2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学(理)试题(解析版)

1、2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（理）试题一、单选题21 .已知命题 p: x R, x 2 1g x ,命题 q： x R, x 0 ,则（）A.命题p q是假命题B.命题p q是真命题C.命题p （ q）是真命题D.命题p （ q）是假命题【答案】C【解析】试题分析：先判断出命题 p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即 可得到正确结论.解：由于x=10时，x-2=8, 1gx=1g10=1 ,故命题p为真命题，令x=0,则x2=0,故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题pVq是真命题，命题p A q是假命题，q是真命题，

2、进而得到命题pA （q）是真命题，命题 pV （q）是真命题.故答案为C.【考点】 全称命题；复合命题的真假.2 .在 3ABU中，a = B = |BC = O,则ABA . 5dB.C. 5后D.愕|【答案】D【解析】 根据三角形内角和定理可知 C - 45%再由正弦定理即可求出AB.【详解】由内角和定理知 C - 18阴-（60。+ 750 - 45°,所以冷翳即,口=奥亚=业创r=幽" 'biA eiilISD' 3 '故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题x- y > 03 .若实数x, y满足N亍,则上=*到的最小值为（

3、 > 0A. 2B. 1C. 0D.I-)【答案】D【解析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值.【详解】画出实数x, y满足卜I y =表示的平面区域，如图所示；第20页共16页平移目标函数七-改即，y=） 当目标函数过点 A时，z取得最小值, 由 I 十 解得 A（L1,尸的最小值为2 I - 1 <1故选：D.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的般步骤是 画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或

4、最 后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值4 .我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增, 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两 层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯B. 3盏D. 9盏A . 1盏C. 5盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的ai盏灯，由题意an是公比为2的等比数歹I,S7= a1 1 2 =381, 1 2解得ai=3.故选B.115.已知实数a, b 0, a, b的等差中项为一，设m a ,n 2a最小值为（）D. 6A. 3B. 4C. 5【答案】C【解

5、析】【详解】试题分析：由题意得 a b 1 ,1,11 a b 1 Q ab a b ab2m n 5 .最小值为 524【考点】1.等差中项；2.均值不等式求最值6.已知四棱锥P ABCD的底面是正方形，且PA底面ABCD, PA AD,则异面直线PB与AC所成的角为（）BCA. 90oB. 60oC. 45oD. 30o【答案】Burn uuu uuruuur uuu【解析】可设AB 1,以AB, AD, AP为正交基底建系， 求出AC, PB的坐标，代入夹 角公式，即可求出结果.【详解】 以点A为原点，AB, AD, AP所在直线分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系,X设 AB 1,则

6、 A(0,0,0) ,C(1,1,0), P(0,0,1), B(1,1,0), uuuruuu则 AC (1,1,0), PB (1,0, 1),uuur uur设AC,舐夹角为.则cose uUUC PBU L|AC| |PB| 2所以60o，即异面直线PB与AC所成的角为60o .故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题.7.若不等式 ax2 x a0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为（A. aC. a1 .一或a212B.D.1.a 一或 a 021 1-a -2 2a 0【解析】 根据题意得出，由此求出a的取值范围0解：显然a=0,不等式不恒成立，

7、所以不等式ax2 x a 0对一切实数x都成立,a 00，a 021 4a201斛得a 一, 2，1所以实数a的取值范围是a -.2故选C.【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题8.过抛物线y2 2 Px(p 0)的焦点F作倾斜角为60o的直线交抛物线于 A、B两点，若线段AB的长为8,则P ()A. 3B. 1C. 3D. 4【答案】C【解析】写出过焦点的倾斜角为 60。直线方程，与抛物线方程联立，消去 y得关于x的元二次方程，由根与系数的关系和抛物线的定义写出|AB|的值，列方程求得P的值.由题意可知过焦点(E,0)的倾斜角为260。直线方程为y J3(xy

8、 点(x ),2由2消去y可得3x2y2 2px,5px5x2二 P,3所以 | AB| | AF | | BF | % x2P 8,解得P 3.故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题.9 .如图，已知顶角A为60。的三角形ABC满足AB AC 4 ,点D , E分别在线段 AB和AC上，且满足EC 2AD ,当 ABC的面积取得最大值时，DE的最小值为()B, 217【解析】先求 ABC的面积s 1 ab AC sin 60o AB AC，然后利用基本不等 24式确定AB, AC的值，设AD x,则EC 2x, AE 2 2x,进而在 ADE中,利用余弦定理将

9、 DE2表示为x的函数，从而求出 de的最小值.【详解】1 o ：3-/3 AB AC 2ABC 的面积 S AB ACsin60o AB AC () B2 442当且仅当AB AC 2时取等号，此时 ABC为等边三角形，又 EC 2AD,设 AD x,则 EC 2x , AE 2 2x ,显然 x (0,1),在ADE中，由余弦定理，得DE2 AD2 AE2 2AD AE cos60o x2 (2 2x)2 x(2 2x) 7x2 10x 4 5其对称轴为x ，又x (0,1)当x 5时，DE2取得最小值9 ,故DE的最小值为叵 .777故选：B.【点睛】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应

