(全)基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析

1、基本不等式一.基本不等式22 21 . （1）若a,bw R,则a2 +b2之2ab（2）若a,bw R,则ab三巴士（当且仅当a = b时取“二”）22 .（1）若 a,bw R*,则乃b*70b（2）若 a,bw R*,则 a+b 2 2J0U （当且仅当 a = b 时取“二”）2 一色）:（当且仅当a = b时取"=”）21一1一3.若x>0,则x+之2（当且仅当x = 1时取=）。若x<0,则x+W 2（当且仅当x=1时取 =） xx若x ¥ 0 ,则x +1之2即x +1之2或x 1- <-2 （当且仅当a = b时取“="）xxx3

2、 .若ab >0,则a+b22 （当且仅当a =b时取“二”）b a若ab#0,则a+a-2wb+b-Ma+b-2当且仅当a = b时取“二”）7 / 6.2.24 .若 a,bwR,则（a!b）2 <a +b （当且仅当 a=b时取“=”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求最值例1 :求下列函数的值域2 . 11(1) y=3x

3、 +彳 y=x+x解:(1) y = 3x2 + 2x2 >243* 2 2x2 = V6，值域为乖,+8)(2)当 x>0 时,=2；当 xv0 时， y= x+1=（x 1 ） w 2、/x 1 =-2xx； x，值域为（一8, 2U2, +8）解题技巧：技巧一：凑项一 一， 5例1 :已知x < 求函数 v =4x -2 +的取大值。4 y4x-5凑项,解：因4x-5<0,所以首先要“调整”符号，又（4x-2）1>匚不是常数，所以对4x-2要进行拆、4x -5；*x <5,. 5 -4x A0，, y =4x -2 +1 = 一'5 4x +1

4、- +3 工 -2+3 = 144x - 55 - 4x一，1 一 ， ， .当且仅当54x =一，即x=1时，上式等号成立，故当 x=1时，ymax=1。5 -4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当0 < x s 4时，求y = x(8 2x)的最大值。解读：由。< M C 4知，8-2工>口 ,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。 注意到2x + (82x) =8为定值，故只需将y = x(82x)凑上一个系数即可。 = x(8-2x) = l2x* (8-2刈4干+：-2:

5、8当2/=62x ,即x= 2时取等号 当x=2时，y =x(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 3变式：设0<x<,求函数y =4x(32x)的最大值。2_2_3 _ _2x + 3 _2x3 9解：- 0 <x 3-2x >0.-. y = 4x(3-2x)=2 2x(3-2x) <2 33 J 一0,-时等号成立。< 2J，一 3当且仅当2x =3 -2x,即x = 3 w4技巧三：分离2_ 一,x - 7x，10例3.求y=S_°(x>1)的值域。x+1

6、)的项，再将其分离。x 1解读一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(+7 + 10 (x + 1)3 +5( + 1) +4, n 4 cy =(a- + 1) + 5工十1x + 1j + 1当工二 1 ,即工+ 1 > 0时，y之2J(x +1)父-4 +5 = 9 (当且仅当x= 1时取“=”号)。技巧四：换元t=x+ 1 ,化简原式在分离求最值。解读二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令(t -1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4 , 4 广y -=- t - 5ttt当 x > 1 ,即 t=x + 1 > 口 时，y 之2 Jt 黑

7、4 +5 = 9(当t=2即x= 1时取“=”号)评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y=mg(x)+B(A >0, B A0) , g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。，a af (x) = x+的单调性。xg(x)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数，,一,x2 75 例：求函数y = x 5的值域。x2 4解：令 & +4 =t(t 至2),则 yX*5 =Jx2 +4=3=t+1(t 之2)y =.x2 4 t1因t A0,t - =1 ,但t =-解得

8、t = ±1不在区间12, F ,故等号不成立，考虑单调性。 tt15因为y=t+ ；在区间11,收)单调递增，所以在其子区间上，十整)为单调递增函数，故 y之3。 所以，所求函数的值域为 5十无i。一 2练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.x2 3x 111(1) y=,(x >0) y=2x +,x>3 (3) y = 2sinx +,x=(0产)xx -3sin x2，一-、2.已知0<x<1,求函数y = Jx(1x)的最大值.；3. 0<x<-,求函数y =，x(23x)的最大值.3条件求最值1.若实数满足a + b =

9、2 ,则3a+3b的最小值是. a b 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3 3定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a +3、2j3a 3b =2j尹=6当3a =3b时等号成立，由a+b = 2及3a =3>Ha = b=1即当a = b = 1时，3a + 3b的最小值是6.升. 1 1 .变式：右log 4 x + log 4 y = 2 ,求+ 一的取小值.并求x,y的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知x >0, y >0 ,且一 + =1,求x + y的最小值

