概率论基础复习题及答案

1、概率论基础本科填空题（含答案）1.设随机变量E的密度函数为P（X）,贝y p（x） 0; p（x）dx=/EE二xp(x)dx。2.考查第三章设为三个事件，则至少有一个发生可表示为：ABC ；发生而B不发生可表示 ABC ；恰有一个发生可表示为:ABC ABC ABC。3.考查第一章设随机变量N（0,1）,其概率密度函数为0（x），分布函数为0（x），贝y 0（0）等于鸟,0（0）等于亠考查第三章4.设随机变量e具有分布P e =1 , 1,2,3,4,5，则ee ,de二5.考查第五章已知随机变量X, Y的相关系数为rxY,若，其中0.则U V的相关系数等于rxYO考查第五章6.设 X N(

2、 , 2),用车贝晓夫不等式估计：P(|X | k )1 ik27.9.10.11.12.考查第五章设随机变量SE E 二Xi Pi oi 1考查第一章设为三个事件，的概率函数为PE二Xi= Pii 1,2,.,则Pi 0则都发生可表示为：ABC ； A发生而不发生可表示为：ABC ；恰有一个发生可表示为：AbC AbC ABC o考查第一章X - N(5,4),考查第三章设随机变量考查第三章若随机变量P(X c) P(X c)，贝y c 5 o在1 , 6上服从均匀分布，则方程X2 X 1 0有实根的概率为较难X, Y的相关系数为rxY 21510则UV的相关系数=rxY O考查第三章若 服

3、从【-,-的均匀分布,2 ，则 的密度函数g(y)=1g(y) 2考查第五章13.设 P(A) 0.4 , P(A B) 0.7，若 A与 B互不相容，则 P(B) 0.3A与B相互独立，则P(B) 0.5考查第一章14.将数字1, 2, 3,个数是奇数的概率4, 5写在5张卡片上,12p( A) = C3P4任意取出三张排列成三位数，这考查第一章15.1.6,最可能值k08。考查第二、五章16.设随机变量X的概率密度为f(x)xxe00，则 E(3X)=6 ,0L / 3X 、1E(e )=16考查第四、五章17.任取三线段分别长为且均小于等于则可构成一三角形的概率1考查第一章(较难)18.

4、设随机变量X, Y的相关系数为1,若0.4,则Y与Z的相关系数为考查第五章19.若 N(3,0.16) , ED 0.16 .考查第五章20.若-B(10,0.7),E( 9)16,D(23)8.4 .考查第五章21.某公司有A B、C三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20% 45%和35%品一件，它可能在销往北京市场的概率为0.2475三个基地的产品各有 30% 20% 25%在北京市场销售.则该公司任取此产22.考查第二章f(x)为一维连续型随机变量X的概率密度函数，则有 f(x)dx ;若离散型随机变量丫具有分布列P(Y yk)Pk,则Pk二k考查第三章23.若X, Y是相互独立的随

5、机变量，均服从二项分布，参数为 UP及02, P，则X Y 服从参数为参数为 门1 n2, P 的二项分布分布.考查第四章24.设随机变量X服从参数为0和2的正态分布N(0,2),则EX 0； DX2 .考查第五章25 .设为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为ABC ABC ABC ABC。考查第一章27.若二维随机向量（,）的联合密度函数P()=exp1(x aj2r(x aj® a?)2(1 r )则a12,a2,2 ( , )= r考查第五章28.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为_5/9考查第一三章选择题（含

6、答案）1. 一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2： 1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为 2：1,今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A) 2 倍 (B) 254 倍(C) 798 倍(D) 1024 倍2.在0,1线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为（(A) 0.25( B) 0.5(C) 0.75(D)3.设独立随机变量X, Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从（A） N（2,0）（B）自由度为2的2分布(C) N(0,2)（D

7、）不能确定4.设 P () n(n 1,2,.)且 1,则 a 为(B )(A) 1(B) 3 苗25.下列论述不正确的是 (B)(A)若事件A与B独立则A与B独立(B)事件A B不相容则A与B独立(C) n个事件两两独立不一定相互独立(D)随机变量和独立则二者不相关6.甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为(C )n(A) 0(B)Cnkk 0(C)(2)2nc；n(D)(扩7.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从(C )(A)二项分布(B)2分布(C) N(0,2)(D)不能确定8.对于任意事件A与B，有 P(A B)(C )。(A) P(A

