2017-2018学年人教A版数学选修2-1课时提升作业（二十二） 3.1.3 空间向量的数量积运算 探究导学课型 Word版含答案

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)空间向量的数量积运算(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2015·绵阳高二检测)设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则(a·b)c-(c·a)b=0；|a|-|b|<|a-b|；(b·a)c-(c·a)b不与c垂直；(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是()a.b.c.d.【解析】选d.根据数量积的定义及性质可知：错误

2、，正确.【补偿训练】在正方体abcd-a1b1c1d1中，有下列命题：(aa1+ad+ab)2=3ab2；a1c·(a1b1-a1a)=0；ad1与a1b的夹角为60°.其中正确命题的个数是()a.1个b.2个c.3个d.0个【解析】选b.根据数量积的定义知：正确，ad1与a1b的夹角为120°，所以不正确.2.已知|a|=1，|b|=2，且a-b与a垂直，则a与b的夹角为()a.60°b.30°c.135°d.45°【解析】选d.因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0，所以a·a-a·b=

3、|a|2-|a|·|b|·cos<a，b>=1-1×2×cos<a，b>=0，所以cos<a，b>=22.因为0°<a，b>180°，所以<a，b>=45°.3.已知pa平面abc，垂足为a，abc=120°，pa=ab=bc=6，则pc等于()a.62b.6c.12d.144【解析】选c.因为pa平面abc，所以paab，pabc，因为pc=pa+ab+bc，所以pc2=pa2+ab2+bc2+2ab·bc=36+36+36+2×36

4、cos 60°=144.所以|pc|=12.二、填空题(每小题4分，共8分)4.设|m|=1，|n|=2，2m+n与m-3n垂直，a=4m-n，b=7m+2n，则<a，b>=_.【解析】因为(2m+n)(m-3n)，所以(2m+n)·(m-3n)=0，化简得m·n=-2.又因为|a|=16+4+16=6，|b|=a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m·n=18，所以cos<a，b>=186×3=1，<a，b>=0°.答案：0°【补偿训练】已知

5、a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则<a，b>=_.【解析】(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0，(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，解得，|b|2=2a·b=|a|2，所以cos<a，b>=12，所以<a，b>=60°.答案：60°5.已知正方体abcd-abcd的棱长为1，设ab=a，ad=b，aa'=c，则cos<ac'，db'>=_.【解析】ac'·db

6、'=(a+b+c)·(a-b+c)=a2+c2+2a·c-b2=1，|ac'|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=3，所以|ac'|=3，|db'|2=(a-b+c)2=a2+b2+c2-2a·b+2a·c-2b·c=3，所以|db'|=3，所以cos<ac'，db'>=ac'·db'|ac'|db'|=13.答案：13三、解答题6.(10分)如图所示，在正方体abcd-a

7、1b1c1d1中，e为d1c1的中点，试求a1c1与de所成角的余弦值.【解题指南】在正方体ac1中，要求a1c1与de所成角的余弦值，可以考虑利用公式cos<a1c1，de>=a1c1·de|a1c1|de|进行求解.【解析】设正方体的棱长为1，ab=a，ad=b，aa1=c，则|a|=|b|=|c|=1，a·b=b·c=c·a=0.因为a1c1=ac=ab+ad=a+b，de=dd1+d1e=dd1+12d1c1=c+12a，所以a1c1·de=(a+b)·=a·c+b·c+12a2+12a

8、3;b=12a2=12.又因为|a1c1|=2，|de|=12+122=52，所以cos<a1c1，de>=a1c1·de|a1c1|de|=122×52=1010，所以a1c1与de所成角的余弦值为1010.【拓展延伸】利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法(1)根据已知条件在异面直线上取两个向量.(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题.(3)利用数量积公式求向量夹角的余弦值.(4)异面直线所成角的余弦值等于向量的夹角余弦值的绝对值，利用数量积求夹角的余弦值.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.在棱长为a的正方体abcd-a1b1

9、c1d1中，向量ba1与向量ac所成的角为()a.60°b.150°c.90°d.120°【解析】选d.由条件知，|ba1|=2a，|ac|=2a，ba1·ac=(aa1-ab)·(ab+ad)=aa1·ab-|ab|2+aa1·ad-ab·ad=-|ab|2=-a2，所以cos<ba1，ac>=ba1·ac|ba1|ac|=-a22a·2a=-12.所以向量ba1与ac所成的角为120°.2.设a，b，c，d是空间不共面的四点，且满足ab·ac=0，a

10、c·ad=0，ab·ad=0，则bcd是()a.钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.不确定【解题指南】要判断三角形的形状应对三个角都进行判断.【解析】选b.bd=ad-ab，bc=ac-ab，bd·bc=(ad-ab)·(ac-ab)=ad·ac-ad·ab-ab·ac+|ab|2=|ab|2>0，所以coscbd=cos<bc，bd>=bc·bd|bc|·|bd|>0，所以cbd为锐角，同理，bcd与bdc均为锐角，所以bcd为锐角三角形.二、填空题(每小题5分，共10分)

11、3.(2015·湛江高二检测)已知|a|=32，|b|=4，a与b的夹角为135°，m=a+b，n=a+b，若mn，则=_.【解析】m·n=(a+b)·(a+b)=|a|2+a·b+a·b+|b|2=18+×32×4×cos135°+32×4×cos 135°+×16=6-12+16=6+4，因为mn，所以6+4=0，所以=-32.答案：-324.已知|oa|=5，|ob|=2，<oa，ob>=60°，oc=2oa+ob，od=oa-

12、2ob，则以oc，od为邻边的平行四边形oced的对角线oe的长为_.【解析】因为oe=oc+od，所以oe2=(oc+od)2=(2oa+ob+oa-2ob)2=(3oa-ob)2=9oa2+ob2-6oa·ob=9×25+4-6×5×2×cos 60°=199.所以oe=199.答案：199【补偿训练】(2015·德州高二检测)已知|a|=13，|b|=19，|a+b|=24，则|a-b|等于()a.22b.48c.28d.32【解析】选a.因为|a+b|2=a2+b2+2a·b，|a-b|2=a2+b2-2a

13、·b，所以|a-b|2=2(a2+b2)-|a+b|2=2×(132+192)-242=484，所以|a-b|=22.三、解答题5.(10分)(2015·济宁高二检测)直三棱柱abc-abc中，ac=bc=aa，acb=90°，d，e分别为ab，bb的中点.(1)求证：cead.(2)求异面直线ce与ac所成角的余弦值.【解析】(1)设ca=a，cb=b，cc'=c，根据题意，|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0，所以ce=b+12c，a'd=-c+12b-12a.所以ce·a'd=-12c2+12b2=0.所以cea'd，即cead.(2)ac'=-a+c，所以|ac'|=2|a|，又|ce|=52|a|，ac'·ce=(-a+c)·=12c2=12|a|2，所以cos<ac'，ce>=1010.即异面直线ce与ac所成角的余弦值为1010.【拓展延伸】利用空间向量数量积解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的平行、垂直、距离、夹角的求解都可以借助