0701向量及其线性运算ppt课件

1、联系方式联系方式 张梅荣张梅荣 手机：手机：1352211960613522119606 邮箱：邮箱：meirongmeirong 办公室：校本部教办公室：校本部教A A楼楼424424室室 ：6026116660261166第第 七七 章章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 第第 八八 章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第第 九九 章章 重积分重积分第第 十十 章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第十一章第十一章 无穷级数无穷级数主要教学内容主要教学内容:第一节第一节 向量及其

2、运算向量及其运算一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .a21MM模为模为1 1的向量的向量. .模为模为0 0的向量，的向量，. 0 表表示示用用|a21MM| |向量的大小，向量的大小，或或或或一、向量概念复习）一、向量概念复习）1.向量：向量：2.向量的表示方法：向量的表示方法：5.零向量：零向量：3.向量的模：向量的模：4.单位向量：单位向量：6.向量相等：向量相等：模相等且

3、方向相同的向量模相等且方向相同的向量, ,ab记作记作a.b 表示表示.用用第一节第一节 向量及其运算向量及其运算a或或21MM表示表示.方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量, , 记作记作a.b/abba /0:约约定定不考虑起点、终点位置的向量不考虑起点、终点位置的向量. .若两个向量平行于同一条直线若两个向量平行于同一条直线, ,则称两向量共线则称两向量共线.(.(也称为平行也称为平行) )若若k(k3)k(k3)个向量平行于同一个平面个向量平行于同一个平面, ,则称这则称这k k个向量共面个向量共面. .模相等但方向相反的向量模相等但方向相反的向量. .a a.aa 的的负负向向量

4、量记记作作8.向量平行：向量平行：7.自由向量：自由向量：10.向量共线：向量共线：11.向量共面：向量共面：9.负向量：负向量：12.两向量相互垂直两向量相互垂直: 若两个向量处于同一平面时所在的若两个向量处于同一平面时所在的两条直线相互垂直两条直线相互垂直. .记作记作a.b 1、向量的加法复习）：、向量的加法复习）：cba abc平行四边形法则平行四边形法则特殊地：假设特殊地：假设ababba |baba (同向和反向同向和反向)baba |baba （三角形法则）（三角形法则）二、向量的线性运算二、向量的线性运算 (向量的加减法，向量与数的乘积向量的加减法，向量与数的乘积)abcba

5、cb)(cba cba )(向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1交换律：交换律：.abba （2 2结合律：结合律：.)()(cbacbacba （3 3零律：零律：.0 , 0)(aaaa s3a4a5a2a1a54321aaaaas 三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .cb 2、向量的减法复习）：、向量的减法复习）：cbaba )(abba ba 三角不等式：三角不等式：|,|baba . |baba ,0)1(时时 ,0)2(时时 ; 0 a ,0)3(时时 aa2a21 3、向量与数的乘法数乘）：、向量与数的乘法数乘）：, 是是一

6、一个个向向量量是是一一个个实实数数设设a ,是一个向量是一个向量规定规定 a ;同向同向与与aa .反向反向与与aa ,aa 的的乘乘积积记记作作与与|,|aa aa的负向量的负向量.)1(a 而且而且数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1结合律：结合律：)()(aa .)(a （2 2分配律：分配律：,)(aaa .)(baba .0ababa ，使，使存在唯一的实数存在唯一的实数的充分必要条件是：的充分必要条件是：平行于平行于，向量，向量设向量设向量定理定理两个向量平行的充要条件两个向量平行的充要条件: :证证 只需证必要性只需证必要性ab设设, ab记记

7、,同向同向与与若若ab反向，反向，与与若若ab;ab ,同同向向与与 ab aa 且且aab ,b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，0 a ，0 a，故故0 , 即即, ab记记. ab 仍仍有有.0ababa ，使，使存在唯一的实数存在唯一的实数的充分必要条件是：的充分必要条件是：平行于平行于，向量，向量设向量设向量定理定理.证证毕毕例例1 1 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC 得证得证.由题意由题意如图如图,ABCDM必是平行四边形必