10、用、基本不等式、函数最值的知识考查数形结合能力、运算求解能力，属于中档题.二、填空题10.已知不等式ax2 3x 2 0的解集为x|1 x b,则a b .【答案】3【解析】由不等式的解集，得到方程 ax2 3x 2 0的解为1和b ,由根与系数关系即可求出a,b的值，进而求出a b的值.【详解】解：因为不等式ax2 3x 2 0的解集为x|1 x b,所以1和b为ax2 3x 2 0的解，3由根与系数的关系可得1 b ,1 b 2,所以a 1, b 2,a则 a b 3 .故答案为：3【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程根之间的关系.11.设

11、等差数列an的前n项和为Sn,若S39,S636 ,则a,a8【解析】 根据等差数列的前n项和转化为关于a1和d的数量关系来求解Q等差数列an的前n项和为Sn, S3 9, S6 36 ,3 3 1S3 3 al d则有26 6 1S6 6ald29,解得36a1 1d 2a, a8 a9a1 6d s1 7d a1 8d 3a1 21d3 1 21 2 45故答案为45【点睛】本题考查了等差数列前 n项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于a1和d的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。12 .一艘轮船从港口 A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西 10o的方

12、向直线航行，在港口 A处测得灯塔M在北偏东50o方向，航彳T 40分钟后，轮船与灯塔的距离是 5曲海里，则灯塔 M与港口 A的距离为 海里.【答案】5【解析】在 ABM中，利用正弦定理计算AMB得出 ABM是直角三角形，再计算AM即可.【详解】设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知 AB 10海里，BM 5J3海里，MAB 600,snBMAB AB在ABM中，由正弦定理可得 sin AMB即 10 o 晅，解得 sin AMB 1,所以 AMB 90°， sin 60 sin AMB1.在 Rt ABM 中， ABM 30°,所以 AM -AB 5海里.2故答案为：5.

13、【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.22x y13 .已知双曲线一2 q 1(a 0,b 0)右支上有一点 A,它关于原点的对称点为 B, a b 一 uur uuu 一 冗一 一一 一 双曲线的右焦点为 F ,满足AF BF 0,且 ABF ,则双曲线的离心率e的值是【答案】，3 1【解析】 运用三角函数的定义可得AF| 2csin- c,|BF|62ccos V3c ,取左 6焦点F ',连接AF ',BF ',可得四边形AFBF '为矩形,由双曲线的定义和矩形的性质,可得J3c c 2a ,由离心率公式可得结果.【详解】uuin uui

14、nAF BF 0，可将 AFBF,在 RtVABF 中，OF c,AB 2c,在直角三角形ABF中，ABF 一,6可得 AF 2csin - c , BF 2ccos V3c, 66取左焦点F ,连接AF ,BF ,可得四边形AFBF为矩形,|BF AF |l AF AF 用c c 2a, c 2e - -r= V3 1,故答案为 33 1 . a .3 1【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法以及双曲线的应用，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出a,c,从而求出e；构造a,c的齐次式，求出e；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求

15、解.三、解答题14 .已知命题p：实数x满足mx 1 0(m 0),命题q：实数x满足3x 1 x 20.(1)当m 1且p q为真命题时，求实数 x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数 m的取值范围.1 1【答案】1- ; (2) 0 m -.3 2【解析】(1)当m 1时，求出p,q为真命题的等价条件， 结合P q为真命题时，则p, q 同时为真命题进行求解即可；(2)将p是q的必要不充分条件转化为对应集合之间的关系进行求解即可.【详解】当m 1时，由mx 1 0得x 1 0,解得x 1,所以p:x 1,11由(3x-1)(x+2) <0得 2 x ,所以命题4： 2

16、x33若p q为真命题时，则 p,q同时为真命题，x 11即1 ,得 1 x 一，2 x -33 1所以实数x的取值范围是(1-).由 mx+1>0(m>0),得 x11若P是q的必要不充分条件，则 (2,)(,),3m1_1则一2,即 0m,m21所以实数m的取值范围是0m1.2【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键.15.在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知c 2, C -. 3(1)若 ABC的面积为J3 ,求a, b的值；(2)若 sinA 2sinB ,求 ABC 的面积.【

17、答案】(1) a b 2, (2)213【解析】(1)由余弦定理可得4 a2 b2 ab ,利用三角形的面积公式可得 ab 4,联 立即可得解a,b的值.(2)sinA 2sin B利用正弦定理可得 a 2b,再结合由余弦定理得 4a2 b2 ab,解方程组可得a,b的值，再根据三角形的面积公式即可得到结果.在ABC中，由余弦定理，得 c2 a2 b2 2abcosC，即4 a2 b2 ab,所以 ABC的面积S -absinC 2近ab=«,所以ab 44由解得a 2,b 2.(2)因为 sin A 2sin B ,所以 a 2b又在 ABC中，由余弦定理，得22,2cab 2ab

