机械控制工程基础(北京理工)第五章 控制系统的稳定性分析

1、第五章第五章例1：求当f(t)=0时，而对质量m 施加一个初始扰动，即当t=0时令质量m有一个位移，即y(0)=a，然后突然释放，求系统的运动。 )(.tfkyym图示系统的运动方程为：解：对上式进行拉氏变换，得)(.tfkyym0)()0()0()(.2sKYymmsysYms将初始条件代入，得22( )( )( )ms Y sKY smsaasY sKsm.(0),(0)0yay拉氏反变换，得tmkatycos)(结论：对图3-1所示系统，在施加一个初始扰动y(0)=a后，系统将永远按振幅为a，频率为的余弦波振动，永远不能恢复到原始静止平衡状态。mk)(.tfKyycym0)0(,)0(.

2、yaytmcmkemcmkmcABmcmkmAtytmc2122212222sin2221)(设等式右端常数项为H，则)sin()(2tHetyntmc结论：如图所示系统，在施加一初始扰动后，系统的运动随时间增长而衰减，最后可恢复到原始静止状态。稳定性概念：稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离当系统受到扰动作用后，将偏离原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统是不稳定系统。是不稳定

3、系统。系统输出的一般表达： 为暂态分量， 为稳态分量（见第二章）稳定的概念亦可理解为：当输入发生变化时，如果系统的输出经过一段时间后，暂态分量消失，只有稳态分量，则该系统是稳定的。所以研究系统稳定性实际就是研究系统输出的暂态分量是否满足：( )tsCt( )( )( )tsssC tCtCt0)(limtCtst( )ssCt由于暂态分量只与系统结构参数有关（如例），与输入量无关。所以，研究系统稳定性就是研究系统输出的暂态分量与系统结构参量的关系，通过系统结构参数来判定稳定性以及在确定稳定的条件下系统参数的变化范围。在数学分析中我们知道，对线性常微分方程的解分两部分，即 tfbtfbtfbay

4、ayayammmmnininn0111121 tfbtfbtfbayayayammmmnininn0111121 tYtYtYtyCtyCtyCtynn2122211)()(齐次通解齐次通解特解齐次通解即齐次方程加初始条件所确定的解其解法如下：（1）写出其特征方程为 0121nnnayaya01121nnnnaaaa实数根（2）求出对应的特征根：设有q个实根r对共轭复根：)2 , 1(rkkkj（3）写出齐次通解的一般形式： tBtAeeCtYkkkktrktiqikisincos111其中，Ak、Bk、Ck为由初始条件确定的常数qii, 3 , 2 , 1由上式可以看出，研究暂态分量式是否成

5、立，实际上就是研究齐次方程的通解随时间的变化趋势，也就是分析 0lim1tYt是否成立？(1)if任一则系统发散，不稳定。（2）if任一，则系统发散，不稳定。（3）if任一，则系统等幅振荡，也不稳定。（4）只有对所有的成立时，才成立，即系统才稳定。0i0i tYt1lim0k tYt1lim0k tBtAtYkkkktsincoslim10, 0ki 0lim1tYt由上面分析可以得到控制系统稳定的充分与必要条件是：系统特征方程的所有根具有负实系统特征方程的所有根具有负实部、或者说，闭环传递函数的极点均部、或者说，闭环传递函数的极点均位于复平面（位于复平面（S平面）的左半部（不包平面）的左半部

6、（不包括虚轴）。括虚轴）。用特征方程的根直接判定系统的稳定性，须求解特征方程。实际上我们在判定稳定性时，需要知道的只是根的符号。因此，Routh于1877年提出了不需求特征根而进行稳定性判定的劳斯判据。下面介绍这一方法：若线性系统特征方程为:如果为特征方程的根，根据代数理论中根和系数的关系有：00111asasasannnnniinnsaa11nijijinnssaa11,2niinnknkjikjijinnsaasssaa101,3) 1(nisi, 2 , 1由上式可知，当则0, 2 , 1nisi01nnaa02nnaa03nnaa00naa也就是说特征方程的各项系数必须同号且不为0。由

7、此得出系统稳定的必要条件：即如果系统稳定，则系统特征方程的各项系即如果系统稳定，则系统特征方程的各项系数同号且均不为零。数同号且均不为零。01,aaann应用必要条件只能证明特征方程缺项（系数为0）或有不同号系数的系统为不稳定系统，而不能对系数全大于0的系统进行判别。对于系统特征方程可列出下表00111asasasannnn0na032132175316420321acccbbbaaaaaaaasssssnnnnnnnnnnnn其中：按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1），第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。)12(1211inninnniaaaaab11)12(111ii

8、nnibbaabc若劳斯表中第一列数均大于零若劳斯表中第一列数均大于零, ,即即: :则系统稳定；若劳斯表第一列出现小于零则系统稳定；若劳斯表第一列出现小于零的数，则系统不稳定，并且第一列各数符的数，则系统不稳定，并且第一列各数符号改变的次数等于特征方程的正实部根的号改变的次数等于特征方程的正实部根的数目。数目。0,0111acbaann已知系统的特征方程为试用劳斯判据判定系统的稳定性。0269842345sssss解：列劳斯表并计算：202339002231190211423294681012345ssssss结论：表中第1列数均大于零，故系统稳定。 654326218524200sssss

