2020-2021学年高中数学北师大版必修1学案：3.3　指数函数 Word版含解析

1、3指数函数知识点一指数函数的定义 填一填函数yax叫作指数函数，其中a0且a1，定义域为r，值域为(0，)答一答1指数函数定义中为什么规定a0且a1?提示：知识点二.指数函数的图像与性质 填一填1指数函数的图像与性质2.yax与y()x的关系一般地，当函数yax与函数y()x的自变量的取值互为相反数时，其函数值相等，这两个函数的图像是关于y轴对称的3函数yax与ybx的特点(ab1)(1)当x0时，总有axbx0时，总有axbx1.(4)指数函数的底数越大，当x0时，其函数值增长得就越快答一答2指数函数yax(a0且a1)中底数a对函数图像的变化有什么影响？提示：设ab1cd0，则yax，yb

2、x，ycx，ydx的图像如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大或者说在第一象限内，指数函数的图像，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴1指数函数的形式特征(1)整体性：ax为一个整体，且前面系数为1.(2)独立性：自变量x在幂指数的位置且为单个x.(3)限制性：底数a是满足a0且a1的常数2指数函数的图像特点(1)a1时，图像像“一撇”，且在y轴右侧a越大，图像越靠近y轴(如图1)(2)0a0，且a1时，对于任意xr，总有ax0.类型一指数函数的概念 【例1】函数y

3、(a24a3)ax是指数函数，求a的值【思路探究】由题意知：函数解析式中ax的系数为a24a3，此函数为指数函数，解答本题只需紧扣指数函数的定义即可【解】因为y(a24a3)ax是指数函数，所以解得a2.(1)函数y(a23a3)ax是指数函数，则有(c)aa1或a2ba1ca2 da1，且a2解析：由指数函数的概念，得a23a31，解得a1或a2.当a1时，底数是1，不符合题意，舍去；当a2时，符合题意，故选c.(2)下列函数中是指数函数的是.(填序号)解析：中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；是指数函数；中底数为x，不满足底数

4、是唯一确定的值，故不是指数函数；中指数不是x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数故填.类型二指数函数的定义域、值域 【思路探究】先求定义域分解原函数考虑单调性求出值域类型三指数函数的单调性 规律方法 对于复合函数yfg(x)，若f(t)为增函数，则yf g(x)单调性与g(x)相同；若f(t)为减函数，则yfg(x)单调性与g(x)相反，对于yfg(x)的值域求解实际上是以g(x)值域为yf(t)的定义域来求解解：( 类型四利用指数函数性质比较大小 【例4】比较下列各题中两个数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.80.1,1.250.2；(3)1.7

5、0.3,0.93.1.【思路探究】首先应确定使用哪类函数，然后由相关函数的单调性判断大小若不能看作同一函数的两个值，常用中间量“搭桥”【解】(1)底数1.71，指数函数y1.7x在(，)上是增函数2.53，1.72.51.73.(2)1.250.20.80.2，00.80.2，0.80.10.80.2，即0.80.11.701，093.10.93.1.规律方法 比较两个数的大小常转化为比较同一函数的两个函数值的大小对于1.70.3与0.93.1，不能直接看成某一个指数函数的两个函数值，所以(3)题无法用(1)(2)两题的方法来进行比较可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与1进行比较

6、，进而得出1.70.3与0.93.1的大小常用的中间量有1,0,1.利用指数函数的性质，解答下列各题(1)比较2.7a与2.7a1的大小；(2)比较1.60.6与0.61.6的大小；(3)已知mn，比较m，n的大小解：(1)考虑指数函数y2.7x，它在实数集r上是增函数aa1，2.7a1.601,0.61.60.61.6.(3)考察指数函数yx，它在实数集r上是减函数mn，m0，a1)的图像可能是(d)解析：若a1，则00，a1)在r上是增函数，且图像可以由yax的图像向下平移个单位长度得到，其中01，因此选项a，b排除；若0a1，所以yax(a0，a1)在r上是减函数，且图像可以由yax的图

7、像向下平移个单位长度得到，其中1，故排除c，选项d正确.规范解答指数函数的综合应用【例6】已知函数f(x)(axax)(a0且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围【审题】抓信息，找思路审条件：一个解析式：函数f(x)的解析式已知，且含有参数a；一个范围：第(3)问中已知x1,1一种关系：第(3)问中f(x)b恒成立建联系：解决奇偶性以及单调性都需要从函数的解析式入手分析，将研究奇偶性和单调性的问题与函数解析式联系起来；求b的取值范围就和求f(x)的最小值联系起来找思路：研究函数问题定义域不可忽略，根据函数解析式可得到

8、函数的定义域，结合定义域寻求f(x)与f(x)的关系，可判断奇偶性；利用函数单调性的定义可判断函数的单调性；根据(2)中的单调性求出f(x)的最小值即可确定b的取值范围【点评】1 .注重等式的变形方法和技巧等式的变形是数学运算过程中经常运用的手段，常用到的变形方法有分式的通分、因式分解、配方、分子分母有理化等，如本例利用提取公因式、通分等方法，使f(x2)f(x1)变形为最终的结果2解决含参数的问题时要有分类讨论的意识解决与指数函数有关问题时，特别要重视对底数取值范围的分类讨论，如本例中由于a的范围不确定而无法确定ax2与ax1的大小，故需要对a分0a1两种情况讨论，从而确定函数f(x)的单调

9、性已知定义域为r的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)用定义证明f(x)在(，)上为减函数解：(1)因为f(x)为r上的奇函数，所以f(0)0，得b1.又f(1)f(1)，得a1.此时f(x)，而f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，所以ab1.一、选择题1函数f(x)的定义域为(c)a(，0)b0，)c(，0 d(，)解析：要使函数f(x)有意义，需满足12x0，即2x20.指数函数y2x在r上是增函数，x0.故函数f(x)的定义域为(，02函数yax2(a0，且a1)的图像经过的定点坐标是(d)a(0,1) b(2,1)c(2,0) d(2,1)解析：当x20，即x2时，无论a取何值，必有ax21，即y1.所以函数yax2(a0，且a1)的图像经过的定点坐标是(2,1)二、填空题3已知f(x)ax(a0且a1)且f(2)f(3)，则a的取值范围是(0,1)解析：f(x)ax且f(2)f(