二面角习题及答案

1、1.如图三棱锥P-ABC中，PC，平面ABCPC=为2的正二角形，求一面角P-ABC的大小。,D是BC的中点，且ADC是边长，3p/k/解2.如图在二棱锥S-ABC中，于DE,又SA=AB,BS=BC,解：SAL底向ABCAB±BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC求以BD为棱，BDE与BDE面的二面角的度数。Sz3.如图：ABC皿矩形，AB=8,BC=4,AC一点，POL面ABCDPO=4,M是PC的中点，求一面:BBD相交于O点，P是平囿ABCD角M-BD-C大小。解：4.如图ABC<BCD所在平面垂直，且角A-BD-C的余弦值。解：D/</Lc/可沙一ABAB=

2、BC=BD/ABC=/DBC=1200求二面D5.已知正方体AC',MN分别是BB',DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCDCC'D'DDCABNMDCABDAEDCFBAD=4AOCBDCABDBC=30°,AB=AC9.如图所示，四棱锥PABC曲底面是边长为a的菱形，/A=60°PCL平面ABCDPC=a,E是PA的中点.求证平面BDEL平面ABCD.(2)求点E到平面PBC勺距离.(3)求二角AEB-D的平面角大小.解析：6.如图AC,面BCDBD±面ACD若AC=CD=1,ZABC=30°7.三

3、棱锥A-BCD中，/BAC=/BCD=90°所成的角。10.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别在棱ABBC上，G在对角11线BD1上，且AE=4,BF=2,D1G：GB=1：2,求平面EFG与底面ABC所成的二面角的大小.11.如图，设ABC-A1B1C1是直三棱柱,E、F分别为ARA1B1的中点，且AB=2AA1=2a,AC=BC=3a.(1)求证：AF±A1C(2)求二面角C-AF-B的大小12.如图ABCDA1B1C1D1是长方体，AB：?AA1所成二面角的大小.ADAB1C与ABCD1,求二平面13.在正方体ABCDA1B1C1D1中K

4、BB11rrMCC1,且4BB1CM3-CC14.求：平面AKMWABC所成角的大小.5M4BCi14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角CADC.(1)若二面角CADC是直二面角，求CC的长;(2)求AC与平面CCD所成的角;(3)若二面角CADC的平面角为120°,求二面角ACCD的平面角的正切P/ CDE =/ SAC =60°参考答案解：由已知条件，D是BC的中点CD=BD=2ADC正三角形AD=CD=BD=2D是ABC之外心又在BC上ABC是以/BAC为直角的三角形，ABXAC,又PC上面ABCPALAB（三垂线定理）/PAC即为二面

5、角P-AB-C之平面角，易求/PAC=30°2、解：:BS=BC,又DE垂直平分SCBE±SC,SCL面BDEBD±SC,又SAL面ABCSA±BD,BDL面SACBDIDEL,且BD±DC则/EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a,贝UBC=SB=72a且AC=<3易证ASACADEC2CDBC8CEBD,54 RN 5tan MRNMN , 5RN 25MRNarctan24.解：过A作AECB的延长线于E,连结面ABCL面BCDAE，面BCDE点即为点A在面BCD内的射影EBD为4ABD在面BCDrt的射影设 AB =a贝U AE

6、 =DE =ABsin60.3a26AD=cosABD2sinZABD=15ABD2_J54.15a81BE-a21.3BDE1a-a2-32一a8cosSBDESABD5.解：设边长为a,易证ANC'N是菱形且MN=J2a,A'C=J3a1SDAMC'N=MN-AC'2由于AMC'N面ABCD±的射影即为正方形ABCDs口ABCD=a22acos1*.：62a2,6arccos3取CC'的中点M',连结DM'则平行四边形DM'C'N是四边形 AMC'N在CC'D'D上的射影,S

7、DM'C'M1 2-a2cos 21 2- a2,6 2 a22 arccos一 66.解：作 DF, AB于F, C已AB于E, AC =CD =1/ ABC =30°AB =2在 Rt ABC中,CE AC里AB1.3同理 DFAD BDABBF,BD2 DF2AE.AC2 CE23EFCD2CE2DF2EF22EFDFcoscos3即所求角的大小为arccos。37、解：由已知条件/BAC=90°,AB=AC,设BC的中点设为O,则OA=OC=<'3BC=2,3013DCBCtan3023一23AD2AO2OC2CD22AOCDcos解之

8、得：1cos一21509、解析：（1）设O是AC,BD的交点，连结EO.ABC皿菱形，O是AGBD的中点，.E是PA的中点，EO/PC,又PC1平面ABCD.EOL平面ABCDEO平面BDE.平面BDEL平面ABCD.（2）EO/PCPC平面PBC.EO/平面PBC于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作O。BC于F,EO±¥面ABCDEO/PC,PC平面PBC，平面PBCL平面ABCD于是OF1平面PBCOF的长等于O到平面PBC的距离.aa、3、3,、3由条件可知，OB=2,OF=2x2=4a,则点E到平面PBC的距离为4a.过O作OGLEB于G,连接AG

9、-OELAC,BDLAC.Ad平面BDE.AG±EB（三垂线定理）./AGO二面角AEB-D的平面角11型OEOB,31.OE=2pc=2a,OB=2a.EB=a.OG=EB=4a又AO=2a.AO2、.3231.tan/AGO=OG=3ZAGO=arctan3.评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法,三垂线定理及逆定理的应用.10、设G在底面ABCDh的射影为H,HCBD,GHGB2.4=证=&TV作HMLEF于M连GM由三垂线定理知GMLEF,则/GM母。就是平面BFG底面ABC所GH成的二面角的平面角，tan0=HM下面求HM削1.

10、建立如图所示的直角坐标系，据题设可知2)x-4114,即4x-6y-1=0.由点到直线的距离公式可得11|HM|=#62=6,326,134.134.13.tg0=3-11=11,0=arctg11说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.11、分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识解(1)AOBC,E为AB中点，CE±AB又ABe-A1B1C1为直棱柱，CE1面AA1BB连结EF,由于AB=2AA1 .AA1FE为正方形 .AFLA1E从而AF±A1C(2)设AF与A1E交于O,连结CQ由于AF±A1E,知AFX面CEA1 /COEW为二面角C-

11、AFB的平面角 .AB=2AA1=2a,AC=BC=®a.：2a立a.CE=a,OE=2a,.tan/COE=2=2.，二面角C-AFB的大小是arctan2.12、解析：:平面ABCD/平面ABCR,.平面AB1c与平面ABQQ1的交线为过点B1且平行于AC的直线.直线l就是二平面AB1C与ABiGd所成二面角的棱.又AA,平面AB1GD1,过A作AHU于H,连结ah则AHA1为二面角A1A的平面角.可tanAHA1求得52.因此所求角的大小为arctan亘冗arctan包2或214、解析：_2CC a2AD DC , ad± DC1"DCDCa(1)若CDC90,AC