2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.3.1　函数的单调性与导数 Word版含解析

1、13.1函数的单调性与导数目标 1.结合实例，借助几何直观探索并体会函数的单调性与导数的关系.2.能够利用导数研究函数的单调性，并学会求函数的单调区间重点 利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性难点 根据函数的单调性求参数的取值范围知识点一函数的单调性与其导数正负的关系填一填在某个区间(a，b)内，如果f(x)>0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)<0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减答一答1函数yf(x)在(a，b)内满足f(x)>0是f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件吗？提示：不是在某个区间内f(x)>0是函数f(x)在此区间内为

2、单调递增函数的充分不必要条件如果出现个别点使f(x)0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性例如函数f(x)x3在定义域(，)上是单调递增函数，但由f(x)3x2知，f(0)0，即并不是在单调区间内的任意一点处都满足f(x)>0.2利用导数求函数f(x)单调区间的一般步骤是什么？提示：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)>0(或f(x)<0)解出相应的x的范围当f(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数知识点二函数单调性与导数值大小的关系填一填一般地，设函数yf

3、(x)，在区间(a，b)上1如果|f(x)|越大，函数在区间(a，b)上变化得越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)2如果|f(x)|越小，函数在区间(a，b)上变化得越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)答一答3某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？提示：不是导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越来越大，而导数值越来越小4若f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如下图，则f(x)的图象只可能是(d)解析：由于导函数图象在x轴及其上方，故原函

4、数为增函数又因为导函数f(x)先增后减，说明原函数在曲线前半段上点的切线斜率逐渐增大，而后半段上点的切线斜率越来越小故选d项1函数的单调性与其导数的关系(1)在(a，b)内，f(x)>0(<0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件(2)函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是在(a，b)内，f(x)0(0)，并且f(x)0在区间(a，b)上仅有有限个点使之成立2利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)在对函数划分单调

5、区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开(4)如果函数在某个区间上，恒有f(x)0，则f(x)为该区间上的常数函数，如f(x)3，则f(x)30.类型一函数图象与导函数图象间的关系【例1】已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的()【解析】由函数yf(x)的图象的增减变化趋势判断函数yf(x)的正、负情况如下表：x(1，b)(b，a)(a,1)f(x)f(x)由表可知函数yf(x)的图象，当x(1，b)时，在x轴下方；当x(b，a)时，在x

6、轴上方；当x(a,1)时，在x轴下方故选c.【答案】c(1)利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可.(2)通过图象研究函数的单调性的方法：观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负.已知yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是如图所示的(c)解析：本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势由f(x)>0(f(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势由已知可得x的范围和f(x)的正、负，f(

7、x)的增减变化情况如下表所示：x(，0)(0,2)(2，)f(x)f(x)由表可知f(x)在(，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，在(2，)上是增函数，故满足条件的只有c，故选c.类型二求函数的单调区间【例2】(1)已知函数f(x)x2(x3)，则f(x)在r上的单调递减区间是_，单调递增区间为_(2)讨论函数f(x)x2alnx(a0)的单调性【思路分析】(1)由f(x)>0和f(x)<0划分单调区间；(2)按a>0，a0分类讨论【解析】(1)f(x)3x26x，由f(x)>0得x>2或x<0；由f(x)<0得0<x<2.所以函数f

8、(x)的单调递减区间是(0,2)，函数f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)(2)解：函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x，设g(x)2x2a，由g(x)0得2x2a.当a0时，f(x)2x>0，函数f(x)在区间(0，)上为增函数；当a>0时，由g(x)0得x或x(舍去)当x(0，)时，g(x)<0，即f(x)<0；当x时，g(x)>0，即f(x)>0.所以当a>0时，函数f(x)在区间(0，)上为减函数，在区间上为增函数综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是(

9、0，)【答案】(1)(0,2)(，0)和(2，)(2)见解析含有参数的函数单调性问题的处理方法(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了求函数f(x)3x22lnx的单调区间解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)6x.令f(x)>0，即>0，x>0，x>.函数f(x)的单调递增区间是.令f(x)<0，即<0，x>0，0&l

10、t;x<.函数f(x)的单调递减区间是.函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是 .类型三已知函数的单调性求参数的取值范围【例3】若函数f(x)x3ax21在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围【思路分析】求出f(x)的单调递减区间，利用(0,2)是减区间的子集解决【解】f(x)3x22axx(3x2a)当a0时，f(x)0，故yf(x)在(，)上单调递增，与yf(x)在(0,2)上单调递减不符，舍去当a<0时，由f(x)<0得a<x<0，即f(x)的减区间为(a,0)，与f(x)在(0,2)上单调递减不符，舍去当a>0时，由f(x)<0得0&

11、lt;x<a，即f(x)的减区间为(0，a)，由f(x)在(0,2)上单调递减得a2，得a3.综上可知，a的取值范围是3，)已知函数yf(x)在(a，b)上的单调性，求参数的范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解；(3)分离参数法.由f(x)0或f(x)0将所求参数分离到一侧，另一侧为不含参数的函数.只要求出其最值，即可求参数范围.(1)已知函数f(x)x3ax2x1在(，)

12、上是单调递减函数，则实数a的取值范围是(b)a(，)b，c(，)，(，)d(，)解析：f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，由4a2120得a.(2)若函数ya(x3x)的单调递减区间为(，)，则a的取值范围是(a)aa>0 b1<a<0ca>1 d0<a<1解析：y3a(x2)3a(x)(x)，当<x<时，(x)(x)<0，函数ya(x3x)在(，)上单调递减，所以y0，即a0，经检验a0不合题意，a>0.导数在证明不等式中的应用【例4】当x>0时，证明不等式ln(x1)>xx2.【证明】设f(x)ln(x1)，g(

13、x)xx2，f(x)f(x)g(x)，则f(x)ln(x1)xx2.函数f(x)的定义域为(1，)，则f(x)1x.当x>0时，f(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，)上是单调递增函数，故f(x)>f(0)0，从而f(x)>g(x)，即ln(x1)>xx2.【解后反思】要证明不等式g(x)>(x)(或g(x)(x)成立，可以构造函数f(x)g(x)(x)，然后再利用导数研究函数f(x)g(x)(x)的单调性，根据单调性获得f(x)>0(或f(x)0)，从而证明了不等式g(x)>(x)(或g(x)(x)已知x>1，证明x>ln(1x)

14、证明：设f(x)xln(1x)(x>1)，f(x)1，由x>1，知f(x)>0.f(x)在(1，)上单调递增又f(1)1ln2>0，即f(1)>0.x>1，f(x)>0，即x>ln(1x)1函数yx42x25的单调减区间为(a)a(，1，0,1b1,0，1，)c1,1d(，1)，1，)解析：因为y4x34x4x(x1)(x1)，所以令y<0，则有x(x1)(x1)<0，可得x<1或0<x<1，又因为端点不影响单调性，故选a.2若在区间(a，b)内有f(x)>0，且f(a)0，则在(a，b)内有(a)af(x)>0 bf(x)<0cf(x)0 d不能确定解析：在区间(a，b)内有f(x)>0，故f(x)在区间(a，b)内为增函数，所以f(x)>f(a)0，即f(x)>0，故选a.3函数f(x)x3x的增区间是，减区间是.解析：由y3x21, 令f(x)0，即x±，列表如下：xf(x)00f(x)由表可得增区间为，；减区间为.4函数yx2·ex的单调递增区间为(，2)，(0，)解析：y2x·exx2ex(x22x)ex，由y>0，ex>0得x22x>0，即x>0或x<2.5已知函数f(x)