完整版直线与圆知识点总结

1、直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：1 定义：在平面直角坐标系中,对于一条与 X轴相交的直线l , 如果把X轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为,那么 就叫 做直线的倾斜角.当直线l与x轴重合或平行时,规定倾斜角为0； 2倾斜角的范围 0, <5如1直线xcos J3y 2 0的倾斜角的范围是 答：0,U,；266过点P J3,1,Q0,m的直线的倾斜角的范围一,4,那么m值的范围是3 3答：m2 或 m 42、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k,即k = tan 丰90° ;倾斜角为90°

2、的直线没有斜率；2斜率公式：经过.,y1 y2两点Px1,y、P2x2,y2的直线的斜率为 k -一x X2 ； 3直线的方向向量X1 x2 ra 1,k,直线的万向向量与直线的斜率有何美系4应用：证实三点共线：kAB kBC.如1两条直线铅率相等是这两条直线平行的 条件答：既不充分也不必要；2实数x,y满足3x 2y 5 0 1 x 3,那么乂的最大值、最小值分别为 答: x2一,133、直线的方程 ：1点斜式：直线过点x0,y0斜率为k,那么直线方程为x,它不包括垂直于坐标轴x2xy y0 kx x0,它不包括垂直于x轴的直线.2斜截式：直线在y轴上的截距为b 和斜率k ,那么直线方程为y

3、 kx b ,它不包括垂直于 x轴的直线.3两点式：直线经过Px1,y、F2x2, y2两点,那么直线方程为 匕y y1的直线.4截距式：直线在x轴和y轴上的截距为a,b,那么直线方程为-1,它a b不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.5 一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0A,B不同时为0的形式.如1经过点2, 1且方向向量为v= 1,J3 的直线的点斜式方程是 答：y 1J3 x 2 ； 2 直线m 2x 2m 1y 3m 4 0 ,不管 m 怎样变化恒过点 答：1, 2 ； 3 假设曲线y a|x |与y x aa 0有两个公共点,那么a的取值范围是 答：a 1 提醒:1直线

4、方程的各种形式都有局限性如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢；2直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 1或直线过原点. 如过点A1,4,且纵横截距的绝对值相等的直线共有条答：34.设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距b,常设其方程为y kx b ； 2知直线横截距x°,常设其方程为x my x°它不适用于斜率为 0的直线；3知直线过 点x0,y°,当斜率k存在时,常设其方程为 y kx x° y°,当斜

5、率k不存在时,那么其 方程为x x.；4与直线l : Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By C 0 ； 5 与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0.提醒:求直线方程的根本思想和方法是恰中选择方程的形式,利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离-.lAxoByoC(1) 点P(x°,y°)到直线Ax By C0的距离d1;C1C2.A2 B2(2) 两平行线l1：Ax By C1 0,l2 : Ax By C2 0间的距离为d6、直线l：A,x B1y C1 0与直线l2: A2x B2y C2 0的位置关系(1

6、)平行AB20 (斜率)且B1C2B2C10 (在y轴上截距)；(2)相交AB20；(3)重合AB20 且 B1C2B2C10.提醒：(1)ABLC1A,邑、A,、B1-1仅是两直线平行、相交、重A2B2C2AB2A2B2C2合的充分不必要条件！为什么(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；(3)直线li：A1x Biy Ci 0 与直线 l2：A2xB?yC20 垂直 A1A2B0.如(1 )设直线 l1:x my 6 0 和 l2:(m 2)x3y2m0,当m =时 l1 / l2 ；当 m =时ll板；当 m

