线性代数与解析几何：复习讲解

1、1. 复习：解线性方程组。复习：解线性方程组。(1) ( )( ) 1) ( )( ) () 2) ( )( ) (2) ( )( ).AXBrank Arank Arank Arank Annrank Arank Anrank Arank A 线性方程组的解有以下几种情形：有解的充分必要条件是，其中：有无穷多组解的充分必要条件是 是变量个数有惟一解的充分必要条件是无解的充分必要条件是定理3.2, ( )0(m.n)AAmXBn 线性方程组中则方程组有的充分必要条件是 det方程数 =未知变量惟一推论解,(1) (2) ( ).AXOAXOAXOrank Arn 对齐次线性方程组有以下结论：必

2、有解，零解总是它的解；有无穷多解（即有非零解）的充分必要 条件是定理3.3,(1) det( )0(2) .AXOAnnAAXOAmnmnAXO 对齐次线性方程组有以下结论：若 为矩阵，则当时，推有非零解；若 为矩阵,则当时，有无穷多解（即有非零解）论1231231230 00(1)(2)axxbxxxbxbxxax例 问a,b取何值时，齐次方程组只有零解； 有非零解，并求其解注意复习：解带未定常数的线性方程组。注意复习：解带未定常数的线性方程组。2221011111111011(1)(1)()11det( )0,abababababbbbabbababbaaabbabaabA ：det(A)

3、=(1)当且时，方解程组只有零解。2131212323123(2)111111111100001111011000( )20(1)0(1) rrrbrabbbbAbbbbbrank Axxbxxb xxcxb ccxc 当且时，方程组有非零解。得到通解：其中， 是任意常数23112112112111231110111111111000011001101000000( )20 0rrrarrrrrraaa babaaaaaAbaabaaaaaarank Axxxax (3) 当且 = 时，方程组有非零解。得到通解：230 xa ccxc 其中， 是任意常数31211111 1 1111111 1

4、 100011 1 1000rrrraa bababAbba (4) 当且 = 时()，方程组有非零解。123112211232( )1+=0 rank Axxxxccxcc cxc 得到通解：其中， , 是任意常数2. 复习：求行列式复习：求行列式-归边累加法，范德蒙行列式归边累加法，范德蒙行列式 abbbbabbbbbanD 计算阶行例列式 12131(1)(1)(1)nccccccanbb bbanba bbDanbb ba21311(1)000 000nrrrrrranbbbbababD1(1)()nanbab111111111111aaaa（2006试题）计算行列式311131111

5、111111311111(3)11131111111131111111110100(3)(3)(1)00100001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa23151 1523(2006( )( )05495827xD xD xxx试题），求的所有根。23111 1123( )55 1232 13 1321491827100(1)(2)(3)0 xD xxxxxxxxx 123( )0:1,2,3D xxxx 的根120201012.det.nnnabbbbabbAbbabAbbba(2007试题)设，计算120102000000000nnabbbbaabbaabbaab原式12120120

6、0100()()()010001nnnbbbaabababbaabababbaba1201121011()0100()00100001() ()niniinniinniiiiibbbbaababababababbabaabab3.复习：判断向量组线性相关？线性无关？复习：判断向量组线性相关？线性无关？1211221212112212, (,), (, ,) mmmmmmmmxxxOrankrmxxxOrankm 定理4.3 向量组线性相关方程有非零解 向量组线性无关方程只有零解123(3,1,1,4) ,(2,2,4,3) ,(1,4,10,1)TTT例. 判断向量组是否线性相关： 12311

7、2233123, 0,3211241240411,14100264310515124013,()3()001000kkkkkkkkkrank An 123解（方法1：用定义）：设有实数使得：这是一个以为变量的，其系数矩阵A=所以变量个齐次方程数组方程1230 kkk组只有惟一的零解：， 向量组线性无关。3211241240411,14100264310515124013,001000(,)3rank 123123向量组的向量个数=向解（），求向量组的秩：所以所以方法2向量组线量组的秩，性无关。4.复习：线性表示复习：线性表示1212 ,4,.2mmnkkk设都是 维向量， 定 若存在数使得义

8、, , , ,12,m称可示由线 性 表1122 mmkkk()(,)()(,)rankrankrankrankm12m12m12m1212m12mm (1)向量可由向量线性表示 的充要条件是： (2)向量可由向量地线 性表示的充要条件是： 定 理 4. 一 1惟 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 222, ,mmm 向量定理4.5线性无关， 可由 而线性相关向量组惟一地 线性表示的充分必要条件是：。1 11 11 112344123 (1,2, 3,1) ,(5, 5,12,11) (1, 3,6,3) ,

9、(2,4.21,3,4)TTTT设问：是否可由，线性表示？例 12341512151225310311312630000111340000，解：12312344123()()23rankrank，可由，线性表示, 但表示式子不惟一1212:,4.4 :, stABAB 中每一个向量 都可以由向量组线性表示， 称向量组 可以； 若两个向量组可以，称它们 定 设向量义由向量组 线性表示相互表示相互，或称它们等价等价是组向量组。 rankrankr2ank与 等价的充要条件：BA BBAA 1rankrankA BABA可由 线性表示的充要条件：12121212, ,rsrs 设有向量组和向量 组