8、是平行四边形.,平平行行且且相相等等与与边边边边BCADMC BM 练习练习 证明证明:bap 515251)5351(ba252 ,54 ,53215 baqabbbap 设设./: qp试证明试证明21 ,21q ./qp a4()5b按照向量与数的乘积的定义，有按照向量与数的乘积的定义，有, aea aaaea|10 .|aa (2)数轴与向量的关系：数轴与向量的关系：Ox1iPx,的坐标的坐标称为点称为点数数Px.反之也对反之也对 OP?|a, i x同同方方向向的的单单位位向向量量，表表示示与与非非零零向向量量或或通通常常用用aaea0)1(阐明阐明: : a则有单位向量则有单位向量

9、因此因此aaa aa上式表明：一个非零向量除以它上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量向的单位向量. .同同方方向向的的单单位位向向量量，表表示示与与非非零零向向量量设设aa.1aaiP xOxi xOPP 向向量量点点,OxiO确确定定了了数数轴轴及及单单位位向向量量设设点点,OPP 对对应应一一个个向向量量对对于于轴轴上上任任一一点点OPii xOP 一一一一对对应应与与实实数数所所以以xOP的的坐坐标标。为为轴轴上上点点定定义义：实实数数PxixOPxP 的的坐坐标标为为点点x实数实数x 横轴横轴y 纵轴纵轴z 竖轴竖轴坐标原点坐

10、标原点 O1、空间直角坐标系、空间直角坐标系右手系右手系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系ijk2 以以 的角度转向的角度转向 y 轴的轴的正向，正向， 各轴正向之间的顺序通常各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定按下述法则确定:以右手握住以右手握住 z 轴，轴， 让右手的四指从让右手的四指从 x 轴的正向，轴的正向，图图 8 1这时大拇指所指的方向就是这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向轴的正向. 这个这个法则叫做右手法则法则叫做右手法则.右手法则右手法则xoy坐标面坐标面yoz坐标面坐标面zox坐标面坐标面空间直角坐标系的空间直角坐标系的3张坐标面和张坐标面和8个卦限个卦限xyoz坐标原

11、点坐标原点-O坐标平面坐标平面-每两个坐标轴确定的平面每两个坐标轴确定的平面坐标轴坐标轴x 轴、轴、y轴、轴、z轴轴x oy 平面，平面，y oz 平面，平面，z ox 平面平面.若干概念若干概念卦限卦限 这些坐标平面把空间分成八个部分，每一个这些坐标平面把空间分成八个部分，每一个称为一个卦限称为一个卦限. x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第轴的正半轴的卦限称为第 I 卦限卦限.xyzO从第从第 I 卦限开始，卦限开始， 从从 Oz 轴的正向向下看，轴的正向向下看， 按逆时按逆时针的方向针的方向 ，先后出现的卦限依次称为第，先后出现的卦限依次称为第 、 卦限卦限; 第第、 、 、 卦卦限下面的

12、空间部分依次称限下面的空间部分依次称为第为第 、 卦卦限限.空间中的点空间中的点M三元有序数组三元有序数组),(zyx特殊点的坐标特征特殊点的坐标特征:ABC坐标轴上的点、坐标面上的点坐标轴上的点、坐标面上的点2、空间点的直角坐标、空间点的直角坐标xyzoM称为点称为点M的空间直角坐标的空间直角坐标.PQR)0 , 0 , 0(Ox)0 , 0(y), 0 , 0(z)0 , 0 ,(xyz)0 ,(yx), 0(zy), 0 ,(zx11 特殊点的坐标特征特殊点的坐标特征:ABC坐标轴上的点、坐标面上的点坐标轴上的点、坐标面上的点xyzoMPQR)0 , 0 , 0(Ox)0 , 0(y),

