关于定积分计算规律和技巧的探讨

1、第20卷第4期2000年12月洛阳农业高等专科学校学报Journal of Luoyang Agricultural C ollege V ol. 20N0. 4Dec. 2000关于定积分计算规律和技巧的探讨乔占西1, 刘元宗2(1. 洛阳农业高等专科学校, 河南洛阳471003;2. 洛阳师范学院, 河南洛阳471022摘要:结合数学教学, 论述了定积分的计算方法与注意事项。关键词:规律; 技巧; 对称 中图分类号:Q175.5文献标识码:A文章编号:100824673(2000 20069202通常计算定积分的方法有五种:的定义; 二是利用定积分的几何意义; 2ton 2Leibniz

2、公式; ; 法。, 除了, 。1与不定积分比较, 定积分有一个明显的特征, 这就是定积分有明确的积分区间, 被积函数在积分区间上的性质对积分的计算有直接影响。2定积分计算的基本方法定积分计算的基本方法是Newton 2Leibniz 公式, 因此只要先求出被积函数f (x 的任一原函数F (x , 然后求了F (x 在区间a , b 上的增量F (b -F (a 即可。定积分计算的关键在于求被积函数的原函数, 即定积分的计算是以求不定积分为基础, 这里要特别指出的是应Newton 2Leibnig 公式计算定积分时必须注意被积函数在积分区间a , b 上的连续性, 否则会出现错误。3关于定积分

3、换元法的两个法则第一法则:(1 若f (x 在, 上连续; (2 u =(x 在a , b 上具有连续导数(x , 且当x 在a , b 上变动时, 相应地(x =u 不超出, ; (3 (a =, (b =, 则有ba f (x (x d x =f (u d u (A 或者b a f (x (x d x =ba f (x d (x (B 第二法则:(1 若f (x 在a , b 上连续; (2 x =(t 在, 上具有连续导数(t , 当t 在, 上变动时相应地x =(t 不超出a , b ; (3 a =(, b =收稿日期:2000210218; 修回日期:2000211227作者简介:

4、乔占西(1955- , 男, 1977年毕业于河南师大(原新乡师范学院 数学系, 1984年郑州大学数学系助教班结业, 现为洛阳农专副教授, 从事党务及教学科研工作。( ba (x d x =f (t (t d t (C 以上两种换元法中的条件(1 与(2 是为了保证积分两端被积函数的连续性(即原函数存在是New 2ton 2Leibninz 公式成立的充分条件 , 条件(3 说明在换元时积分限要响应改变, 这两个换元法则实质上是一个, 只不过是为应用方便而分成两个, 在应用上各有特点, 要特别地予以注意。首先, 当被积函数具有形状f (x (x 时, 可考虑第一法则, 即令u =(x , 把

5、被积函数中某一部分作为新的积分变量, 若变换中明显地出现新的积分变量u , 则应用积分(A 改变积分限; 若积分中没有明显地出现积分度变量u , 则应用积分公式(B , 积分限不变。其次, 当被积函数中出现根式或其它不易积分的因子时, 可用第二法则, 即用x =(t , 这样可把被积表达式中的积分变量x 换成新的积分变量t , 同时改变积分限。在新的积分变量下求出原函数, 不必再回到原变量, 只要把响应的积分限代入相减即可。4定积分计算的不同方法如果被积函数含有高次乘方, 可设法降低其次数, 也可以用分步积分法导出递推公式; 如果被积函数是两个以上的不同类型的函数之积, 则要考虑用定积分分步积

6、分法, 并特别注意积分再现的情形。5一个特殊解法计算定积分一般地讲是先求原函数, 但要注意有一部分定积分问题如果要先求原函数就行不通, 如40ln (1+tgx d x 就“积不出来”, 即它不是初等函数, 但40ln (1+tgx d x =40ln 1+tg (4-t d t =40ln (1+1+tg t d t =40ln 1+tg td t =40ln 2d t -40ln (1+tg t d t 从而有40ln (1+tgx d x =8ln 2 即不定积分积不出来, 但定积分可以通过变量替换得以计算。6简化运算如果积分区间关于原点对称可考察被积函数是否具有奇偶性, 若被积函数为奇

7、函数, 则积分为零; 若为偶函数, 则a-a f (x d x =2a0f (x d x , 这样可以使运算简化, 比如:2-25432x 2+1d x =a-242x 2+1d x +2-253x 2+1d x =2(3x 3-12x +10arctgx 12=-3+202又比如:2-2xln (1+e xd x ,f x =xln (1+e x , 则f (-x =-xln (+-x =-xln (1+e x +x 2-f(x , 故f (x 不是奇函数, 此时可把被积函数分解成奇、偶函数之和, 为此对被积函数f (x 添点什么, 使其成为奇函数。令f (x +g (x 是奇函数, 让g

8、(x 待定, 2-2f (x d x =2-2f (x +g (x -g (x d x =-2-2g (x d x或许右边的积分容易积, 因为f (x +g (x =-f (-x +g (-x =-f (-x -g (-x =xln (1+e x -x 2-g (-x =f (x -x 2-g (-x 即g (x +g (-x =-x 2, 于是可取g (x =-2x 2, 因为xln (1+e x-22是奇函数,故原积分等于2-22x 2d x. 2-2xln (+e x 22+e x-2x 2+d x 22=3:定义在对称区间-l , l 上f (x 都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和

9、。事实上, (x =2f (x -f (-x 是奇函数, (x =2f (x +f (-x 是偶函数, f (x =(x +(x , 而对称区间-l , l 上的任一定积分都可以表示为某个偶函数在半个区间0, l 上的积分的2倍, 即l -l f (x dx =l 0f (x +f (-x d x. 参考文献:1复旦大学数学系. 数学分析M.2版. 上海:上海科技出版社,1962.2吉林大学数学系. 数学分析M.北京:人民教育出版社,1978.(责编:韩云涛I nquiry of the regularity and skills in definate integral caculationQI AO Zhan 2xi 1,LI U Y uan 2zong 2(Luoyang Agricultural College , Luoyang 471003; 2. Luoyang Teacher s College , Luoyang 471003Abstract :According to the mathematical teaching practice of our college , this article expounds the caculation meth