与连续介质的色散关系（w=kv）一致,这是令支被称为声学一m+Mm+MM2a波的原因。T 1 表明，在长波限，两种原子振幅相同;又相邻原子的位相aq 0,故长波限声学波与连续机械波类似。这是支被称为声学波的又一原因。20 .一维双原子晶格，对长光学波（q-*0）,证明:2：mMm MCons.说明这结果的物理意义。21 .求三维晶格的波矢空间q点的分布密度。22 .证明声子无真实物理动量。23.一维单原子晶格中两个声子。和42发生碰撞后形成第三个声子q3，求43的大小：1)2二q1=q2;2)qi=q2=二-.6a3a24.(2013-11-27改造)二维正方格子，原胞基矢a

6、1=ai+aj,a2=aj,求：1)倒基矢b1,b2;2)写出倒易空间中任意倒格点的位置矢量Kh的表达式；3)画出第一布里渊区；4)写出倒易空间中声子波矢q的表达式；5)画出倒易空间中声子波矢J(点)的分布示意图6)设两个声子&,q2相撞后变成q3,求q3:q=0.遥0.23,q2=0.130.22(2)&=0.式0.2&,q2=0.3日0.6&.二维正方格子，原胞基矢31=at+dj,a2=aj,求：L =0.3b1 +0.6b2o1、1=0.1540.2b2,q2=0.1b10.2b20.2b,2、q1=0.34解：(1) 由正基矢与倒基矢的关系ai*bj=2技j可得:22二bi=a(2)

7、 倒易空间中任意倒格点的位置矢量可表示为2222?Gm二mibim2bl二(m-m2)rm2?a(3) 如图:图中阴影部分为第一布里渊区(4)(a):当q1=0.15b1+0.2。，q2=0.lb+02b2时，q1+q2=0.25言+0,4b2=竺(0.15i?+0.4於位于第一布里渊区内，所以，aq3=q1q2=0.2540.4b2-(-0.15?0.4?)a(b)：当I=0.3b+0.2b2,2=0.3b+0年时,4+42=0域+0.8,=红(-0.2i?+0.8?)位于第一布里渊区外，所以，aA=小+42+G/=0.6b+0.8db-b2=-0.4b-0.2b22n2;q22q2；n=-

8、0.4?-0.2一(-i?竹=0.2i?-0.2?aaaa25 .求一个振动模的平均声子占有数。26 .对于=cq2,求振动模式密度g(0)：(a)三维情况；(b)二维情况；(c)一维情况。27 .什么是固体热容量的爱因斯坦模型，什么是固体热容量的德拜模型？28.利用晶格振动的量子理论，导出爱因思坦模型的定容热容Cv的表示式，并进一步证明：(1)丁日时，Cv过渡到杜隆柏替定律。(2)丁熊时，此模型不正确。29.利用晶格振动的量子理论，导出德拜模型的定容热容Cv的表示式，并进一步证明(1)TeD时，cv过渡到杜隆一柏替定律。(2)TeD时，此模型严格正确。30 .求一维单原子链的振动模式密度gE

9、）。31 .求德拜模型的振动模式密度g（o）32 .计算一定模式（振动模）下原子的振幅与该模式中声子占有数的关系，并对结果进行讨论，说明T=0时也有振动。33 .一边长为L的单价原子立方体金属块，由N个原子组成，将价电子视为自由电子。（1）求自由电子气的能级密度的表达式。（2）求T=0K时，电子气的费米能EF0的表达式及电子的平均动能。34 .使用自由电子气模型证明绝对0K下k空间费米球的半径为kF=（3兀2n）.，n为电子密度。35 .设有二价金属原子构成的晶体，试证明自由电子费米球与第一布里渊区边界相交（提示：倒格子空间离原点与最近的倒格子间连线的垂直平分面围成的区域位第一布里渊区，也称简

10、约布里渊区）解：（1）T=0时低于费米能Ef0的能及全部被电子占据，而电子是费米子，每个状态只允许一个电子占据0_0f(E)=Ef)1(EfdN-C4o9kBTEdE=-NE0（N为自由电子总数）3每个电子具有的能量为3kBT2327（k_T）2N个可发生跃迁的电子总能量e=N3kBT=27N（kBT）28E0CvtT4EF，金属中一个自由电子的比热CvCVN227k；TE036-1.（2015力口）证明对金属自由电子气的热容量有贡献的电子数约为总自由电子数目的1%。36-2.（2015加）根据金属热电子发射的电流密度的查孙-杜师曼公式：j=AT2e-W/kBT,证明两块金属I和II的接触电势