8、) P(B)(B)P(A) P(B) P(AB)(C) P(A) P (AB)(D)P(A) P(AB)9.在0, a线段上随机投掷两点，两点间距离大于a的概率为(D )(B) 0.75(C) 0.5(D)20.2510.设 P()n (n 1,2,.)，其中 a 为 ，则2(A)(B)1(C) 0.5(D)11.下列论述不正确的是 (C )(A) n个事件两两独立不一定相互独立(B)若事件 A与B独立则A与B独立(C)事件A B不相容则A与B独立(D)随机变量和独立则二者不相关12.掷n枚硬币，出现正面的概率为 P,至少出现一次正面的概率为(A )(A)1 (1 p)n(B) Up(1 p)

9、n1(D) 1 P13.设A, B为两个互斥事件，且P (A) >0, P(B)>0，则下列结论正确的是 (C(A) P ()>0,(B) P()(A)(C) P( )=0(D)P()(A) P(B)考查第二章14.事件A，B相互独立，P(AB)1 - -9，P(AB) P(AB)，P (A)(A) 1( B) 13215.随机变量X服从(D(C) 0(D) I(A)正态(B)指数(C)二项(D)泊松()16.设 X N( ,42),Y -N( ,52)，记 P1 P(X4), P2 P(Y5),则(A )。(A)对任何实数，都有P1 P2(B)对任何实数，都有P1 P2(C

10、)只对的个别值，才有P1 P2(D)对任何实数，都有P1 P217.若有十道选择题,每题有 A B、C、D四个答案,只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为(B )(A) 35(B) C160()6(3)444(C) (1)646(D) e 6!18.某课程考试成绩XN(72, 2),已知96分以上占2.3%，贝y 6084分所占比例为(A)(已知 20.977)(A) 2 (1) 1(B) 1(C) 2 1(D) 0.519.设独立随机变量X, Y分别服从标准正态分布，则服从(C )(A)泊松分布'(B) 2 分布(C)N(0,2)(D)不能确定)分布时，DX EX。20.对

11、于任意事件A B，有P(A B)(A )。(A) P(A) P(B)(B)(D) P(B)21.设随机变量的密度函数为p(x)acosx2其它则常数a为(B(A) 122.下列陈述不正确的是(B)(C) 0(D) 1D)(A)两两独立不一定相互独立(B)若事件A与B独立则A与B独立(C)事件A B独立则P(A|B) P(A)(D)随机变量二者不相关则和独立23. 下列数列可以构成分布列的是(A) (1)n n 1,2,(B)24. 下列陈述不正确的是2n n 1,2,.B)C)(C)(1)n n 1,2,. 0(D) 1n(A)和不相关则D()D( ) D( )( B)随机变量二者不相关则独立

12、(C)和不相关则cov(D)随机变量二者不相关则E(25.事件A,B,C中,A发生且B与C不发生的事件为：(C )(A) ABC ；(B) ABC ABC ABC ； (C) ABC ；(D)C.26.设A,B为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是:(A) P(A B) P(A)P(B);(B) p(Ab) p(A)p(b)；(C) P(B|A) P(B)；(D) P(AB) P(A)P(B).27.工厂每天从产品中随机地抽查 50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%,则在这一年内平均每天抽查到的次品数为：(A )(A) 0.05;(B) 5.01 ;(C) 5;(D) 0.5 .28.

13、 X U(0,1),Y 3X 2,则丫 服从分布：(C )(A) U(2,3);(B) U( 1,1); (C) U( 2,1);( D) U( 1,0).29.设随机变量X,丫的联合概率密度为f（x,y） 2e（2xy）,（0x，y）.则：（B ）（A） X,丫不相关；（B） X,丫相互独立;X,Y相关;(D) X,Y不相互独立.30.事件A, B互不相容，是指（B ）(A) P ()= P (A)P (B)(B) a(C)(D)计算题（含答案）设随机变量只取非负整数值，其概率为Pkka(1 a)k1，a>0是常数，试求E及D解：记_v11 ak, aaE kk12"k 1