13、 0 , 0(z)0 , 0 ,(xyz)0 ,(yx), 0(zy), 0 ,(zx,kzj yi x OM向向径径AMOA OROA ORPAOP OROQOP ,的的坐坐标标分分解解式式称称为为向向量量OM关于向径关于向径,分向量分向量.向向量量的的坐坐标标四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算kajaiaazyx 设设kbjbibbzyx ba 则则kbajbbibazzyyxx)()()( bakbajbbibazzyyxx)()()( kajaiaazyx ),(zyxaaa ),(zyxbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbababab

14、a ).,(zyxaaaa 的的坐坐标标表表示示式式a的坐标表示式的坐标表示式b例例2 2 求起点为求起点为A(1,-1,3)A(1,-1,3)，终点为，终点为B(2,3,-5)B(2,3,-5)的向量的向量的的 坐标表示式和坐标分解式坐标表示式和坐标分解式. .解解)3 , 1, 1()5, 3 , 2( )8, 4 , 1( ),(),(,222111zyxBzyxA若若已已知知点点一一般般地地).,(121212zzyyxx ABOAOB AB向向量量则则有有,.84kji .0ababa ，使，使存在唯一的实数存在唯一的实数的充分必要条件是：的充分必要条件是：平行于平行于，向量，向量设

15、向量设向量定理定理相当于：相当于：则则，设设abbbbbaaaazyxzyx/),(0),( ),(),(zyxzyxaaabbb , zzyyxxababab 即即.,:分子也为零分子也为零分母为零时分母为零时约定约定五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式ABCxyzoMPQRx)0 , 0(y), 0 , 0(z)0 , 0 ,(xyz)0 ,(yx), 0(zy), 0 ,(zx222|OROQOP .222zyx |OM |OM),(),(,222111zyxBzyxA若若已已知知点点一一般般地地),(121212

16、zzyyxx ,)()()(212212212zzyyxx |ABAB AB ,向量向量则有则有 OMAB),(121212zzyyxx |OM.)()()(212212212zzyyxx | AB即即证证 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.例例3 3为顶点为顶点、求证以求证以)3 , 2 , 5()2 , 1 , 7()1 , 3 , 4(321MMM)4,297.(LP角角形形的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三解解)53 , 03,

17、47( 222)2()3(3 , 4 )2, 3, 3(41 练习练习),2, 3, 3( ).21,43,43( .),3 , 3, 7()5 , 0 , 4(eABBA方方向向相相同同的的单单位位向向量量求求与与和和设设 AB AB| ABABe / 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦两向量的夹角两向量的夹角,ba设有两个非零向量设有两个非零向量OABab ,)0(的的夹夹角角与与为为向向量量称称角角baAOB .0间的任意值间的任意值与与的夹角可以取的夹角可以取规定零向量与另一向量规定零向量与另一向量 记作记作),(ba,bOBaOAO 作作任取空间一点任取空间一点向量的方向角与方向

18、余弦向量的方向角与方向余弦 ,角角ABCxyzoMPQRxyzr, 的方向角的方向角称为向量称为向量 r cos,cos,cos称称, 的的方方向向余余弦弦为为向向量量 r cos cos cos|rx|ry|rz 222coscoscos1),( ),( OMzyxr 设有非零向量设有非零向量解解)20 , 23 , 21( 222)2(1)1( , 2 cos例例4 4)7,299.(),0 , 3 , 1()2, 2 , 2(LPABBA和和方方向向角角的的模模、方方向向余余弦弦求求向向量量和和设设),2, 1 , 1( ,21 cos,21 cos,22 ,32 ,31 .43 AB ABABABAB|10 3. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影uoeMM r,上的分向量上的分向量在轴在轴称为向量称为向量uOMeMO 向向量量OMr r cos|OM 数数,上的投影上的投影在轴在轴称为向量称为向量uOM.Prj,Prj )( ,)(rOMrOMuuuu或或记记作作),( zyxr 设设 x 则则xyzoMPQRxyzr ,)(xr. , zyzyrr)( )(空间点在轴上的投影空间点在轴上的投影u AA 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理),( zyxr 设设,)( xrx 则则.)(,