离散时间系统状态稳定性与判别法_第1页
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1、5.4离散时间系统状态稳定性及判别法1.离散时间系统的平衡状态(点)设x(k1)Ax(k),x(0)x0,k0,1,2,L,(5.17)称AXe0的Xe为(5.17)的平衡状态(点).当A奇异时,有无数个平衡状态.2 .平衡状态(点)的稳定性稳定：0,0,使当|x.X时,有l|x(k)xell,k0；(2)渐近稳定：0,使当反Xe|时,有kim|x(k)Xell0；(3)全局渐近稳定：任意X0Rn,都有lim|x(k)x|0；一k、j,(4)不稳定：00,无论多小正数,总有ki0,使对定常系统,渐近稳定全局一致渐近稳定.3.稳定性判别对定常系统x(k1)Ax(k)假设xe0稳定(渐近稳定),那

2、么其它xe也稳定(渐近稳定);假设xe0渐近稳定,那么xe必为一致全局渐近稳定；简单介绍xe0稳定性条件设(5.17)的解那么渐近稳定lim|x(k)0|lim卜*|0函0),kklimAk0limTJkT10limJk0kkkA的所有特征值的模全小于1A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内其中J为A的假设当形.J1如Jk且再如A的所有特征值的模全小于1A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内例设A有互不相同特征值1,2,L,n,那么T,使由此可得kimAk0.JrJrk定理5.12系统为(5.17)的稳定性判定如下：(i) Xe0稳定A所有特征值的模全小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约

3、当块是一阶的；(ii)Xe0渐近稳定A的所有特征值模全小于1.对一般非线性系统x(k1)F(x(k),k0,1,2,L(5.18)在Xe0(设F(0)0)的稳定性判定方法有定理5.13对(5.18),假设x(k)的标量函数V(x(k),满足(i) V(x(k)为正定；(ii)V(x(k)V(x(k1)V(x(k)负定；(iii)当|x(k)|时,有V(x(k).那么xe0全局渐近稳定的.假设无(iii),那么xe0是渐近稳定的；再假设(ii)中V(x(k)为半负定,那么xe0仅是稳定的.定理用于定常系统(5.17),即得定理5.14线性定常离散(5.17)的xe0为渐近稳定对Q0,李雅普诺夫方程有唯一正定解P.证只证充分性,即已有对Q0,ATPAPQ有唯一解P令V(xJxTPXk,那么有XT(ATPAP)XkxTQXk,显见V(Xk)为负定,故Xe0渐近稳定.例5.6设试分析稳定的条件.解选Q=I,那么有ATPAPI,即整理且比拟,得0,要P为正定,需满足|a|1,|b|1,(5.19)解出11Pii-2

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