2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第3章 3.3　函数的应用（一） Word版含解析

1、3.3函数的应用(一)学 习 目 标核 心 素 养1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(重点、难点)1. 通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养2借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201620172018销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的需要，2019年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，201

2、9年实际销售44万辆，圆满完成销售目标问题(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？(2)如果我们分别将2016，2017，2018，2019年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)ax2bxc(a0)，一次函数模型g(x)axb(a0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？(3)依照目前的形势分析，你能预测一下2020年，该公司预销售多少辆汽车吗？常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)分段函数模型f(x)1思考辨析(正确

3、的打“”，错误的打“×”)甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错(1)甲比乙先出发()(2)乙比甲跑的路程多()(3)甲、乙两人的速度相同()(4)甲先到达终点()答案(1)×(2)×(3)×(4)2某物体一天中的温度t与时间t满足函数关系：t(t)t33t60，时间单位是小时，温度单位是，t0表示中午12：00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是()a8 b12 c58 d18 a求上午8时的温度，即求t4时的值，所以t(4)(4)33×(4)608.故选a.3甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从

4、起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点若甲、乙两车的s ­t图像如图所示，则对于丙、丁两车的图像所在区域，判断正确的是()a.丙在区域，丁在区域b.丙在区城，丁在区域c.丙在区域，丁在区域d.丙在区域，丁在区域a由图像，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在区域，丁在区域，故选a.4(教材p122例3改编)某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元60设涨价x元，销售的利润为y元，则y(50x45)(502x)2x240x2502(x10)24

5、50，所以当x10，即销售价为60元时，y取得最大值一次函数模型的应用【例1】某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y6x30 000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()a.2 000套b3 000套c.4 000套 d5 000套d因利润z12x(6x30 000)，所以z6x30 000，由z0解得x5 000，故至少日生产文具盒5 000套1一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则2一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式axb0(或0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单

6、调性来求最值1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像，根据图像填空：(1)通话2分钟，需要付电话费_元；(2)通话5分钟，需要付电话费_元；(3)如果t3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_(1)3.6(2)6(3)y1.2t(t3)(1)由图像可知，当t3时，电话费都是3.6元(2)由图像可知，当t5时，y6，需付电话费6元(3)易知当t3时，图像过点(3，3.6)，(5，6)，求得y1.2t(t3).二次函数模型的应用【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得

7、高于55元市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思路点拨本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x50，55，xn，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题解(1)根据题意，得y903(

8、x50)，化简，得y3x240(50x55，xn).(2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量×每箱销售利润所以w(x40)(3x240)3x2360x9 600(50x55，xn).(3)因为w3x2360x9 6003(x60)21 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大又50x55，xn，所以当x55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元二次函数模型的解析式为g（x）ax2bxc（a0）.在函数建模中，它占有重要的地位在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数

9、的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答2a，b两城相距100 km，在两地之间距a城x km处d地建一核电站给a，b两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数0.25.若a城供电量为20亿度/月，b城为10亿度/月(1)把a，b两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距a城多远，才能使供电总费用最小解(1)由题意设a城的月供电费用为y1，则y1×20x2.设b城的月供电费用为y2，则y2×1

10、0×(100x)2，a、b两城月供电总费用y×20x2×10×(100x)2.0.25，y5x2(100x)2(10x90).(2)由y5x2(100x)2x2500x25 000，则当x时，y最小故当核电站建在距a城 km处，才能使供电总费用最小分段函数模型的应用【例3】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5tt2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产

11、并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？解(1)当0<x5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件所以f(x)即f(x)(2)当0<x5时，f(x)x24.75x0.5(x4.75)210.78125，所以当x4.75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)max10.781 25(万元).当x>5时，f(x)120.25x<120.25×510.75(万元).故当年产量为475件时，当年所得利润最大1分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏2分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的

12、并集3分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论3某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y1.8(5x3x)14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x4，且5x>4时，y4×1.83x×1.83(5x4)20.4x4.8.

13、当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，y2×4×1.83×(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增；当x时，yf<26.4；当x时，yf<26.4；当x时，令24x9.626.4，解得x1.5.所以甲户用水量为5x5×1.57.5(吨)，付费s14×1.83.5×317.70(元)；乙户用水量为3x4.5(吨)，付费s24×1.80.5×38.70(元).知识：1解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式求解析式时，一般利用待定系

14、数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性2数学建模的过程图示如下：方法：建立函数模型时，求解函数解析式的方法(1)待定系数法已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值，就可以确定函数的解析式(2)归纳法先让自变量x取一些特殊值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式(3)方程法用x表示自变量或其他相关的量根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法实际上函数的解析式就是含x，y的

15、二元方程1某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后按“八折优惠”卖出，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是()a.2 000元b2 500元c.3 000元 d3 500元c设彩电的进价为x元，得1.4x×0.8x360，解得x3 000，故选c.2向高为h的水瓶中注水，注满为止如果注水量v与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是()abcdb题图反映随着水深h的增加，注水量v增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小故选b.3有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_m2(围墙厚度不计).8 100设每个小矩形与墙垂直的一边长为a m，则与它相邻的另一边长为b(3604a)m，记围成场地的面积为s m2，则s3aba·(3604a)4a2360a(0a90)，当a45时，smax8 100(m2)，所围矩形面积的最大值为8 100 m2.4某人从a地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达b地，在b地停留2小时，则汽车离开a地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是_答案y5. 某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：(1)求y与x的