全等三角形辅助线技巧

1、注意全等三角形的构造方法搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来,再进行等量代换，就可以化难为易了.下面举例说明几例1 .如图（1）已知：正方形ABCD中，/ BAC的平分线交 BC于E,种常见的构造方法，供同学们参考.1 .截长补短法求证：AB+BE=AC解法（一）（补短法或补全法）延长 AB至F使AF=AC由已知 AEFA AEC, /F=/ ACE=45）, BF=BE - AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB,由已知 ABEBA AGE, EG=BE, / AGE=/ AB

2、E,： / ACE=45o, CG=EG, AB+BE=AG+CG=AC2 .平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt ,有时可作出斜边的中线.例 2. ABC中，/ BAC=60 , / C=40° AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q, 求证：AB+BP=BQ+AQ证明：如图（1），过 O 作 0D/ BC交 AB于 D, / ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80。，又/ AQO=/ C+/ QBC=80°, / ADO=/ AQO，又/ DAO=/

3、 QAO, OA=AO, ADOBA AQO,. OD=OQ, AD=AQ，又t OD/ BP,/ PBO=/ DOB，又/ PBO=/ DBO, / DBO=/ DOB, BD=OD,. AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ说明：本题也可以在 AB截取AD=AQ,连0D,构造全等三角形，即“截长补短法”本题利用“平行法”解法也较多，举例如下:如图（2），过0作0D/ BC交AC于D,则 ADOBA ABO来解决.如图（3）,过0作DE/ BC交AB于D,交 AC于 £,则 ADOBA AQO,A ABOA AEO来解决.如图（4）,过P作PD/ BQ交AB的延

4、长线于D,则 APDB APC来解决.如图（5），过P作PD/ BQ交AC于D,则 ABPBA ADP来解决.图（5）（本题作平行线的方法还很多，感兴趣）D的同学自己研究）.3 旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。例3.已知：如图（6）,卩为 ABC内一点，且 PA=3, PB=4, PC=5,求/ APB的度数.分析：直接求/ APB的度数，不易求，由 PA=3, PB=4, PC=5,联想到构造直角三角形.C略解：将 BAP绕A点逆时针方向旋转 60°至 ACD,连接PD,则 BAPBA ADC,. DC=BP=4AP=AD,/ PAD=6

5、0°,2 2 2图（6）又 PC=5 PD +DC =PC PDC为 RtA , / PDC=90oA/ APB=/ ADC=/ ADP+/ PDC=60° +90o=150o.4.倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例4.如图（7） AD是 ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE求证：AC=BF证明：延长 AD至H使DH=AD,连BH,v BD=CD,/ BDH=/ ADC, DH=DA,C BDHBA CDA BH=CA / H=/ DAC,又t AE=EF/ DAC=/ AFE,v/ AFE=/ BFD, / AFE=图（7）/ BFD=/ DAC=/ H,. BF=BH, AC=BF5 .翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质,沿轴翻转图形来构造全等三角形.例5.如图（8）已知：在 ABC中，/ A=45o, AD丄BC,若 BD=3, DC=2,求： ABC的面积.解：以AB为轴将 ABD翻转1800,得到与它全等的 ABE以AC为轴将 ADC翻转1800,得到与它全等的 AFC, EB FC延长线交于G,易证FG四边形AEGF是