菱形证明专题训练

1、绝密启用前乐学教育菱形证明专题训练1. 已知：如图，在四边形 ABCD ,AB/ CDE, F为对角线 AC上两点，且AE=CF DF/ BE AC平分/ BAD求证:四边形ABCD菱形【答案】/ AB/CD/ BAE=/ DCF. DF/ BE/ BEF=Z DFE/ AEB=/ CFD.又 AE=CF AEBZ CFD AB=CD. AB/ CD四边形ABCDi平行四边形. AC平分Z BAD Z BAE=Z DAF.又Z BAE=Z DCF Z DAf=Z DCF AD=CD四边形ABCDi菱形.2. 如图，矩形 ABC呼，点0为AC的中点，过点 O的直线分别与 AB CD交于点E, F

2、,连接BF交 AC于点 M 连接 DE BO 若Z COB60 FGFC求证：四边形EBFD是菱形；【答案】连接OD 点O为矩形ABC啲对角线AC的中点, B, D, O三点共线且 BD=D0=COA0在矩形 ABCDK AB/ DC AB=DC Z FCOZ EAO 在厶 CFOA AEO中, CFOA AEO： FO=EO又 BO=DQ 四边形BEFD是平行四边形./ B(=CO Z COB60 , COB是等边三角形./ OCB60./ FCO/ DCB/ OCB30./ FO=FC, / FOC/ FCO30./ FOB/ FOC/ COB90. EFL BD 平行四边形 EBFD是菱

3、形.(2) MB： OE=3 : 2.【答案】/ BO=BC 点B在线段OC的垂直平分线上 / FO=FC, 点F在线段OC的垂直平分线上. BF是线段OC的垂直平分线. / FMO/ OMB90. / OBIM300 . OF=BF/ FOC30,. FM=OF BIMBH MF=2OF OF=OF即 FO=EQ BM OE=3 : 2.3. 如图，在厶ABC中, / ABC90。，BD为AC边上的中线，过点C作CEL BD于点E过点A作BD 的平行线,交CE的延长线于点 F,在AF的延长线上截取 F(=BD连接BG DF求证：四边形BGFD【答案】/ FG/ BDBD=FG 四边形BGFD

4、是平行四边形./ CFL BDAG/ BD - CF1AG 又t/ AB(=90 ,点 D 是 AC 的中点， BD=DF=AC平行四边形BGFD是菱形.4. 如图，点0是菱形ABCD寸角线的交点，DE/ ACCE/ BD连接0E求证：OE=BC【答案】t DE/ ACCE/ BD四边形OCE是平行四边形t四边形ABCDI菱形， ACL BD)OE=OD/ BOC/ COE90,四边形OCE是矩形， / ODE90 , / OB=OD / BO(=/ OD=90, BO, OE=, DE=OC OE=BC5. 2015 兰州中考，25(9 分)如图，四边形 ABCD中 , AB/ CDAB C

5、D BD=AC.(1)求证:AD=BC【答案】 作BM/ AC BM交DC的延长线于点 M则/ ACD/ BMD. 1分 AB/ CDBM/ AC四边形ABM为平行四边形.2分 AC=BM./ BD=AC BM=BD./ BDM/ BMD. / BDC/ ACD.在厶 BDC ACD中 , BDCA ACD.4 分 BC=AD. 5 分(2)若E, F, G, H分别是AB CDAC BD的中点.求证：线段EF与线段GH互相垂直平分【答案】连接EGGFFHHE. 6分 E,H 为 AB BD的中点， EH=AD.同理 FG=APEG=B,CFH=BC./ BC=AD. EG=FG=FH=EH.

6、 8 分四边形EGFI为菱形， EF与GH互相垂直平分.9分6. 2015 长春中考，18（7分）如图，CE是 ABC外角/ ACM平分线,AF/ CD交CE于点F, FG/ AC交CD于点G求证：四边形ACGF1菱形.【答案】因为AF/ CD FG/ AC所以四边形ACGF1平行四边形，又因为/ ACEM ECG/ ECG= AFC所以/ ACEh AFC所以AC=A，由得四边形ACGF1菱形.7. 2010 上海中考，23已知梯形ABCDK AD/ BC AB= AR如图所示），/ BAD的平分线 AE交BC于点E,连结 DEBC（1）在图中，用尺规作/ BAD的平分线AE保留作图痕迹，不