11、V=Vi-Vi=（W-W）/e36-3.（2015力口）一个电子具有的固有磁矩叫什么，用什么符号表示。电子气磁化率的经典理论叫什么（哪位科学家的贡献），与温度是什么关系？对吗？电子气磁化率的量子理论叫什么（哪位科学家的贡献），与温度是什么关系？对吗？37.（20分）六角晶体的原胞基矢是c = ck。,31b=-aij22(2015-6-29说明：以上有误，应该为a1=Y3a：aj,a2=22ai 十 gaj , a3,相应地以下求解也要改。求其倒格矢。1ai 2j)(一 1 一ai j) ck2=(1ai 2j)(1 acj ci )2解：原胞体积1=a.(bc)3二一ac2由倒格子基矢的定义

12、a*(b c)1.3ac2aij)ck2313ac 2(acjci)2(i、3aj)b*(c a)ck(虫ai1j)223ac 2 21.、acj-ci)22二:(-i3aj)3ac*(ab).31/31aij)(-aij)2222ac24二/.33=(akak)3ac442-,=kc,3aj) k 2(-i .3aj) l、3a，倒格矢Gh=hh十kb2+lb3(h,k,l为整数)2二(h-k)i2二(hk)jlk3ac38.证明布洛赫定理39. 一电子在如图所示的周期势场V(x) =V(x+na )中运动，这里， v(x) = - Vo00Mx 二 coc =0和：k|V|k=：k|V|k

13、=：k|(V-V)|k=：k|V|k=Hkk=VmVm是周期场V(x)的傅立叶展开式中第m个参数.(3)式有解的条件是一0一*(4)(Ek-E)Vmn0=0Vm(Ek-E)解之得，1E+=；(Ek0+Ek0)土(E；-E0，)2+4Vm2、一25) .对At 0 ,表示k (或k)很接近m的情况，此时有E； - E0， Vm a(Ek0-E0)展开(5)式到一级得,100.E=_(E：+E：，土2Vm2iI(6)_0.k2.2m二，._、2Ek=V-=V1：-vTm(1)2m2ma一02Ek：=VTm(1-=)m二这里Tm表示k=的自由电子态的电子动能：aTm产=1-吧)22m2ma可得，V+

14、Tm+Vm+A2Tm(2Tm+1)E=2Tm口VTm-Vm-TmT)Vm6)A=0时，E=V+TmVm|.(8)原来能量都等于V+Tm的两个状态，k=空和k=-空，由于它们的相互作用很强，变成两个能量不同的状态E+和E_,aa其间的能量差称为“禁带宽度”m二，m二八 广, m禁田发生在波矢 k= 和k =处，即k= aaam2 二Gm =的付里叶分量 Vm的绝对值的两倍. a(n=1,2,3)处，禁带宽度等于周期性势能的展开式中，波矢为Eg=2Vm(9)第一能带宽度用=E_V=V+T1-V1-V=T1-V1,第二带隙Eg=2V240.利用紧束缚方法求简单立方晶格中，1)自由原子S态膨成的能带函

15、数E(k),计算E()，E(X),E(R),并求带宽。(10分)2)画出第一布里渊区中的能带图E(kx)(10分)一、r、4一一rr、，z7TJT71、*3）求电子在田顶和田底及状态k=（，土，土一）的有效质量m,m,mzz（10）2a2a2ayy解:公式因为?（）球对称，偶宇称，所以中s（r尸出r）,所以J1（Rn,Rm）=J10（对6个最近邻格点的交叠积分相同）取Rn=0则SC的6个最近邻坐标Rm为a,0,0,0,a,0,0,0,a-a,0,0,0,-a,0,0,0,-a所以E K =勺- Jo - Ji“ expLiK.amj mJ m3ks - J0 -2J1 cosakx cosaky cosakz（5分）点,K =（0,0,0 ）;E；0,0,0-s-Jo-6JiX点,71J,0_X一_E_,0,0=s-J0-2JR点:匚RttnnI,IE_,_,_&S-J0+6J1aaaJ由于J1A0,-1C0S6M1,所以E和ER分别是带I的带底（能量）和带顶（能量），带宽为:ER-E=12J1。（5分）E(kJ(10分)由E(K)=%-J。