1027整式乘除与因式分解复习讲义

1、整式乘除与因式分解一、知识要点:1 .乘方公式： （""） =（，）" =_©（岫）" =a"i _（OW0）2 .单项式与单项式相乘的法则：,3 .乘法公式：单x多：m（a + b + c）=反过来cun + bin + cm =提公因式、计算化简因式分解多X多：（x+ p）（x + q） =反过来/ + （ + 4）x + pq =十字相乘<平方差：3 + ）（4一。）=反过来：，/一尸=>完全平方：（，/ + ）、反过来：，/+2皿+。2='（。一切2 =反过来：/ _ 2ab + b1 =4 .把一个多项式

2、化为 的形式，这样的变形叫因式分解（或分解因式）。5 .因为（一幻2 =/所以（?一-=;因为（_幻3 =一/所以（?一）3 =:6 .单项式+单项式的法则：。7 .多项式+单项式公式：（ + bin + cm） + m =。二、重点题型巩固练习：1.痔的运算 （1）同底数辕相乘，底数不变，指数相加。""/= （m、n为正整数） 例题：(1)计算 (- 1)2(-1)5=- a(a)2=(曰.$(=(x-y)2 - (y - x)3 - (y - a)2 =(2)若5"'=2,5"=3,求5/"+3= i。若2川=64,则 n= :(3

3、)用简便方法计算(-4)2 (-到。=3(-3严°(一3)2 =(4) (m-n)2 = 4, (m-nf = -8 ,则®。(5) ./=/.(_“)=,产2 .器的乘方:器的乘方，底数不变，指数相乘。(/)="""(m、n为正整数)例题：(1)计算(d)'=(一/7 =(/-2丫 = 卜一)，)3, =（2）若/2=5,求,产+3的值。（3）己知n为正整数，且/=3,求9（/丫的值。(4)计算 】亨= 2G3)4+/(/)2+/=(5)如果26” =22% 求的值。(6)己知3m =6, 9" =2,求32-7的值。3 .

4、积的乘方:积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的塞相乘。(皿)”=/"(n为正整数)例题：(1)计算已时= (-24=. 已广；2M =0.1252° x42o 乂？20 =_(一6/+(_3.蛾-x=2 2008 zx 20090.5x3 x -2x=3；I11J (2)若b沙声，求2"1的值。 I(3)比较3万与2K10的大小(4)已知 P=(-ab3)2,那么一尸= (5) 33x( )f =1564 .同底数塞的除法:同底数塞相除，底数不变，指数相减。(m、n为正整数，m>n, aWO)例题：(1)计算(一 X)" +(-)3=

5、 (孙 > +(X)，F = - G。+4, =(a + b+ ( + b)4 + (a + b)=卜.44 1子.丫 .3=(2)已知=6" =5,。" =2,则。r =已知3* =5,3、=2,求32f 0(3)计算(1) 27"'+9'"+3=(x-2y)3 2y-x)2 =(4)已知 2a-3b-4c=4,求4a +8, +16, -4 的值。5 .整式的乘法1 .单项式与单项式相乘将它们的系数、相同字母的事分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则 连同它的指数一起作为积的一个因式。例题：(1)计算(-2xy213/)，

6、) =(_ 5町y x” .)，=®(2x102)x(15x106) =练习：(1)()2a = 4a%(-2x)2 - () = -12x，y (2)先化简，在求值.(24也。，一；机,，11 中 a=-l,b=l,c=-l2 .单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。例题：(1)计算 2xy(x2 +xy + y2)/一 2a(3a -4Z? + 5c)(2)已知3/(2-5)+24(1 3)= 26,则 a=。(4)已知(2x)2 (3/ax 6)3/+/中不含有x的三次项，试确定2的值。(5)当，1=一1求代数式-61+ 8)-犬(一一8工一10)

7、+2%(3-工)的值。 6(7)解方程:2x(x-l)-x(2x-5)=12(8)解不等式：2x(x+l)-x(3x-2) + 2x? > x2-13 .多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。(a+b) (m+n)= 例题：(1)计算 (2x-3y) (4x+5y)= 2(2a-5)(- 2。+ 1 )=(2)化简(44解3)(a lX" - 3),并计算当4 = 1时的值。(3)如果cJ+a = l,那么(a-5) (a-6)= 。(4)如果x+q与x+的积中不含有x项，则q的值为 。(5)若使 x(x2 一 )+ 3x -

8、2h = x3 +5x + 4 恒成立，则 a=,b=(6)已知 x=(a+3)(a-4), y=(2a-5)(a+2),比较 x,y 的大小。3 .乘法公式平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。例题：(1)计算(4x+5y)(4x5y)®(-4x-5y)(-4x+5y) (m+n+pm+n-p) m+n-p)(m-n+p)任 +)(42 Z?2)(6)(ci + ba bi2 +h2 )(r/4 +Z?4)2 i 2008(2)用简便方法计算103X9714二x 15-112X10833 - 2007 x 2009 +1(3)已知/一)/=12, x+y=6,求X

9、、+)"的值。2.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。=a1 + 2ab + b2=a2 -2ah + b2例题1:(1)计算(3x+2y)2(一3一2。),a-ba + b)(2)用简便方法计算299210(a-b)2 =(a + b)2 -()(3)填空 (a + )2=(a y+()，i r i Y / ( i Y / cr + - = a + - -()= a- +(k a) a)例题2：- mn +I = m2n2 + /?4(3)949 (2)如果4/+kx+25是一个完全平方式，那么k= °(3)已知a2 +b =

10、 3,ab = 6 ,则(a + )=,( -b) =(4)已知( + /?=7,(一切2 =%则 ab =(5)已知X = 3,则12+，. =.X尸(6)已知a,b,c为AABC的三边，试确定(2+/一。2)2一4/?2的符号。4 .整式的除法（D单项式除以单项式 把系数、同底数爆分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出 现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。例题：（1）计算-aBy，3町2 （-32<J'c）+16a/+ - - ab1 j QxlOy+(2x10，)(2)多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 例题：(1)计算(

11、8/y-4/)3)+(-6/丁)®(a2 +2ab + b2)(a+b)(2)化简求值(x - y +(x+y)(x-y)+2x,其中 x=3,y=。5 .因式分解例题：下列各式从左到右属于因式分解的是()(4、 am+bm-l=m(a+b)-lx2+5x + 4 = x X + 5 + X)(工 + 4，4-4)= / -16a24-2ab+b2=(a + b)2x2+x-6 =(工-24X + 3)(3)提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积, 这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。例题：找出3x2y3,2x2y,_5/y

12、2z的公因式。例题：(1)用提取公因式法分解因式 一4a' +16，- 26一 x(in-x)-y(m - x)(2)用简便方法计算999?+999 X9+X11 - X20(Z1009 + ( 2)刘。(3)如果3x? -"1口2 =3x(x 4y2),那么 m 的值为 分解因式：xw'2 + 3xn+1 =3 ,>9)(4)当x + 2y-3z =-一,，vyz = 2,求二/)7 + 3个,一一个严的值。4.公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。例题1:(1)用平方差公式分解四式 a2-0.01/?2(x+y)2-9y2(2)用简便方法计算5352 -4652,10002 X (3)；72522 -248216(X-4-9(工+炉(1)分解因