7、 时ll与2相交； 当 m = 时ll与2重合(答： 1； 1; m 3且m1; 3)； (2)直线l的方程为3x 4y 12 0 ,那么与l平行,且2过点(一1, 3)的直线方程是 (答：3x 4y 9 0 )； (3)两条直线ax y 4 0 与x y 2 0相交于第一象限,那么实数 a的取值范围是 (答：1 a 2)； (4)设 a,b,c分别是 ABC 中Z A、Z B、Z C所对边的边长,那么直线 sin Agx ay c 0与 bx sin Bgy sin C 0的位置关系是 (答：垂直)；(5)点1(x1, y1)是直线 l : f (x, y) 0 上一点,P2(x2, y2)

8、是直线 l 外一点,那么方程 f (x, y) f (x1, y1) f(x2, y2)= 0所表示的直线与l的关系是 (答：平行)；(6)直线l过点(1 , 0),且被两平行直 线3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为 9,那么直线l的方程是 (答：4x 3y 4 0 和 x 1)7、到角和夹角公式：(1) l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角,0, 且tan = 一(k1k21); (2) l1与l2的夹角是指不大于直1 k1k2 ko k ,角的角,(0,且tan = I 2 k1 (k1k21).提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量

9、知识求解.如点M是直线2x y 4 0与x轴的交点,把直线l绕点M逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是 (答：3x y 6 0)8、对称(中央对称和轴对称)问题一一代入法：如(1)点M (a,b)与点N关于x轴对称,点P与点N关于y轴对称,点Q与点P关于直线x y 0对称,那么点Q的坐标 为 (答：(b,a) )； (2)直线l1与l2的夹角平分线为 y x,假设l的方程为 ax by c 0(ab 0),那么 l2 的方程是 (答：bx ay c 0)； (3)点A(4, 5 )关于直线l的对称点为B ( 2,7),那么l的方程是 (答：y=3x + 3 )； (4) 一束光线通

10、过点A (3,5),经直线l :3x 4y+4=0反射.如果反射光线通过点B ( 2 , 15),那么反射光线所在直线的方程是 (答：18x + y 51 0 ); (5) ABC 顶点A(3, 1 ), AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0, Z B的平分线所在的方程为x 4y+10=0,求BC边所在的直线方程(答：2x 9y 65 0 );(6)直线2x y 一4=0上有一点P,它与两定点A (4, 1 )、B (3,4)的距离之差最大,那么P的坐标是 (答：(5,6)； (7) A x轴,B l : y x , C (2, 1), VABC周长的最小值为 (答：J10).

11、提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.9、简单的线性规划：(1) 二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成 y kx b 或y kx b的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直线l,有等号时用实线表示包含直线l ;设点P(x1, y1) , Q(x2,y2),假设 Ax1 By1 C 与 Ax2 By2 C 同号,贝U P, Q 在直线 l 的同侧, 异号那么在直线l的异侧.如点A (-2, 4), B (4, 2),且直线l : y kx 2与线段AB 恒相交,贝U k的取值范围是 (答：一

12、,一3 U 1, +)(2) 线性规划问题中的有关概念： 满足关于x, y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件. 关于变量x,y的解析式叫目标函数,关于变量x,y 一次式的目标函数叫线性目标函数； 求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题； 满足线性约束条件的解(x, y)叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域； 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；(3) 求解线性规划问题的步骤是什么根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域,写出目标函数；确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.如(1)线性目标函数z=2x y在线性约束条件 y| 1下,取最

13、小值的最优解是 (答：(1, 1); (2)2点(一2, t)在直线2x 3y+6=0的上万,贝U t的取值范围是 (答：t -); (3) 3不等式|x 11 |y 11 2表示的平面区域的面积是 (答：8)； (4)如果实数x,yx y 2 0满足x y 4 0,那么z | x 2y 41的最大值 (答：21)2x y 5 0(4) 在求解线性规划问题时要注意 ：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时10、圆的方程：2圆的标准方程：x a圆的一般方程：x2 y2_ 2_2_-、2D + E 4F 0时,方程x注意作图标准.22y b r._ 2 _2 _ . .Dx Ey F 0D + E