18、cosC ,b2ab,解得a2.331.14.32,332<3所以 ABC 的面租 s ab sin C - - -223323【点睛】本题主要考查余弦定理， 三角形的面积公式及正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16.设an是公比为正数的等比数列 ai 2, a3 a2 4.求an的通项公式；2n（2）设anbn 一一，求证：数列 b的前n项和Tn 1. n n【答案】an 2n； （2）见解析.【解析】（1）设2口是公比为q（q 0）的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q,再利用等比数列通项公式，即可求出所求通项；(2)将 an2n代入

19、anbn2n一一可求得bn n n-,再由数列的裂项相消法求和，结n合不等式的性质即可证出.设an是公比为q(q0）的等比数列,由 a12 ,a3a224 ,可得2q 2q4,解得2或q 1 （舍去）所以an2 2n 12nn(2)由(1)知 an 2 ,所以anbn2nn2 n所以bnn n(n 1)所以数列bn的前n项和Tnb1b2 L a 11因为n 1本题考查等比数列的通项公式的运用,考查数列的裂项相消法求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题.17.某商家计划投入 10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为x(0 x 10)万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为f(

20、x)万元与g(x)万元,10X1 cc一、 -0x6一其中f (x) x 2, g(x) x 1,当该商家把10万元全部投入2x2 ax 45(6 x 10)经销乙商品时，所获收益为5万元.(1)求实数a的值；(2)若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益.【答案】(1)a 15; (2)投入甲商品的资金为 8万元，投入乙商品的资金为 2万元，此 时收益最大为17万元.2【解析】(1)将x 10代入g(x) x ax 45(6 x 10),即可求出a的值；(2)根据分段函数求出x在0 x6和6 x 10内的收益函数，分别利用

21、基本不等式和二次函数求出两段的最值，然后比较大小即可得出结果.215.依题意可得g(10)102 10a 45 5,解得a(2)设投入B商品的资金为x万元0 x 10,则投入A商品的资金为10 x万元,设收入为S(x) 万元，则 S(x)f(x) g(x)当0x 6 时，f(10x)12 x,g(x)10x则 S(x)12 xx 113(x 1)10(x1) 923(x 1占)x 12317 ,当且仅当2时，取当610时,则S(x)(12x) ( x215x 45)14x 33(x7)2 16,因为610,所以此时 S(x)max 16,因为16 17,所以最大收益为17万元,2万元，此时收益

22、最大，为 17答：投入甲商品的资金为 8万元，投入乙商品的资金为万元.【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键.18.如图，平面 ABCD 平面ADEF ,其中四边形 ABCD为矩形，四边形 ADEF为 梯形，AFDE, EF BF , AB AF 2DE 2 , AD B(1)求证：EF 平面ABF ;(2)求二面角A BF D的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) 述5【解析】(1)因为平面ABCD 平面ADEF ,利用面面垂直的，f质定理可得 AB 平面ADEF ,进而彳#到 AB EF ,又EF BF ,根据线面垂直的

23、判定定理即可证出；(2)以F为原点AF ,FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系 F xyz，分别求出平面 ABP和平面BFD的法向量，用向量法即可求出二面角A BF D的正弦值.【详解】(1)因为平面ABCD 平面ADEF ,其中四边形 ABCD为矩形， 所以AB AD , AD 平面ABCD,平面ABCD I平面ADEF AD ,所以AB 平面ADEF，又EF 平面ADEF ,所以 AB EF ,又 EF BF , ABI BF B , AB, BF 平面 ABF ,所以EF 平面ABF ,(2)由知，EF 平面ABF , AF 平面ABF ,所以EF AF，以F为原点，AF ,

24、FE所在的直线分别为 x轴，y轴建立空间直角坐标系 F xyz.在梯形ADEF中，作DG ,AD2 DG2"(峋2 i2 衣，所以ef &,则 F(0,0,0), A(2,0,0) , B( 2,0,2) , D( 1,72,0) , E(0,V2,0)所以uuir_BD (1,、2,2)，uuirrBF (2,0, 2),设平面BFD的一个法向量为n(x, y, z)，则由v nv nuuuvBD 0uuv ,即BF 0上y 2z 02x 2z 0'DG AF ,垂足为G ,则AG 1 ,所以由(i)知,EF平面ABF所以可取平面urABF的一个法向量muurFE(0,72,0),所以cosur rm, nur rm n-urr-|m| |n|设二面角A BF D的大小sin 02-trH5 21 cos m,n .1 (一)2/555即二面角A BF D的正弦值R5 .52219.已知椭圆G： '与a b点重合，且椭圆的离心率为本题考查面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，同时考查二面角的正弦值的求 法，考查基本运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.1(a b 0)的一个焦点与抛物线 C2 ： y2 4j2x的焦(1)求C1的方程;(2)过点P(0,2)的动直线l与