9、s试判定系统的稳定性。解：列劳斯表 2007220207061020)24(1)4(1043120)24(5)18(2)6(10123456sssssss从劳斯表可以看出从劳斯表可以看出（括号中的数字表示（括号中的数字表示同一行数字可约分），同一行数字可约分），系统不稳定，且有两系统不稳定，且有两个正实部根。个正实部根。 例，已知一反馈控制系统的开环传递函数为试确定使闭环系统稳定的K的取值范围。 )52(2)()(23kssssKsHsG解：系统闭环传递函数为特征方程为：)()(1)()(sHsGsGsB0)()(1sHsG0)552(2123KssssK02)5(52234KsKsss解出上

10、面不等式组，得当0K2.403时，系统稳定，当K=2.403时，称闭环系统为临界稳定，实际上是等幅振荡系统。KsKKKsKKsKsKs25258225052251021234若闭环系统稳定，应该有 025 K052582KKK02K) 1)(1()(21sTsTsKsG) 1)(1()(21jTjTjKjG奈魁斯特（Nyquist）稳定判据可简称为奈氏判据，它是利用开环幅相频率特性曲线判断闭环系统稳定性的图式稳定判别法。由于系统的频率特性可用实验方法获得，所以奈氏判据对那些无法使用劳斯判据等方法判别稳定性的系统，具有重要意义。闭环系统稳定的充要条件闭环系统稳定的充要条件:。闭环右极点数（即正实

11、部特征根闭环右极点数（即正实部特征根的个数）的个数）Z可由下式求出，即：可由下式求出，即：Z=P-R为简单直见，使用奈氏判据时，一般只画出频率从零变化到无穷大时的开环幅相频率特性曲线即可。这时奈氏判据表达式可改写为：Z=P-2N式中N开环幅相频率特性曲线包围（-1，j0）点的圈数，沿增加方向，逆时针包围时，N取正值；P开环传递函数的右极点数；Z闭环传递函数的右极点数。若开环传递函数中含有个积分环节时，绘制开环幅相频率特性曲线后，还应从频率对应的点开始，逆时针方向用虚线补画一条半径为无穷大，角度为90的圆弧。此时，系统的开环幅相曲线应包括补画的虚线部分。例：已知两单反馈控制系统的开环传递函数分别

12、为) 1)(1)(1()(32111sTsTsTKsG) 1)(1)(1()(32122sTsTsTKsG其开环幅相频率特性曲线分别中图4-46（a）、(b)所示，试用奈氏判据分别判断对应的闭环系统的稳定性。解（1）系统1：由开环传递函数的表达式知，P=0，由图4-46（a）所示开环幅相频率特性曲线知，N=0。由奈氏判据，有Z=P-2N=0，故闭环系统稳定。（2）系统2：由开环传递函数表达式知，P=0，由图4-46（b）所示开环幅相频率特性曲线知，N=-1。由奈氏判据，有P-2N=2，故闭环系统不稳定)(1sG例：单位反馈系统的开环传递函数为，开环幅相频率特性曲线如下图所示，试判断闭环系统的稳

13、定性。解：由G(s)表达式及图知，P=1，N=1/2。由奈氏判据，有P-2N=0，故闭环系统稳定。此例说明：开环系统有不稳定环节时，闭环系统仍有可能是稳定的。1)(sKsG解：由G(s)表达式及图知，P=1，N=1/2。由奈氏判据，有P-2N=0，故闭环系统稳定。此例说明：开环系统有不稳定环节时，闭环系统仍有可能是稳定的。例:已知系统的开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。01( )( )(21)(31)GG s H ssss解：根据开环传递函数绘制的开环幅相频率特性曲线如图所示。由表达式及图知，P=0，N=-1。根据奈氏判据，有Z=P-2N=2，故闭环系统不稳定，闭环右极点数为2。左图是开环

14、左图是开环幅相频率特性幅相频率特性曲线相对（曲线相对（-1-1，j0j0）点的位置）点的位置与对应的系统与对应的系统单位阶跃响应单位阶跃响应示意图。图中示意图。图中各系统的开环各系统的开环传递函在右半传递函在右半S S平面的极点数平面的极点数P P皆为零。皆为零。 如果结构如果结构参数有变参数有变化可能不化可能不稳定稳定由图可见，当开环幅相曲线包围（-1，j0）点时，对应的系统单位阶跃响应h(t)发散，系统不稳定；当开环幅相线通过（-1，j0）点时，对应的系统单位阶跃响应h(t)呈等幅振荡；当开不幅相曲线不包围（-1，j0）点时，系统稳定。 但由图中(c)、（d）可知，开环幅相曲线距（-1，j

15、0）点的远近程度不同，系统的稳定程度也不同，开环幅相曲线距（-1，j0）点越远，闭环系统稳定的程度愈高，这就是所谓相对稳定性。 系统的相对稳定性通常以稳定裕量来表示。系统的稳定裕量（也称稳定裕度）包括幅值裕量和相角裕量。 相角裕量相角裕量幅值裕量幅值裕量（1） 幅值裕量开环幅相频率特性曲线与负实轴相交时的幅值的倒数定义为幅值裕量（或增益裕量），用表示，取对数后得，1()()ggG jH j)()(1lg20)(gggjHjGdBK幅值裕量 的物理意义是，如果系统的开环增益放大 倍，则系统处于临界稳定状态。gKgKgK（2）相角裕量开环幅相频率特性曲线上幅值为1这一点的相解与180之和定义为相角裕量，用 表示，即 式中 用负角度计算。相角裕量的物理意义是，如果再滞后时，系统处于临界稳定状态。)(1800cc)(c)(ccc在对数坐标图中，幅值裕量的分贝值为 相角裕量为 )()()(1lg20)(ggLjHjGdBK)(1800cc 对于最小相位系统，只有当幅值裕量、相角裕量都为正值时，系统