14、 - 4F 0,特别提醒:只有当D E、y Dx Ey F 0才表示圆心为一,一,半径为22:D2 E2 4F 的圆(二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要 条件是什么( A C 0,且B 0且D2 E2 4AF 0 )；圆的参数方程：x a rcos ( y b r sin数方程的主要应用是三角换元：x2 y2x r cos , y rsin (0 r 点).为参数),其中圆心为(a,b),半径为r.圆的参一 一2x r cos , y r sin ； xy2 tAx1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2yYiYY2如(1)圆C与圆(x 1)2 y

15、2 1关于直线yx对称,那么圆c的方程为0答:x2 (y 1)2 1); (2)圆心在直线2x y 3上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是(答：(x 3)2 (y 3)2 9 或(x 1)2 (y 1)2 1 )； (3) P( 1,73 )是圆x rcos (为参数,02 )上的点,那么圆的普通方程为 , P点对应的y r sin222值为,过P点的圆的切线方程是(答：x y = 4 ； ;3x J3y 4 0)； (4)如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么 l的 斜率的取值范围是 (答：0, 2); (5)方程x2+y2 - x+y+k=0表示一个圆,贝U

16、实数 k的1取值范围为 (答：k - )； (6)假设M (x,y)| y言言蓄(为参数,0),N (x, y)|y x b,假设M N ,那么b的取值范围是 (答：一3,3 J2)11、点与圆的位置关系：点M x0,y0及圆C: x-a 2 y b 2 r2 r 0,(1)222点M在圆C外 CM rx0 ay° b r ； (2)点M在圆C内CM2.22, ,一 , 2y° b 2x0 ay0 b r ； (3)点 M 在圆 C 上 CM rx0 ar2.如点P(5a+1,12a)在圆(x- 1 )2 + y2=1的内部,那么a的取值范围是 (答:1|a| 二12、直线

17、与圆的位置关系：直线l: Ax By C 0和圆C: x a 2 y b 2 r2r 0有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0 相交； 0 相离； 0 相切;:设圆心到直线的距离为d,那么(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)d r 相交；d r 相离；d r 相切.提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如(1)圆2x2 2y2 1与直线xsiny 1 0(R, k , k z)的位置关系为 (答：相离)；(2)假设直线ax by 3 0与圆x2 y2 4x 1 0切于 点 P( 1,2),那么

18、ab 的值(答：2)； (3)直线 x 2y 0 被曲线 x2 y2 6x 2y 15 0 所截得的弦长等于 (答：4J5 ); (4) 一束光线从点 A( 1,1)出发经x轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短 路程是 (答：4 )； ( 5) M (a,b)(ab 0)是圆_2222O : x y r内一点,现有以 M为中点的弦所在直线 m和直线l : ax by r ,那么A . m/1 ,且l与圆相交B . l m ,且l与圆相交 C. m/1 ,且l与圆相离D. l m,且l与圆相离(答： C) ； (6)圆 C: x2 (y 1)2 5 ,直线 L： mx y 1

19、 m 0.求证：对 m R,直线L与圆C总有两个不同的交点；设 L与圆 C交于A、B两点,假设 AB| 而,求L的倾斜角；求直线 L中,截圆所得的弦最长及 最短时的直线方程.(答：60°或120°最长：y 1,最短：x 1)13、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：两圆的圆心分别为.1,.2,半径分别为"2,那么(1 )当|OQ2 a &时,两圆外离；(2)当Q1O2a &时,两圆外切；(3)当r1r2<|O1O2r1r2时,两圆相交；(4)当|O1O2r1r2 |时,两22x y 圆内切；(5)当0 |.1.2 r &|时,两圆内含.如双曲线 土 1的左焦点为F1, a b顶点为A1、A2, P是双曲线右支上任意一点,那么分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为(答：内切)14B勺切线与弦长：2222(1)切线：过圆x y R上一点P(x0, y0)圆的切线万程 是：XX0 yy0 R ,过