7、写作法 ），并证明四边形 ABED是 菱形；【答案】/ BAE=Z DAE/ DAE=Z BEA/ BAE=Z BEA AB= BE= ADAD/ BE 四边形 ABED勺平行四边形，又 AB= AD四边形ABED菱形 / ABC= 60 , EC= 2BE 求证：EDL DC【答案】 过D作DF/ AE则DF= CF= 1 ,/ C= 30,而/ DEC= 60 ,/ EDC= 90,二 EDL DC8. 2010 沈阳中考，19如图，菱形 ABCD勺对角线AC与 BD相交于Q点E, F分别为边 AB AD的中点，连接 EF, QE QF求证：四边形 AEQ是菱形.【答案】点E, F分别为A

8、B, AD的中点 AE= AB AF= AD2 分）又四边形ABCD是菱形 AB= AD AE= AF：4 分）又菱形 ABCD勺对角线 AC与BD相交于点Q Q为BD的中点 QE 0尸是厶ABD勺中位线（6分） Q曰 AD QF/ AB四边形AEQ是平行四边形（8分）/ AE= AF四边形 AEO是菱形（10分）9./ 1 = 7 2,(1)求证：四边形 BCEF是菱形;BF= BC【答案】/ AD/ FE 7 FEB=7 2./ 1 = 7 2,二7 FEB=7 1. BF= EF/ BF= BC - BC= EF四边形BCEFi平行四边形/ BF= BC四边形BCEFi菱形（5分） 若

9、AB= BC= CD 求证： ACFA BDE【答案】/ EF= BC AB= BC= CD AD/ FE,四边形 ABEF四边形CDEF均均为平行四边形， AF= BE FC= ED（8分）又 AC= 2BC= BD, （9 分） ACFA BD10 分）10. 2013 长沙中考，24如图，在？ ABCD , M N分别是AD BC的中点，7 AND= 90,连接CM交 DN于点OBNC（1）求证： ABNA CDIM【答案】T7 ABN=7 CDM AB= CDBN= BC= AD= DM ABNA CDMSAS).过点C作CEMN于点E交DN于点P,若PE= 1，/ 1 = Z 2,求

10、 AN的长.【答案】/ M O分别为AD ND的中点， AIN/ MC且 AN= 2MO/MCBZ AND= 90,即平行四边形 CDM是菱形，在 Rt MODI Rt NEC中,/ 1 = Z 2, MD= NC Rt MO修Rt NEC MO= NE根据菱形的性质可知，/ MNBZ CND / 1 = Z CND所以/ MNID / CN/2= 30,所以在 Rt ENP中 NE= PE- tan30 =,即 AN= 2.11. 如图，在厶ABC中, / A=90, AHL BC于点H / B的平分线交 AC于点D交AH于点 E DFL BC于点F,求证：四边形AEFD是菱形.【答案】V/

11、 ABD/ FBD BD=BJD/ BAD/ DFB=0, ABDA FBD - AD=DFAB=FB.又/ ABE/ FBEBE=BE ABEA FBE. / BAE/ BFE.又/ BAEW - / ABC/ C, / BFE玄 C, EF/ AD./ DFL BC, AHL BC AE/ DF.四边形AEFD1平行四边形.又AD=DJFa四边形AEFD是菱形.12. 2012 南宁中考,25如图，已知矩形纸片 ABCDAD= 2,AB= 4,将纸片折叠，使顶点A与边 CD上的点E重合，折痕FG分别与ABCD交于点G, F, AE与FG交于点O图1图2 如图1,求证：age,f四点围成的四

12、边形是菱形;【答案】证法一：厂-气II*4匕-wj4t n证明：在矩形 ABCD中 , CD/ AB / 1 = Z 3（1 分）由折叠可知：AG= EG / 1 = Z2/ 2=Z3 EF= EQ2 分） EF= AG四边形AGE是菱形（3分）证法二：证明：连接 AF由折叠可知nMvOA= OEAG= EG1 分） 在矩形 ABC中, AB/ CD / AEF=Z EAG/ AOG=/ EOF AOA EOFASA（2 分） AG= EF四边形AGE是菱形（3分） 如图2,当厶AED勺外接圆与BC相切于点N时，求证，点N是线段BC的中点;【答案】证明：连接ONO是Rt ADE外接圆圆心O O