10、。x y错解：X a0, y a0 ,且工 + =1 ,，x + y = 1 +9 x + y )之2J2jxy =12故(x * y »in = 12 ° x yx y xy '错因：解法中两次连用基本不等式，在 x + y > 2vxy等号成立条件是 x = y ,在+_9 >2 I叵等号成立 x y - xy19 条件是=即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出 x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。F-19/19 'V9x正斛：，x >0, y >0,+

11、=1，, x+y=(x + y=- +一 + 10 之 6 + 10=16xylxy Jxy一 ，y 9x1 9当且仅当 上=时，上式等号成立，又 一 十 =1,可得x = 4,y=12时，(x+y). =16 。xyx ymin变式：(1)若x, y e R*且2x + y = 1,求1+工的最小值 x y(2)已知a, b,x, y e R +且a +- =1,求x + y的最小值 x y2技巧七、已知x, y为正实数，且x2 + y2 =1,求 xji + y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式h<a 2+b 2ab<2同时还应化简71+y2中y2前面的

12、系数为x/ + y2卜面将X,1 +y2分别看成两个因式:x2+2 +2 金 (2 +yr )22x 2+y221+ 2312=4 即"1 + y2 = V2 x、/ +y"<3V2技巧八：已知 a, b为正实数，2b+ ab+ a=30,求函数分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的途径进行。1，一，y=的取小值.ab一是通过消元，转化为一元函数问题二是直接用基本 不等式，对本题来说，因已知条 考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式旺30-2b法

13、一：a=, b+1,30-2b . -2 b2 + 30bab =- " b =b+ 1b+1由 a>0得，0vbv15人2t 2+ 34t311616116令 t= b+1, 1 v tv 16, ab =1 = - 2 (t+了)+ 34t+1 >2l T = 8ab< 181. .y> 当且仅当t=4,即b=3, a= 6时，等号成立。法二：由已知得：30ab=a +2b. a+2b>2/2"ab30- ab>22"ab令 u= yab则 u2+ 2J2牺W3啦，abw 18, y> 18u-30<0, - 5

14、72 <u<3721, 一 a b点评：本题考查不等式ab >2式打>VOb (a,bw R力，这样将已知条件转换为含 ab的不等式，进而解得 ab的范围.2变式：1.已知a>0, b>0, ab (a + b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y=10,求函数 W= 置 十两解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a+ b2的最值.a 2+b 2-2,本题很简单Tab (a,b w R力的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等 式ab=a+2b+30 (a,

15、bR方出发求得ab的范围，关键是寻找到a + b与ab之间的关系，由此想到不等V3X + J2y <y/2 V (V3X ) 2+(V2y)2 = V2 73x+ 2y = 2泌解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W>0, W2=3x+ 2y+2强 伤 =10 + 2而 向 w 10+(每)2 (必)2 = 10+(3x+2y)= 20W< V20 =2朋变式：求函数y =4充=1 +J5_2x(1 <x<5)的最大值。解读：注意到2x-1与5-2x的和为定值。y2 =(, 2x1 5 52

16、x)2 =42. (2x-1)(5 -2x) < 4 (2x-1) (5 - 2x) =8 又 y >0,所以 0 <y E2J23一当且仅当2x1=5 2x ,即乂=万时取等号。故ymax=2j2。评注：本题将解读式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用基本不等式。应用二：利用基本不等式证明不等式1,已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： a2十b2十c2 a ab十bc十ca1)正数 a, b, c满足 a+ b+ c= 1,求证：(1

17、 a)(1 b)(1 c)> 8abc 例 6：已知 a、b、ce R+,且 a + b + c = 1。求证：1 -1 1 -1 1 -1 _8 a b c分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1_1=bc.-L-bc,可由此变形入手。a a a a1 / 1 -a b c 2, bc 1 . 2. ac 1 / 2, ab斛：a、b、c- R , a + b +c = 1。二 1 =之。同理 一 一1 之,- -1 >。a a a ab b c c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得-1 I11 -1 I11 -11之空212空心画 =8。当且仅当a = b = c =1时取等号。 a b c a b c3应用三：基本不等式与恒成立问题19例：已知x >0, y >0且一 +=1,求使不等式 x + y 2 m恒成立的实数 m的取值范围。 x y解：令 x + y = k, x > 0, y a 0, 1 + 9 = 1 ,y + 9x_9y = 1.二 10 +-y + 9x =