多元函数基本概念ppt课件

1、第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性四、小结四、小结 思考题思考题 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1邻域邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念一、多元函数的概念 （2区域区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻

2、域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的的内内点点属属于于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于

3、且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，,EKPEOOPKEE 对对于于点点集集如如果果存存在在正正数数，使使一一切切点点与与坐坐标标原原点点间间的的距距离离不不超超过过，则则称称为为有有界界点点集集，否否则则称称 为

4、为无无界界点点集集41| ),(22 yxyx（3n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称 n元数组元数组),(21nxxxL的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个 n元元数组数组),(21nxxxL称为称为n维空间中的一个点，维空间中的一个点，数数ix称为该点的第称为该点的第 i个坐标个坐标. ),(21nxxxPL),(21nyyyQL.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ L n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|

5、),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为（4二元函数的定义二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数二元函数的定义域二元函数的定义域例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD （）（） 二

6、元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意，对于任意取定的取定的DyxP ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxM，当当x取遍取遍D上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这个点集称，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形.（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例

7、如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,图型是球面图型是球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:二、二元函数的极限二、二元函数的极限说明：说明：（1定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似注意：当注意：当P以不同的方式趋于以不同的方式趋于P0点时，函数值点时，函数值趋于不同的值，则可断定趋于不同的值，则可断定P趋于趋于P0时极限不存时极限不存在。在。确定极限不存

8、在的方法：确定极限不存在的方法：例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx 22,0,0lim0,x yxy 2222,0,01limsin0.x yxyxy xxy：yx)sin(lim),(),(203求求例例二元函数与一元函数求极限的方法类似。二元函数与一元函数求极限的方法类似。yxxayxx：2114)(lim求求例例？0005222222处是否存在极限处是否存在极限在点在点考察考察例例(0,0)y)f(x,yxyxyxxy练习证明练习证明 不存不存在在 证证26300limyxyxyx 取

9、取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义定义3 3例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续二元函数在其定义域区域内也是连续函数。二元函数在其定义域区域内也是连续函数。

10、二元初等函数定义二元初等函数定义可以用一个式子表示的二元函数，这个式子可以用一个式子表示的二元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算而成函数经过有限次的四则运算及复合运算而成的。的。一切二元初等函数在其定义域区域内连续。一切二元初等函数在其定义域区域内连续。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim000

11、00PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求2221217yyxx：yx),(),(lim求求例例闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一

12、次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2介值定理介值定理多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）（注意趋近方式的任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0

13、, 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因为，取因为，取,2yx 244262)(),(yyyyyyf 01.4y一、一、 填空题填空题: : 1.1.若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. . 2.2.若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. . 3.3.若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. . 4.4.若若22),(yxxyyxf , ,则则 ),(yxf_. . 5.5.函数

14、函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. . 练练 习习 题题 6 6. .函函数数yxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7. .函函数数xyzarcsin 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 8 8. .函函数数xyxyz2222 的的间间断断点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二、二、 求下列各极限求下列各极限: : 1.1.xyxyyx42lim00 ； 2.2.xxyyxsinlim00； 3.3.222222

15、00)()cos(1limyxyxyxyx . . 三三、 证证明明：0lim2200 yxxyyx. .四四、 证证明明极极限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 . .一、一、 1 1. . ),(2yxft； 2 2. .1213 , , ),(yxf； 3 3. . xx21 ； 4 4. . yyx 112； 5 5. . xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6. . yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7. . xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8. . 02),(2 xyyx. . 二、二、1 1. .41 ； 2 2. .0 0； 3 3. . . . 练习题答案练习题答案不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxy