2018-2019学年陕西省汉中市汉台区高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

1、2018-2019学年陕西省汉中市汉台区高二下学期期末数学（理）试题、单选题1.已知集合 A 1,0,1,2,3 ,B xlog2x 1 ,则 AI B ()A. 1,2B. -1,0,1,2C. 1,2,3d.1,0,1,2,3【答案】A【解析】由log2X 1,得0 x 2,然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案【详解】 因为 A 1,0,1,2,3 ,B xlog2X 1 x0 x 2 ,所以 AI B 1,2故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算及对数不等式.1 i2.已知复数z ,则z的虚部是（）1 iD. iA. 1B.1C. i【解析】将z利用复数代数形式的乘除运算化简即可

2、得到答案【详解】521 i1 i 1 i.由题忌，z i ,1 i 1 i1 i 1 i所以z的虚部是1.故选：B本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的乘除运算，属于基础题3.在等差数列 an中，已知a1 4,数列的前5项的和为50,则a10（）A. 27B. 29C. 31D. 33【答案】C5 a a二一“【解析】 由S5 -1 5a3 50,可求出a3,结合a 4,可求出d及明。.2【详解】设数列an的前n项和为Sn,公差为d ,因为S5 5 a a55a3 50,所以一 a 3 al 10 4a3 10,则 d 1 3,故知 4 9 3 31.3 13 1故选C.【点睛】 本题考查

3、了等差数列的前 n项和，考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于 基础题.v v v . V. = v, vv v v v4,已知向量a, b满足|a| 1,|b| J3，且a与b的夹角为一，则(a b) (2a b)()6A. 1B.3C.1D.-2222【答案】A【解析】 根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可【详解】vv vv v2V2V v_、31(ab) (2ab)2aba b2 3 1 .322故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.22_5.已知曲线 与 4 1 (a 0, b 0)的一条渐近线经过点(72,76),则该双曲 a2 b2线的离心率为()

4、A. 2B. 72C. 3D.百【答案】Ab 一【解析】将点V2, J6代入双曲线的渐近线方程，由此求得-的值，进而求得双曲线a的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为y-x,将点J2, J6代入双曲线的渐近线方程得 a第13页共19页.6 - . 2 , 、3 ,故 e a a2J1 3 2，故选 A.本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题6.执行如图所示的程序框图，则输出的A ()1C.64D.1281B.32【解析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化即可得到答案由题意，输入值 A 1, n 1 ,1第一次执行，n 1 1 2, A3，n 5不成

5、立；111第一次执仃，n 2 13, A n5不成立；2 241 11第二次执仃，n 3 14, A -, n5不成立；4 28，一._.111第四次执仃，n 415,A-一一 , n5不成立;8 216111 一第五次执仃， n 5 1 6, A 一 一 一 n 5成立，16 2 32，1输出A .32故选：B本题主要考查循环框图的应用，按照框图的程序运行即可得出正确答案，属于基础题57,二项式 JX 1 的展开式x 2中的系数是()A. 10B.10C. 5D.5【答案】B【解析】 利用二项展开式的通项公式，令x的哥指数等于 2,即可求出x 2的系数.【详解】5由题意，二项式Jx 1 展开

6、式的通项公式为xr5 3r5 r 1r Tr 1 Cr 4c5 1 x 2 ,x,5 3r令2 ,解得r 3,2所以x2的系数为C；1 310.故选：B【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题8.如图，CD, BE分别是边长为4的等边 ABC的中线，圆。是 ABC的内切圆, 线段OB与圆O交于点F .在 ABC中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是A 百B C叵 D亘. 541827. 108【答案】A【解析】利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何概型计算公式计算出所求的概率 .【详解】1 _在 BOD 中， ODB 90 ,

7、OBD 30 ,因为 BD - AB 2,所以2OD 2tan30 2,即圆。的半径为 3 ,由此可得图中阴影部分的面积等于3312 36丁A.【点睛】2，,ABC的面积为4j3 ,故所求概率P _2_ Y3-.故选99 4 354本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识.属于中档题.,2 a 2x,x 19,若函数f x在R上是增函数，则a的取值氾围为()ax 1,x 1A. (,1B,0,2C. 1,2)D. (0,1【答案】D【解析】f(x)在R上为增函数，可以得到 x 1是为增函数，x 1时是增函数，并且x 1时，a 12 a 2 ,利用关于a的三个不等式求解出 a的取值范围.