10、：记为定理4.9A : , ,B, A = , ,B, 3141211221000215111(|)203131111041341122100021511102151110022034rrrrA B ： 证12341234.12 :(1,0,2,1) ,(1,2,0,1) ,(2,1,3,0) ,(2,5, 1,4):(1, 1,3,1) ,(0,1, 1,3) ,(0, 1,1,4)TTTTTTTAB向量组等价例证明下列：100100111011034007000000 ( )( )3(|)( )Brank Arank A Brank BABrank B 行变换则所以，向量组 与向量组 等价

11、。1122100021511100220340000000 (|)( )3rank A Brank A5.复习：向量组中的最大线性无关组复习：向量组中的最大线性无关组 1212:,1 rank2mmrA , , , , AAr大大线线性性无无关关组组任意包含 个向量的线性无关部分 向定理4. 8最大线性无关组。 设有向量组则 的都是 的任意包含相同个。量组数的向量最最例:求向量组的最大无关组.) 1, 1 , 4(),1 , 3, 2(),1, 2 , 1 (32112124124,231011111000A 3,32)(Ar123, 线性相关。1212, 但线性无关，是一个最大无关组；131

12、3, 也线性无关，也是一个极大无关组。6. 复习：判断一个向量集合是否为子空间，若复习：判断一个向量集合是否为子空间，若 是子空间，求其一个基。是子空间，求其一个基。12121122 , .nVVVV 性充要条件：是的线性子空间的是：非空，且对任意，任意有质R RR R12:rAVVA设向量组， ，是子空间 中的线性无关组，且 中任意向量是向量组 的线性组合，称定义.向向量量组组A A为为子子空空间间V V的的一一组组基基112233123233|,1,2,0,2,3,1 ,1, 1, 1TTTVxxxx x xV 1 设，其中，证明 是的子空间，且组基.例求它的一n nR RR R3123,

13、 VL：它是的。证子空间n nR R123,V 为求 的一组基，只要求出的一个最大线性无关组123121121,231011,011000 由于12123,V 是的一个也就是最大线性的无关组，一组基.3123123( ,)|230Vx x xxxxV）证明是的一个子空间，并求第四章第14。题的一组基R R12312311231233112131123333, 230, 230,)()23, 3()()2. 3 , 0 aaabbbktkatb katb katbkatba a ab bkatbkbVk taaaktVVatbktbbbTT22T22：设则()由于 2() 证任意向量 =()()

14、任=所意是以，则。子空间R R111123212212323T10230 232301 (1,2,0)xcxxxxxccxccxcx T解方程组：则,(0,3,1)是子空间V的一组基。13409266310200739693394120A（试题）求的列向量的生成空间的一个基1231340913409002380023800692400005008122700000( )3(1, 2, 3,3) ,(4, 6, 6,4) ,(9, 10, 3,0)TTTArank A解：一个基7. 复习：求一个向量在一个基下的坐标。复习：求一个向量在一个基下的坐标。T3123123 =(-1,2,4) :1,0

15、,0,0,1,0,0,0,1 :(1,1,1) ,(0,1,1) ,(1, 1,1)TTTTTTE eeeA求向量在中的两组基：。例下的坐标R R( 1,2,4)TE在基 下的坐标为解：12310111002,|1 11201051 1140011A 解这个方程组：1231233, Ax xxxxxT12在基 下的坐标为( ,) 则+123x xxATTT得到方程组的解( ,)(-2,5,在基 下的坐标为(-2,)所以5,1)18. 复习：求两组基之间的过渡矩阵。复习：求两组基之间的过渡矩阵。1212111212112122221122 :, :, nnnnnnnnnnnnRABppppppp

16、pp 12n设有的两组基：112111112112222212221212 TnnnnnnnnnnnnPppppppppppppPppppppAB其称为系数矩阵的转置矩阵基 到阵=基 的过渡矩12|A BEBE AP 一系列行变换方法这是求过渡矩阵的： 简单方法11PA B方法 ：123123(1,2, 1) ,(1, 1,1) ,( 1,2,1)(2,0,1) ,(0,1,1) ,(1, 1,2),TTTTTTP 3（）在中，求出从基到基的过渡矩阵并求出相应的第四章第16题坐标变换公式。R R2 2 1312312(1/2) 323201(|) 01111211120111120103441

17、30141200203130203131031210041/25/23/20103/21/23/2rrrrrrrrrrr 12312：11-1,2-12-111解23(1/4) 31 3 31005/81/81/80103/21/23/20011/85/83/8rrrrr 12312112233123()5/81/81/83/21/23/21/85/83/8,5/81/81/8 3/21/23/21/85/83/8Px xxy yyxyxP yxyxxx1233123接过渡矩阵设向量 在基,下的坐标为( ,),在基,下的坐标为(),则有坐标转换公式：即123yyy9. 复习：复习： 矩阵与对角

18、矩阵相似矩阵与对角矩阵相似diag(nnA1阶方阵 与对角阵, ,)相似的定理充分必要 是条件有 个线性无关的特征向量：。 . nA5 1121nn000000nPAPAP12n的 个线性无关的特征向量作为列向量构成矩阵个线性无关的特征向量所属的特征值：， ，则有 9. 复习：复习： 对称矩阵与对角矩阵相似对称矩阵与对角矩阵相似-1AQQQA 定理5.11设 为实对称矩阵,则存在正交矩阵 ， 使得为对角矩阵，即121TnQAQAQQ1,nA实对称矩阵必与对角阵相似，即 （证可对角明略化）其中为 的（允许有重根）.()全部特征值120(1,2,2) ,(2,1, 2) ,.TTAXA）设A是3阶实对称矩阵(， =3是其一特征值，方程组第五章第24系为题的基础解求1211223123131233231