2020人教版A数学必修第二册课时分层作业14余弦定理、正弦定理的应用举例

1、课时分层作业（十四）余弦定理、正弦定理的应用举例（建议用时：60分钟）合格基础练、选择题1 .学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m, / A= 30,则其跨度AB的长为（）A. 12 mB. 8 mC. 3V3 mD. 4V3 mD 由题意知，/A=/B = 30,所以 /C=18030 30 =120,由正弦定理得,AB ACsin C sin B即AB=AC sin C；- 二sin B4 sin 120 sin 30 4 .13.2. 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N处

2、，则这只船的航行速度为（）17 6A.-2- n mile/hJ7 .2C.-2 n mile/hB. 34V6 n mile/hD. 34M2 n mile/h如图所示，在APMN中,PM _ MNsin 45 f sin 120 MN 17 ：6 v = = 2 n mile/h.3 .我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且A, B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用 2小时追上敌舰，则速度大小为(A. 28海里/时B. 14海里/时C. 1442海里/时D. 20海里/时B 如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v,在4ABC中，AC=10X

3、2= 20海里，AB= 12 海里，/BAC=120,BC2= AB2 + AC22AB ACcos 120 = 784,；BC = 28 海里，.v= 14海里/小时.4 .在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A与底部B 的仰角分别为60和30,已知建筑物底部高出地面 D点20 m,则建筑物高度为 ()A. 20 mB. 30 mC. 40 mD. 60 mC 如图，设。为顶端在地面的射影，在 RtBOD中，/ODB=30, OB = 20, BD = 40, OD = 20V3,在 RtAOD 中，OA=ODtan 60 =60, . AB = OAOB = 40（m）.

4、5.如图所示，在地面上共线的三点 A, B, C处测得一建筑物的仰角分别为30, 45, 60,且AB=BC = 60 m,则建筑物的高度为（）A.15乖mB.2076mC.25 6mD.30.6mD 设建筑物的高度为h m,由题图知，PA= 2h, PB = V2h, PC=23h,3在 PBA和 PBC中，分别由余弦定理,/日 ,602 + 2h2-4h2得 cos/ PBA=t=,2X60X 2h602 + 2h23h2 cos/ PBC=八 ”2X60X2hPBA+/PBC=180,二 cos/ PBA+ cos/ PBC = 0.由，解得h = 306或h= 3斑（舍去），即建筑物的

5、高度为3076 m. 二、填空题6.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75,现要将其倾斜角改为30, 则坡底要伸长 千米.7r2 如图，/BAO=75, /C = 30, AB=1,丁. / ABC= / BAO- / BCA= 75 30 = 45.在AABC中,AB AC- = . -sin C sin/ABCAB sin/ABCsin C1 x号1: /2(千米) 27 .如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧 道两端的两点A, B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120,则A, B两点 间的距离为 km.AB BCBCsin C小在ABC中，易得A=30

6、。，由正弦定理 后5=萧，彳AB=CnnC= 2X1X客=镉(km).8 . 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动， 到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动,如图所示，已知 AB = 4、/2 dm, AD = 17 dm, /BAC = 45,若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点dm的C处截住足球.7 设机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上，设BC = x dm,由题意知CD = 2x dm, AC=AD CD = (17 2x) dm.在 ABC 中，由余弦定理得 BC2=AB2 + AC 2-2AB AC

7、 cos A,即 x2=(4*)2+(17 2x)2 8m(172x)cos 45 ；解得 x1 = 5, x2 = 37.3一，、一23. . AC= 17 2x= 7(dm)或 AC= 一 (dm)(舍去).3该机器人最快可在线段 AD上距A点7 dm的点C处截住足球.三、解答题9.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为华的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在 A处和B处，且/ ADB = 30, /BDC=30, /DCA=60, /ACB = 45,如图所示，求蓝方这两支精锐部队的 距离.解/ ADC= / ADB+ / CDB = 60,又. /ACD =