8、【详解】由题意，f(x)在R上为增函数，2 a 0则a 0，解得0 a 1,a 12 a 2所以a的取值范围为 0,1 .故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的单调性以及指数函数和一次函数的单调性，考查学生的理解分析能力，属于基础题.10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()正段阳俯身图A. 2B. 1C. 1D. 233【答案】A【解析】由正视图和侧视图得三棱锥的高 h 2,由俯视图得三棱锥底面积- 1 一 S - 1 2 1 ,再利用棱锥的体积公式求解即可 .2【详解】由三棱锥的正视图和侧视图得三棱锥的高h 2,1由俯视图得三棱锥底面积 S - 1 2 1,2 112所以该三棱

9、锥的体积V-Sh-1 22.3 33故选：A【点睛】本题主要考查三视图和棱锥的体积公式，考查学生的空间想象能力，属于基础题211.已知点A, B是抛物线C： y 4x上的两点，且线段 AB过抛物线C的焦点F ,若AB的中点到y轴的距离为2,则AB ()A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用AB中点横坐标来求得弦长.【详解】设 A x1， , B X2,y2 ，则 ABX1 1 X2 1 X1 X2 2,而AB的中点的横坐标为X1 X22,所以AB 4 2 6.故选C.2【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,以及抛物线的定义和性质，考查运算

10、求解能力和化归与转化的数学思想12.已知f XXae1,3f X1f X2且XX22恒成立，则实数a的取值范围9、r 8、9民/，)c. H ) D ,e【解析】由题意可构造函数g(X)XaeX2x ,由 g (x) 0在 x1,3上恒成立，分离参数并构造新的函数h x,利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出a的取值范围.【详解】f x1f x22/曰 f X2x1f x22x20恒成立,x1 x2xx2令 g(x) f(x) 2x,即 g(x)x ae2x, x 1,3 ,则g(x)在x1,3上单调递减,所以g (x)ae x 1.2 2 0在xx1,3上恒成立,1时,g(1)2 0 成

11、立,2 0等价于a e2x2x3 时，ae x 12x2x2ex x 1 ,x 2x 1 x0，所以在 x 1,3上单调递减,x min h2 32e33 1故选：D本题主要考查不等式恒成立问题的解法,考查导数和构造函数的应用,考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题二、填空题13.在正项等比数列 an中，则a1a3 9,a5 23,公比q 【答案】3 23【解析】 利用等比数列的通项公式，列方程组，即可求出公比q.【详解】由正项等比数列 an中，aia39 , a523 得2 2ai q4aq923解得q23 (舍去).【点睛】故答案为:23本题主要考查等比数列通项公式的应用，属于基础题x

12、14,已知x, y满足约束条件x2y 41, y 50,则z x 2 y的最小值为0,【解析】由题意画出可行域，利用图像求出最优解，再将最优解的坐标代入目标函数即可求出z的最小值.2y 410的可行域如图所示,由题意画出约束条件代入目标函数,Zmin 2 2 3 8故答案为：8本题主要考查简单的线性规划问题，考查学生数形结合的思想，属于基础题15.已知 f x 4sin 2 x 一 30 ,在某一个最小正周期内，函数 f(x)图象的 511一个最高点和最低点对应的横坐标分别为J 和，则.1212【答案】1511【解析】由函数f (x)图象的一个最高点和最低点对应的横坐标分别为土和1二求得121

13、2周期T ,再由周期公式求解 即可.由函数f (x)图象的一个最高点和最低点对应的横坐标分别为1211和二122 3 、55第15页共19页/曰T得一2115一，所以T12122 .22所以2， J 2 ,即T故答案为：1本题主要考查正弦型函数周期的求法和周期公式的应用，属于基础题16 .在棱长为2的正方体ABCDABC1D1中，E是BC的中点，则C1到平面B1D1E的距离等于.4【答案】43【解析】 由题意画出正方体 ABCD ABGD1 ,求出VB1D1E的面积，利用等体积法 求解C1到平面B1D1E的距离.【详解】由题意，画出正方体 ABCD- AB1GD1如图所示,AB 2,点E是BC

14、中点，所以BE 1,在 VB1D1E 中，BiE 瓜 BDi2V2,D1E22打 23,9 5 8.5所以 cos B1ED1 产,sin B1ED1. 1 cos2 BED所以RWE1 -BE D1Esin B1ED1 23,设Ci到平面BiDiE的距离为h,由 Ve B1D1cl1 1 - - - 1 Vc1 BED1 ,信2 2 2 3h3 23一 ，4解得，h .3,4故答案为：43【点睛】本题主要考查求点到平面距离的方法、棱锥体积公式、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查等体积法的应用和学生的转化和计算能力，属于中档题 三、解答题17 .已知在 ABC 中，AC 3, C 120 ,

