二次根式复习讲义

1、二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 和（。2 0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当Q是一个非负数时， 4才有意义.【典型例题】【例 1】下列各式（1） C，2）G,3） Jx2+2,4）",5） j（，1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、五 B、7710 C、431D、Ja2+12、在向星、后1、后针、石中是二次根式的个数有 个【例2】若式子下有意义，则x的取值范围是、x-3举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（）A、x>3B、x泠C、x>4D、x冷且 x刃2、使代数式J-x2+2x-1有意义的x的取值范围是

2、3、如果代数式J二m 十 1二有意义，那么，直角坐标系中点P （m, n）的位.mn置在（,6）*0,7）八22a + 1 , 其中是二次根式的是 （填序号）.举一反三：A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 3】若 y= vx -5 + J5 - x +2009 ,贝U x+y= ，、_ _x -5-0一解题思路：式子百（a冷），<,x = 5, y=2009 ,则x+y=20145-x_0举一反三：1、若 Jx 一1 J1 x =（x + y）2 ,则 x y 的值为（）A. 1 B. 1 C. 2 D. 32、若x、y都是实数，且y=2x -3+J3 -2x +4 ,

3、求xy的值3、当a取什么值时，代数式 怎占+1取值最小，并求出这个最小值。4、已知a是 褥整数部分，b是 看的小数部分，求a+，的值。b 25、若73的整数部分是a,小数部分是b,则J3a-b=。216、若S7的整数部分为x,小数部分为y,求x 的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：va（a至0）是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. （4a）2 =aa >0）.注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a = （八）2（a20）3. a2=|a|= a：；*注意：（1）字母不一定是

4、正数.（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.4.公式"=冏尸"）与（ja）2=aa至0）的区别与联系-a（a ： 0）（1）局2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.（2）（指）2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.（3） Y/和（由）2的运算结果都是非负的.【典型例题,【例 4】若"N+by42=0，则 a-b + c= .举一反三：1、若 Jm -3 +(n +1)2 =0 ,贝1J m +n的值为2、已知x,y为实数，且JT=1 +

5、3（y-2f =0 ,则x - y的值为（）A. 3 B. - 3 C. 1 D.13、已知直角三角形两边 x、y的长满足| x24 | + Jy2-5y + 6=0,则第三 边长为. 20054、若ab*1与4a+2b+4互为相反数，贝U（a-b）=。at二：二次根式的性事2（公式（益）2 =a（a至0）的运用）【例5】化简：a-1 + （序3）2的结果为（）A、42aB、0 C、2a 4 D、4举一反三：1、在实数范围内分解因式：x 3= ； m44m?4 =2、化简：V3 -V3（ 1 -"73）SB ：二次线的颔33、已知直角三角形的两直角边分别为72和75,则斜边长为(公式

6、*F=1a=/(a之0)的应用)-a(a <0)【例6】已知x <2，则化简收4乂 +4的结果是A x -2B、x+2C -x-2D 2-x举一反三：1、根式J(-3)2的值是()D. 9A. -3B. 3 或-3C. 32、已知a<0,那么| Va22a |可化简为()A.a B . a C .3a D .3a3、若 2Ya13,贝(J J(2a 2 _J(a_3(等于()A. 5-2a B. 1 -2a C. 2a -5 D. 2a-14、若a-3<0,则化简'a2-6a'A4-a的结果是()(A) -1(B) 1(C) 2a 7(D) 7-2a.

7、. 25、化间 J4x -4x+1 J2x-3 )得(A)2(B) -4x + 4(C) - 2(D) 4x-4.a2-2a 126、当avl且a却时，化简 a -a =.4 -(a -)2 - 4 (a -)27、已知a<0,化简求值：a a V a【例7】如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简I a bl+J(a+b)2的结果等于()9-aoA. 2bB. 2bD. 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:a-1 +7（a32）2=.;1【例81化简1 -x JX -8x+l6勺结果是2x-5, x的取值范围是（）（A） x 为任意实数（B） 13g（

8、C） x>1（D） xW举一反三：若代数式 夜二疗十而二4了的值是常数2,则a的取值范围是（ ）A. a >4B. a< 2 C. 2< a< 4 D. a=2 或 a = 4【例9】如果a +Ja2 2a+1 =1 ,那么a的取值范围是（）A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a<11、如果a+jaT二60工9 =3成立，那么实数a的取值范围是（）2、若J（x-3）2 +x-3 = 0,则x的取值范围是（）(A) x>3(B) x<3(C) x 之3(D) x<3【例10】化简二次根式aJ-a42的结果是 a(A)，

9、-a -2(B) -%/-a -2(C) Ja -2(D) - Ja -21、把二次根式aj化简，正确的结果是()aA. . -aB. T=aC. aD. .a2、把根号外的因式移到根号内：当 b >0时，b Jx = x知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：(1)最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.2、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例 11】在根式 1) Ja2+b2 ;2) x