13、与BC相切于点N ONL BQ4 分）在矩形 ABCD, DCL BC A吐 BC CD/ OIN/ AB= （5 分）/ OA= OE CN= NB 即N为BC的中点（6分）如图2,在第2问的条件下，求折痕FG的长.【答案】解法一：过点0作OML AB于点M则四边形 OMB是矩形设OO半径为X,则0A= 0E= 0N= x（7分） / AB= 4, AD= 2 AM= 4 x由第2问得,NB= 0M= 12 2 2在 Rt AOM中, 0A= AM OM222八- x = （4 x） + 1 - x = （8 分）AM= 4 =/ FEO=Z OAM又/ FOE=Z OM= 90 Rt EF

14、3 Rt AOM = （9 分）- OF=- FG= 2OF= （10 分）解法二：延长NO交AD于点M四边形ABNI是矩形 AM= BN= AD= 1/ O为Rt ADE外接圆圆心 OA= OE= ON设 ON为 x,则 OM= 4 x（7 分） 在 Rt AMO, AM+ OM= OA2 2 2即 1 + （4 x） = xx= （8 分） Ol= 4 =/ FGL AE MN DC /-Z FEO=Z MOA / AMG/ EOF= 90 EOFA OMA/= （9 分） OF= FG= 2OF= （10 分）13. 2013 葫芦岛中考，20（本小题满分8分）如图，四边形 ABC即,A

15、D/ BC BAL AD BC=D,（BE丄 CD于点 E.求证： ABDA EBD【答案】如图,/ AD/ BC Z1 =/ DBC./ BC=DCZ2=Z DBC./Z1=Z2.2 分又/ BAD/ BED=0,BD=BD.A ABD EBD.4 分 过点E作EF/ DA交BD于点F,连接AF求证:四边形AFE是菱形.【答案】由第1问得，AD=EDZ1=/2.EF/ DA /Z1 =Z 3, /2 =/3 . EF=ED.5 分 EF=AD.6 分四边形AFE是平行四边形.又 AD=ED.四边形AFE是菱形.8分14. 2013 贵阳中考，20已知：如图，在菱形 ABCDK F为BC上的任

16、意一点，连接 AF交对角线BD于点E,连接EC求证：AE= EC【答案】证明：连接AC BD是菱形ABCD勺对角线, BD垂直平分AC AE= EC 当/ABC= 60,/ CE= 60时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由【答案】点F是线段BC的中点.理由：菱形 ABCD中, AB= BC又/ ABC 60. ABC是 等边三角形，/ BAC= 60./ AE= EC / CEB 60,./ EAC= 30.人尸是厶ABC勺角平分线./ AF交BC于点F,人尸是厶ABC勺BC边上的中线.点F是线段BC的中点.15. 2012 上海中考，23已知：如图，在菱形 ABC曲，点EF分别在边 BC

17、CD上,/ BAF= / DAEAE与BD交于点GE(1)求证：BE= DF【答案】四边形ABCD为菱形， AB= AD= BC= CD/ ABD=Z ADB=Z CBD=Z CDB/ ABE=Z ADF/ BAF=Z DAE且/ BAF=Z BAEFZ EAF/ DAE=Z DAFbZ EAF/ BAE=Z DAF ABEA ADFASA). BE= DF 当=时，求证：四边形 BEFG1平行四边形【答案】在菱形ABC即，ADBC/ DAE=Z BEA/ ADB=Z EBD AGD EGB又=，BE= DF GF/ BE/ DGF=Z DBC/ DBC=Z CDB/ DG GDF GF= D

18、F, BE= GF BEGF四边形BEFG是平行四边形16. 2013 乌鲁木齐中考,19如图，在厶ABC中，/ ACB= 90, CDL AB于D, AE平分/ BAC分 别与BCCD交于E, F, EFUAB于H连接FH求证：四边形 CFHE菱形.A D HB【答案】/ AE平分/ BACCAE=Z EAH而/ ACB= 90, CDLAB/ CEAFZ CAE=Z AFDFZ EAH= 90 ,又/ APD=Z CFE/ CFE=Z CEF CF= CE又 AE平分/ BAC / ACB= 90. EHL AB -CE= EH CF= EH= CE T CDL AB EHL AB CF/