8、60, ./ DAC=60.3 . AD = CD = 2 a.在乙 BCD 中,/DBC = 180 30 105 =45,DB CD由正弦 JE理有 z Dnn = / cc，sin/ BCD sin/ DBC .BD = CDV6+也sin/ BCD _J4sin/DBC = 2 a J23 +乖=-4a,在 AADB 中,v AB2 = AD2 + BD2 - 2 AD BD cos/ ADB = 3 a2 +3+V3J3 3 2axax 2 =8a .6AB= ra. 4蓝方这两支精锐部队的距离为 乎a.10.岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时 10海里的 速度向东

9、南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海 监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东 750方向且相距10 海里的C处，随即以每小时10小海里的速度前往拦截.(1)问：海监船接到通知时，距离岛 A多少海里？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间. 解(1)根据题意得 /BAC=45, /ABC=75, BC=10, 所以 / ACB= 180 75 45= 60.在ABC 中，由 sin/ACB=sin/ BAC得AB=BCsin/ACB, _ = sin/BAC10sin 60sin 45310X-2_M =5/6.所以海监船

10、接到通知时，距离岛 A 5送海里.(2)设海监船航行时间为t小时，则BD = 10V3t, CD=10t,又因为 / BCD = 180 / ACB = 180 60 = 120,所以 BD2=BC2+CD22BC CDcos 120 ；一.OO1 . o所以 300t2=100+100t22X10X10t -2 ,所以 2t2 t1 = 0,-1 .解彳# t= 1或t= 2(舍去).所以CD = 10,所以BC=CD,1所以 /CBD=2(180 120 ) = 30 ,所以 /ABD=75 + 30 = 105.所以海监船沿方位角1050航行，航行时间为1个小时.(或海监船7ft南偏东7

11、5 0方向航行，航行时间为1个小时)等级过关练1 .如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸 B, C的俯角分别为75,30,此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是()A. 240(31) mB. 180(也1) mC. 12031) mD. 30(3+1) mC 由题意知，在 RtADC 中，/C = 30, AD =60 m, .AC=120 m.在 AABC 中，/ BAC= 75 30= 45, /ABC=180 45120X 30=105,由正弦定理，得 BC= sin/ABc = 1 + 7= 120(/3 1)(m). 42.甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向

12、正北航行，AB=10 千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当 甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 （）150八山15八山A.亍分钟B.尸分钟C. 21.5分钟D. 2.15小时A 如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD = 10 4t,乙行驶到C处，则AC = 6t./ BAC=120,DC2=AD2 + AC2 2AD AC cos 120 = (104t)2+(6t)2-2X (10 4t)X6tX cos 120 = 28t2-20t+100= 28 t-噌 2+675.当t=14时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为14X60=A0 分钟

13、.3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市 B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内 的时间为 小时.北1 设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP=x,在4ABP 中，PB2 = AP2+AB2 2AP AB cos A,即 302=x2 + 402 2x 40cos 45 ;化简得 x2-4Oj2x+700= 0,Xi X2|2= （xi + x2）2 4xix2= 400,|xi x2| = 20,即图中的CD = 20（千米），故 t=T=20=i（小时）4.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东 60方向的B处，两船相

14、距a nmile,乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的V3倍，则甲船应沿 方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了 n mile.北偏东303a间为t,乙船的速度为i o . sin/ CAB=2,如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时 v,则 BC=tv, AC=43tv,又B=i20,则由正弦定理sinZCAB sin B寸sin/CAB sin i20 ./CAB=30, .甲船应沿北偏东30方向行驶.又/ACB=i80 i20 30 =30,BC = AB = a n mile, . AC = AB2+ BC2 2AB BCcos 120 = yja2-ha2 2a 2 =a（n mile）.5.某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机.为了测量两山顶M, N间的距离，无人机沿水平方向在 A, B两点进行测量，A, B, M,N在同一个铅垂平面内（如图），无人机能够测量的数据有俯角和 A, B间的距离, 请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据 （用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.解方案一：需要测量的数据有：A点到M, N点的俯角 外 肌B点到M, N的俯角配，第一步：计