10、；3) Jx2-xy;4) J27abc ,最简二次根式是()A. 1) 2) B. 3)4) C. 1) 3) D. 1)4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1 、J45a,石0f；22,440b2,扇417(a2 +b2) 中的 最简二 次根式:2是 02、下列根式中，不考.最简二次根式的是()D.a. 77b. 73 c.2bC.43、下列根式不是最简二次根式的是 ()D. 0.1yA.、. a2 1B. 2x 14、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？,3a2b3ab(2) , 2 x2 y2(4)、a -b(a b)(5) 5(6) 8xy 5、把下列各式化为

11、最简二次根式:(1) 12(2) . 45a2 b【例12】下列根式中能与内是合并的是（）A. 8B. 27C.2 5 D.:2举一反三:1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（D、，a -1和Va-1A、值和 M B、73和J1C、702b和Vab22、在二次根式：河.；|；历中，能与后合并的二次根式是3、如果最简二次根式J3a -8与、,17 - 2a能够合并为一个二次根式,则 a=知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】1 .分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 .有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两 个代数式互为有理化

12、因式。有理化因式确定方法如下:单项二次根式：利用 后,西=2来确定，如：n与内，Ja+b与Ja + b , y'a -b与 后二b等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。 如a+Tb与a加，由十/与由-而, a x - b, y与a-、x -b、y分别互为有理化因式。3 .分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】 把下列各式分母有理化若11250【例14】把下列各式分母有理化(3)2 ab2b5【例15】把下列各式分母有理化:(2)3 33

13、.2- 231、已知x=2£, 丫=出1,求下列各式的值:2 ,32 -，3(1)x yx- y(2)22x -3xy y2、把下列各式分母有理化:a -ba 2 - ；a -2E许G(3)b - a2 b2b 、 a2 b2小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类:G与石; ? 4+柩与石一/；也与"也；？?？ 冽石+川忑与沸石f 4 .知识点五：二次根式计算一一二次根式的乘除【知识要点】1 .积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积。Obb = Va Vb （a/，b/）2 .二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的

14、算 术平方根。Oa bb = Obb . （a冷，b冷）3 .商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根1 =（a /，b>0 ）4 .二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。<a.丁a （a冷，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变 形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二 次根式.【典型例题】【例16】化简.9 16（2） 16 815 2.15（4） 9x2y2 （ x 一 0, y 一 0 ）【例 17】计算(1) J%x256 ?(2

15、) 712? ?【例18】化简:.642(a 0,b_0)借(x-0,y 0)(4).,i69y2(x -0,y 0)【例计算:噂存 后出x 二、xA、x>2B、八0C、0MxM2D、无解64词)知识点六：二次根式计算一一二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式 （即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式， 通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数 .【例20能使等式Vx2 技工成立的的x的取值范围是（【典型例题】【例20】计

16、算(1 )辰1屎+20.55 -3J; 2. 27(4)633 1/271+ f %/28 -48+J147 i23247【例21】(1) 3g入耳(2) 4r+匹¥x-y , 4x 4y.a /ba-b(3) lj27a 1 48 ) -a2 J3 +3aJaaJ108a(4) a./1 +V4b - I - -b./13a 1, 3 4. a2 b G.5a"加 (6) M+JZ.0+J- a1' y ' x x y知识点七：二次根式计算一一二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有

17、理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化;【典型习题】25,33、,c bab ( - -a b)"3, b2, a3、2-4、(，72+广)737762.36、 (3 + 2<5)2 _(4 + V5)(4-,5)5、 (2<3 +372 -<6)(2<3 -32)7、(26 -5)10(276 +5)118、1m/9m-(10m<(- -2m2/) (m >0) 325. mw* - 4s + 4 +-2曰十 1【例21】1.已知：1<&42,求 "2"1 的化j5 +1/ +工 +12 .

18、已知一 2一 ，求的值3 .已知：J+b?-4a-26+5=O ,求 口 + 向 的值.4 .求+小+用的化心。- 9 + - £ - 25 .已知工、了是实数，且示 ，求灭+6了的化知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当aA0,bA0时，如果a Ab,则JOJb;如果a<b,则.a :,b o2、平方法 当a >0,b>0时，如果a2 >b2,则a >b ；如果a2 < b2 ,则a<bc3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：a-b>0u ab; a - b ： 0 二 a 二 ba1 a ' b8、求商比较法它运用如下性质：当a>0, b>0时，则：b;（2a一：二 1 = a ： bb【典型例题】【例22】比较3娓与5邪的大小。（用两种方法解答）【例23】比较常与冷的大小。【例24】比较55 -后与济4 - J13的