19、 EH四边形CFHE!菱形.17. 如图所示，在菱形ABCD中 ,CEL AB于点E, CF丄AD于点F,求证:AE=AF.【答案】证法1:如图所示,连接ACAc四边形ABCDI菱形， AC平分/ BAD 即/ BAC三 DAC.在厶 ACEm ACF中 ,/ AECN AFC=0 , / BACN DACAC=AC ACEA ACFAAS), AE=AF.证法2:四边形ABCD1菱形， BC=DC=AD=ABB=/ D.又在 BCEn DCF中, / BECM DFC=O, BCEA DCFAAS), BE=DF AE=AF.18. 2013 南宁中考，23如图，在菱形 ABCDK AC是对

20、角线，点 E, F分别是边BC AD 的中点A F D(1)求证： ABEA CDF【答案】 在菱形 ABCDK AB= BC= CD= DA或AB= CD BC= DA/ B=Z D点E, F分别是边BC AD的中点， BE= DF ABEA CDF 若/ B= 60, AB= 4，求线段 AE的长【答案】解法一：T AB= BC / B= 60, ABC是等边三角形点E是BC边的中点 AEL BC在 Rt ABE中，sinB=.二 AE= AB- sin B= 4X=.解法二： AB= BC / B= 60, ABC是等边三角形.点E是BC边的中点， AE1 BC / BAE= 30.在

21、Rt ABE中，BE= AB= 2. AE= = =19. 2012 温州中考,19（本题8分）如图, ABC中, / B= 90, AB= 6cm,BC= 8cm,将厶 ABC沿射线 BC方向平移 10cm,得到 DEFA B, C的对应点分别是 DEF,连接AD求证：四边形 ACF是菱形.A【答案】 法一：I/ B= 90, AB= 6cm,BC= 8cm. / AC= 10cm.由平移变换的性质得 CF= AD= 10cm,DF= AC AD- CF= AC= DF四边形ACF虚菱形.法二：由平移变换的性质得AD/ CFAD CF= 10cm,四边形ACFD平行四边形，B= 90, AB

22、= 6cm, BC= 8cm, AC= 10cm, AC= CF ? ACFD是菱形.20. 2011 ?兰州中考，27（本小题满分12分）已知：如图17所示的一张矩形纸片 ABCDADAB，将纸片折叠一次，使点 A与点C重 合，再展开，折痕 EF交AD边于点E,交BC边于点F.分别连接AF和CEBFC（图 17）（1）求证：四边形 AFCE是菱形;【答案】由题意可知O* OC EF丄A0BFC（第右题答图） AD/ BC :丄 AEOZ CFO / EAO=Z FCO AOE COF AE= CF,又 AE/ CF四边形AECF是平行四边形（2分） ACL EF, 四边形 AECF是菱形.（

23、4 分）2 若AE= 10 cm ABF的面积为24 cm,求厶ABF的周长；【答案】四边形AECF是菱形， AF= AE= 10 cm.设 AB= a , BF= b ,2 2 2/ ABF的面积为 24 cm，a + b = 100 , ab= 48（6 分）2（a+ b） = 196 , a+ b= 14 或 a+ b= 14（不合题意，舍去）（7 分） ABF的周长为 a+ b+ 10= 24 cm（8 分）2（3）在线段AC上是否存在一点 P,使得2AE=AC AP?若存在，请说明点 P的位置，并予以 证明；若不存在，请说明理由.【答案】存在，过点E作AD的垂线,交AC于点P，点P就

24、是符合条件的点（9分）证明：/ AEP=Z AOE= 90, / EA（=Z EAP AOEA AEP =,2 AE = AO AR11 分）四边形AECF是菱形，2 AO= AC - AE= AC AR2 ” 2AE = AC AP（12 分）21. 2013 营口中考,19如图, ABC中 ,AB=ACAD是厶AB个外角的平分线,且求证： ABCA CDA【答案】/ AB=AC./ B=Z ACB又/ FAC ABC的一个外角，/ FACN B+Z ACB/ FAC=Z ACB 2 分又 AD是Z FAC的角平分线，/ FAC=Z CAD Z ACBZ CAD 3 分又 AC=CAZ BACZ DCA ABCA CDA 4 分若Z ACB=0 ,求证:四边形ABCDI菱形.【答案】TZ BACZ ACD AB/ CD5 分又/ ACBZ CAD AD/ BC.四边形ABCDI