15、 cos A 73sin B.（1）求边BC的长；（2）设D为AB边上一点，且 BCD的面积为152,求sin BDC .【答案】（1） 3； （2） YH. 7【解析】（1）利用三角形内角和定理，将 A转化为B,化简已知条件求得 B,然后求 得A ,利用等腰三角形求得 BC的长.（2）利用三角形面积列方程，求得 BD的值，利 用余弦定理求得 CD的值，利用正弦定理求得 sin BDC的值.【详解】解：（1）由 cosA V3sinB 及 C 120 ,得 cos 60 B s/3sinB ,展开得cosB sinB V3sinB 0 , 22即 cos B 600,所以 B 30 .所以 A

16、 60 B 30 ,即 A B 30 ,所以BC AC 3.(2)由 SBCD13 BD sin302153 ,解得 bd85/32在 BCD 中，CD2BC2BD22BC BDcosB ,所以 CD,212sin BDCCD /曰 3,得sin B sin BDC2所以sin BDC211【点睛】本小题主要考查三角形内角和定理，考查三角恒等变换，考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，综合性较强，属于中档题.18 .如图，在四棱锥 SABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，BAD -,3且平面 SAD 平面 ABCD,SA SD 2J2.第23页共19页(1)证明：AD SB(2)求二面角 A

17、 SB D的余弦值.一一 、一，一 1【答案】(1)证明见解析；(2) 17【解析】(1) AD中点为O ,连接SO和BO ,证明AD 平面SOB,即可证明AD SB;(2)由(1)知，SO、BO、AD两两垂直，以。为原点建立空间直角坐标系，分别 求出平面SDB和平面ASB的法向量，即可求出二面角 A SB D的余弦值.【详解】(1)设AD中点为O ,连接SO和BO ,如图所示，在VSAD中，SA SD,。为AD中点，所以SO AD,又四边形ABCD为菱形，BAD 所以zADB是等边三角形,3。为AD中点，所以BO AD,又BO SO O ,所以AD 平面SOB ,又因为SB 平面SOB,所以

18、AD SB.(2)由(1)知，SO、BO、AD两两垂直,以。为原点建立空间直角坐标系，如图所示,则 S 0,0,2 , A 0, 2,0 , B 2百,0,0 , D 0,2,0所以 Sb25/3,0, 2 ,UUTSD 0,2,UTSA0, 2, 2 ,设平面LTSDB的法向量n1LT,n1 则LTn1IT所以RULTSB 2 3x1 2z1 uuuSD 2yl 2z1 0则Xi设平面UiASB的法向量n2X2,y2,Z2 ，LLn2 则LLn2LU所以r2UUT,SB 23x22z2ULTSA2 y2 2z2因为二面角A SB D是锐角,.LT Ui所以 cos . n1, n2ir ur

19、n1 nUTTnrr)2即二面角A SB D的余弦值为1.7【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定、由线面垂直求线线垂直和利用空间向量求二面角，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题19 .某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：组别40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男235151812女051010713（1）若规定问卷得分不低于 70分的市民称为 坏保关注者”，请完成答题卡中的2 2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过

20、0.05的前提下，认为是否为坏保关注者”与性别有关？在我市所有 环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男 环保达人”又有 女环保达人”的概率；为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动.每次抽奖获得红包的金额和对应的概率如下表:红包金额（单位：元）1020概率3144现某市民要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期望.2附表及公式：K2 n(ad bc),n a b c d(a b)(c d )(a c)(b d)P K2- k0.150.100.050.02

21、50.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）不能；（2）18；分布列见解析，75 254【解析】（1）根据题目所给的数据可求 2X2列联表即可；计算 K的观测值K2,对照题目中的表格，得出统计结论.（2）由相互独立事件的概率可得男环保达人”又有女坏保达人”的概率：P= 1- （2-）3- （3）3 18 ,解出X的分布列及数学期望552575E(X)-即可;非环保关注者”是环保关注者”合计男104555女153045合计2575100（1）由图中表格可得2 2列联表如下将2 2列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值

22、K2n(ad bc)2(a b)(c d )(a c)(b d)100(45 15 30 10)225 75 55 453.030 3.841 ，所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为环保关注者”与性别有关抽取的3名用户中既有男环保达人”又有女 环保达人”的概率为X的取值为P(XP(XP(XP(X182510,20,30,40.13324,811133 1324244 3211 133C2.,24416111124432,510)20)30)40)所以X的分布列为X1020304031331P83216323133175E(X) 10 - 2030 - 40 -832163

