数列求和的基本方法

1、数列求和的根本方法数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的根底,在高考中占有重要的地位.近年来高考中的 数列题难度有降低的趋势,主要以考查等差数列和等比数列为主,解做题那么主要考查求数列通项与求和为卜面,具体谈谈数主,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大局部数列的求和都需要一定的技巧.列求和的根本方法和技巧、公式法求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法1、等差数列求和公式:Sn=na_2=na1 nd2、等比数列求和公式:(q =1)Sn = a1(1 -qn) _ a -anq (q = 1)1 -q 1 -q例110g 5 x =,求 x + x2 +x3 + +

2、 xn +,一的前 n 项和.log 2 5分析,先由等式求出 x的值,再利用等比数列的求和公式进行求和.解：由 10g 5 x =-1log 2 5一 10g5X = -log 5 2 一由等比数列求和公式得Sn = x x2利用常用公式1 -x11 -2例 2设 Sn= 1+2+3+-+n , nC N*,求f(n)=Sn(n 32)51解：由等差数列求和公式得1 1 ,Sn = -n(n + 1),Sn =_ (n +1)(n + 2)2 2利用常用公式法一 f(n) =Sn(n 32)&.1n2 34n 64J：)2 50 501 =64n 34( nn“81当 Jn=,即 n

3、=8 时,f(n)max=一.850法二,f(n) =Sn(n 32)Sn 12n 34n 64<c, 64 一n 34 n64502. n 34 n当且仅当n =64,即n=8时,nf (n)max =50、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列an - bn的前n项和,其中 an 、 bn分别是等差数列和等比数列.例 3求和:Sn =1 + 3父2 +5父22 + 7M23 + +(2n -1)2n 解：由题可知,(2n 1)2n的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列2n,的通项之积式两边都乘以2得2Sn =.1父2 +3父22 +

4、5 父23 +(2n1) 2n ,(错位)得 (1 -2)Sn =1 +2(2+22 +23 + +2n)(2n -1) *2n(相减)2(1-2 )再利用等比数列的求和公式得：-1Sn =1 2 2(1)1 -2-(2n -1) . 2nSn =3 (2n -3) .2n小 246例4求数列,2 2 2前n项的和.2解：由题可知,的通项是等差数列2n的通项与等比数列1,一 的通项之积2n设Sn=22.A A . .空.22232n2Sn一得2223241 22(1-)Sn - -72 221二2 - 7 2n 2Sn = 4 - 2n -2n 1222 2nr" ' &qu

5、ot;r ' "i * * *(错位)232n2n1242n 2nl三、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终到达求和的目的.通项分解(裂项)如:1ann(n 1)an(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1(3) an(-n(n k) k n (n k)(4) an15假设 an为等差数列,且公差为d, an ¥0,那么bn = -)例5求数列12 ' 2.3' ' n % n 1 '解：设anan间d an an的前n项和.: n

6、 1 .；n裂项那么Sn1.2.2.3裂项求和=(、.2 - .1) - (、3 - .2)二-(.n - 1=n 1 -1例6在数列an中,an十一2-十,又bn1,求数列b n的刖n项的和.解:bn= 4(1 - nan裂项数列b n的前n项和1111111； (丁 ：")裂项求和4n四、倒序相加法求和,再把它与原这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列倒序 数列相加,就可以得到 n个a1 +an.2'2'2'2'2例 7求sin 1 +sin 2 +sin 3 + + sin 88 +sin 89 的值2'2

7、'2'2'2斛：设 S = sin 1 sin 2 sin 3- sin 88 sin 89将式右边反序得22222倒序S=sin 89 +sin 88 + + sin3 +s i n 2 +sin122又由于 sinx=cos(90 x),sin x cos x=1+得2"22"222 一 2s =(sin 1 +cos 1 )+(sin 2 +cos 2)+ (sin 89 +cos 89 ) = 89S= 44.5五、分组法求和相加比或有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,假设将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可1_1_1_例 8求数列的刖 n 项和：1+1,+4,二+ 7,fj + 3n-2 ,一 a aa111斛：设 Sn = 1 14 2 7：；：；一ny 3n -2a aa111Sn =(12-1；) (1 4 7 3n-2)a a a当 a=1 时,sn = n + (3n 一1)/3n +1)n221 -当 a01 时,Sn =a- +(3n-1)n1-12a1 -na-a(3n-1)na -12以上五种数列求和的根本方法