极值点偏移极值点偏移定理

1、极值点偏移极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点X,方程f(x)O的解分别为Xi, X2,且axi X2 b,若f(xj f(2x0X2),则 曲()x。，即函数 八)在区间(Xix) ±极(小)大值点X。右(左)偏；若f(xjf(2xX),则一 x2()x。，即函数yf(x)在区间(人)上极(小)2大值点X。右(左)偏.证明：(1)因为对于可导函数y f(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x。,则函数f(x)的单调递增(减)区间为(a, Xo),单调递减(增)区间为(Xo, b),由于a Xi X2 b

2、,有 Xi Xo,且 2xo X2 Xo,又 f (xjf(2x。x?),故 x()2XoX2,所以2 ()Xo,即函数极(小)大值点X。右(左)偏;(2)证明略.左快右慢(极值点左偏m * 2x2)左慢右快(极值点右偏m左快右慢(极值Xi X29点左偏m笃生)左慢右快(极值点右偏m乙Xi X2二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1) 求出函数f (X)的极值点X。；(2) 构造一兀差函数 F (x) f (xo x) f (xo x)；(3) 确定函数F(x)的单调性；精心整理(4)结合F(0)0,判断F(x)的符号，从而确定f(xox)> f(xox)的大小关系.口诀

3、：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随 2、抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(Xi)f(X2), X。为函数f(x)的极值点，求证：Xi X2 2Xo (1) 讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点Xo；假设此处血)在(，X。)上单调递减，在(x。,)上单调递增.(2) 构造 F(x)f(X°X)f(X°x)；注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)f(x)f(2xox)的形式.(3) 通过求导F(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f (Xo X)与f(XoX)的大小关系;假设此处F(x)在(0,)

4、上单调递增，那么我们便可得出F(x)F(Xo) f (Xo) f (Xo) O,从而得到：X X。时，f(Xo x)f (Xox).(4) 不妨设Xi Xo X2,通过f(x)的单调性，f (Xi)f (X2),f (Xox)与f(X。x)的大小关系得出结论；接上述情况，由于 XX。时，f(Xox) f (Xox)且 XiXoX2, f(Xi)f (X2),故 f(Xi) f(X2)fXo(X2 Xo) fXo(X2 Xo) f(2X。X2),又因为 XiXo,2Xo X2 X。且f(X)在(，X。)上单调递减，从而得到Xi 2Xo X2,从而Xi X2 2X。得证.(5) 若要证明f (卷勺

5、0,还需进一步讨论禺与X。的大小，得岀凶禺所在的222单调区间，从而得岀该处函数导数值的正负，从而结论得证 止匕处只需继续证明:因为XiX22Xo,故XiXix),由于f(x)在(，X。)上单调递2减，故 f(XiX2) O.2【说明】精心整理(1) 此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2) 此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f，X。”与f (X°x)(或f (x)与f (2x°x)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如%乂2 2灭0或£(2)0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该

6、2小问分解为三问逐步解题三、对点详析，利器显锋芒已知函数f (x) xe X(x R)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；若 XiXa,且 f(Xi) f(X2),证明：XiX22.【解析】容易求得第即a在仆)上单调递増，在(1；皿)上单调递;丽刃刃的极值是f(r)<第(2)问：构造 F(x) = /(I + x)- /(I-jc><1 + J -(1 -xX14 ,则尹(町匸珂屛-一删当时，F(jc)>o.在(Q2)±单调递增又F(O) = G, A即/XI十力皿一TJCJ工草不妨设冯由<“知列v1?冯二1,儿/佃=/5=/1十* 一厲兮一X2 1,

7、二 2 X2 1 , f(x)在(,1)上单调递增， Xi 2 X2,二 Xi X2 2.41_函数f(x) X4 -X3与直线ya(a)交于A(xba)> B(x2,a)两点.33证明:Xi X22.【解析】设羽5, 11数3一討的里调递誠区间为0)，里鱷増区间为(1/0),有花，设F(X)=/(1十劝一7X1 血尸(力二8G一 2x+1)>Q?故F(x)单调递增区间为又F(O)=b所決当尤,0 时F(QF(0T,即兀 5 寸，/(1+Jc) >y(i-Jt),(可-D) > fa-X2)、乂兀 v1,2-耳 cl ,又函数/(© =X4-A区间为(YQ”、

8、所说巧c2无：艮卩珂+在c2-、F2.已知函数 f(x) Inx,若 XiXa,且 f(xj f(X2),证明：XiX24 .X1 .【解析】由函数f (x) - In x单调性可知：若f(xj f(X2),贝y必有Xi2X2, oX所以4 Xi 2 ,2而 f (Xi)f (4 Xi) Xi in x-iln(4 xj,4 Xi人2 2 In.令 h(x)In x ln(4 x),贝x 4 x所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x) h(2) 0 ,所以 f(XP f(4 儿)0 即 f (Xi) f (4 Xi),所以 f (X2) f (4X2),所以 Xi X2 4 .已知函

9、数f xx 2 exaxi 2有两个零点.设Xi,X2是f x的两个零点，证明：Xi X2 2.【解析】不妨设旳c巫由题肓知”>0三于(花)匸0要证不等式成立，貝需证当码咼时原不等式 成立即 可.令F (刃二/ (刃-则R (町(尸-丿)当5吋,X" <0.'陀)卩(0)二 0 即/ (1-x) 5 心舎葢=1 一码,则 f (帀)二f (丙二才(1 一(1 一盹 ) uy (i4 (i-珂)=/ (2码人即/5) </(2-幻一而帀丿一理£ 口少)，且/ (刘在(1,+x)上連曙故旳c2-羽；即八厂<2.四招式演练已知函数g x exax2

10、,其中a R,e 2.71828L为自然对数的底数，£乂是9乂的2 导函数(I)求fx的极值；(H)若证明：当 X2,且f%fX2时，为X2 0.【答案】(1)当aO时，fx无极值；当aO时,fx有极小值f In aaaln a ； (2) 详见解析【解析】试题分析：(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调 区间，从而求出函数的极值即可；(H) 求出函数f (x)的导数，设函数F (x) =f (x) - f (- x)，求出函数的导 数，根据函数的单调性证明即可.试题解析：(I) f x g x ex ax 的定义域为，f x ex a当a 0时,fx 0在x ,

11、时成立fx在上单调递增，fx无极值.精心整理精心整理当 aO 时，fx eXaO 解得 x In a由 f x 0 得 x In a ;由 f x 0 得 x In a所以f x在,lna上单调递减，在In a ,上单调递增,故f x有极小值f In a a aln a(H)当a 1时，fxexx的定义域为，f x ex 1,由f x ex 1 0,解得xO当x变化时，fx, fx变化情况如下表：00+单调递减极小值单调递增V Xi X2,且 fXi f x2 ,则 Xi 0 X2 (不妨设 X. x2)已知函数fXInx ax2,其中aR(1)若函数fx有两个零点，求a的取值范围；(2)若函数f x有极大值为1,且方程f x m的两根为Xi,X2,且Xi Xs证明：2Xi X2 4a.【答案】(1) Oai; (2)见解析.2eI【解析】试題分析：(1)先求利用导数研究函数的单调性，貝需令/(力的按犬値为彳任)二也(任)扌二0即可得结果；(2)结合(1),由的按大值求得口二$研究函数F(x)=/(x)-/(2-x)KW性可得从而可得结论.试题解析；v