23、24【点睛】 本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题, 是中档题目.20 .已知椭圆"R T "在左、右焦点分别为% ,F3 ,上顶点为点 |a ,若工壮i匕是面积为痴的等边三角形（1）求椭圆C的标准方程;（2）已知二，N是椭圆C上的两点，且1人川=45，求使AOMN的面积最大时直线 瓦卜的 方程（。为坐标原点）.£ /_【答案】解（1） R-+五二 ; （2） 丫=布或,="4.【解析】（1）由1AAi是面积为如弓的等边三角形，结合性质&L b乙5 ,列出关于ab的方程组，求出庄、b,即可得结果；（2）先证明

24、直线NN的斜率存在，设直线 MN的方程为¥ - 2 m,与椭圆方程联立消去y ,利用弦长公式可得lkfNl +.）小心一 4亚化简得""+ .原点。到直线MN的距离为d -周庐7, Bonn的面积=KTNld =入耳,当d最大时，山。MN的面积最大.由= 4-(m2-2),利用二次函数的性质可得结果【详解】（1）由上壮一14是面积为4日的等边三角形，得所以|c = d, b-入月，从而la = 4,所以椭圆口的标准方程为正,台一 L（2）由（1）知，当MN 1匕轴时，= 4。，则卜外为椭圆C的短轴，故有M , N|, 0三点共线，不合题意所以直线hm的斜率存在，设

25、直线 足的方程为¥ =丘4111,点:&21，点&1。），联E+d = 1立方程组,二kN-m消去卜,(4k2 + 3)x* + 8kmx + 41r2-48 = 0所以有滥FKkm帚74k' + 2因为/ $1 i,所以有。/且|一777,原点0到直线ImN的距离为d -AOMN的面积S - 2lxrNld = 2四,所以当J最大时，bONN的面积最大因为一六-"m-r所以当|rt?二二时，M取最大值为3, OMJN面积的最大值3二N21二S把：口= = 口弋入一 二4-1/ + Lk-0,得k = U,所以有% =3即直线|MN的方程为y二值或|

26、y二3.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于Lbs的方程组，解出ib从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用熏差法”解决，往往会更简单.2 a a o21 .已知函数 f x a ln x x ax a 02(1)当a J3时，求f(x)的单调区间;11?00,(2)若f x在x 1处取得极大值，求a的取值范围【答案】(1)增区间为(0,1),减区间为(1,+? )；(2)a【解析】(1)将a J3代入函数解析式，求出f(x),利

27、用导数值判断f(x)的单调区间即可;a a 1 x a x 1 一(2)由题求得f x a,对a进行分类讨论，判断 f x在x 1处取得极大值时a的范围即可.【详解】(1)由题意，当 a J3时，f x 31n x 一x x2 J3x x 0 , 2所以f x x3 .3 x ,33 V3 x 3 x 1x令f (x) = 0 ,解得x1f,x)>0,解得 0 x 1; f,x)<0,解得，x 1;所以f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1，+?)；(2)由题意，f x2a 2 a a x a xa a 1 x a x 1x 0 ， x第29页共19页当a 1时，f x

28、f,x)>0,解得 0 x 1； f,x)<0,解得，x 1;所以f(x)在x 1处取极大值；当 a 1 时，令 f (x) = 0 ,得 xa , x2 1, a _当 0时，即a 1,或a 0时， a 1f,x)>0,解得 0 x 1； f,x)<0,解得，x 1；所以f(x)在x 1处取极大值；当0-a- 1 ,即 1 a 0时，a 12f,x)>0,解得占 x 1, f(x)<0,解得，0 x 缶，或 x 1;所以f(x)在x 1处取极大值；- a1当 -a- 1,即a ，时,a 120，故f (x)不存在极值;4x12时,解得, a当 1时，即 1a 1f,x)>0,解得，1 x所以f (x)在x 1处取极小值;综上，当f x在x 1处取得极大值时，a112，00，本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查了分类讨论的思想，属于中档题_ x a(1 Sint)22.在直角坐标系xOy中，曲线Ci ：(a 0, t为参数).在以坐标y acost原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：(R).6(1)说明Ci是哪一种曲线，并将 Ci的方程化为极坐标方程；(2)若直线C3的方程为yJ3x ,设C2与Ci的交点为O , M , C3与Ci的交