14、(1 a) (1 a) k 1k 1k(rar(1aa)2 k 1kta(1 a)2 k 1(tk)'2 k2Jyk(k 1)k 1(1 a)k 1 k 1ak(1 a)k1akkk 1 (1 a)k 1 (1 a)3 k 1a (tk)" a2a2 1 '3 a 2a2(1 a)3(rT)a_/ t、 a “ 12 a(1L2,_,22E (E ) =a a.炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1, 0.7, 0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05, 0.1, 0.2。任射一发炮弹，求目标被击中的概率。若已知目标被击毁，求

15、击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解：1）设A1,A2,A3分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件，a)2 (1 t) (1 a)2 (1 t)表示目标被击中。则由全概率公式P(B) P(Ai)P(B|Ai) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B|A3)= 0.1 0.05 0.7 0.1 0.2 0.2 0.1152)P(A |B)由公式P(A) P(B|A1)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)PIAJ=O.1 O.。5 =丄 0.0430.11523三.某单位招聘2 500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有 10 000人报

16、名，假设报名者的成绩 X服从分布N ( , 2)已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少?X的分布函数为f(X) &e(X )22 22 XXN( , 2),N(0,1)PX 90 P90一1(90_)259.( )100090359()1 0.96411000601151()0.115110000标准正态分布表可得到=72和2 =100的值，然后令录取的最低分为 X0，则X0PX X0 P J J (J)誥从而得到X079,即录取的最低分为79分。四.从1到2000这2000个数字中任取一数，求该数能被6整除的概率;该数能被8整除的概率;该数能被6和

17、8整除的概率;该数能被6或8整除的概率。解：利用古典概型的公式P，A） m A所含样本点数 n样本点总数有利于A的场合数样本点总数1）邑' ；2）公0 1 ； 3） -8匚；2000 2000 8 2000P（能被8整除）+ P（能被6整除）P（既能被6整除又能被8整除）4） J331 _83_2000 8 200014而在各处射击时五.空战中，从Ai, A2, A处射击的概率分别为0.2, 0.7, 0.1,命中敌机的概率分别为0.2, 0.1, 0.05。任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由A3处射出的概率。解:1）设B表示目标被击中。则由全概率

18、公式P(B)= 0.20.20.7 0.1 0.1 0.05 0.115P(Ai) P(B|Ai) P (A2) P(B|A2)P(A3)P(B|A3)2)P(A3 |B)由公式P(A3)P(B| A3)P(A1)P(B I A1) P(A2)P(B | A2) P(A3)P(B | A3)= 0.1 0.05 = 0.0430.11523六.一地区农民年均收入服从500元，20元的正态分布，求:该地区农民年均收入在 500元520元间的人数的百分比;如果要使农民的年均收入在（a,a）内的概率不小于0.95，则a至少为多大?3个农民中至少有一个年均收入在500元520元间的概率。-N 500,

19、202解: （ 1）500520520 5000 20500 500200 10 00.84130.50.3413(2)a 0.95 ,20a200.95, 2 0 一200.95可得，20 1.96, a 39.2(3)考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为:c30(Pi)0(iPi)3,I C3 (0.3413)0(10.34I3)3七.设随机变量Xi :II ( 1,2 ),且满足 pXiX240I，则求概率P Xi X2 o解：由 PXiX2 0 1,得PXiX20 0，即PXi 1,X2 1 P Xi 1,X21PXi I,X21 PXi 1,X21 0再根据联合分布与边际分

20、布的关系可以求得Xi和X2的联合分布。X-101PXi Xi Pi-1010144010114421010144PX2 yiPj111424所以 PXi X2 = 0.八、有一袋麦种，其中一等的占 80% 二等的占18% 三等的占2% 已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8 , 0.2 , 0.1，现从袋中任取一粒麦种:试求它发芽的概率;若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少?解：设事件A1 “取出来的种子是一等种子取出来的种子是二等种子”A3“取出来的种子是三等种子”B “取出的种子发芽”B “取出的种子未发芽”由题:P(A) 80%P(A2)18% P(A3)2%P(B |

21、A1)0.8P(B| A2)O.2 P(B| A3)0.1P(b|A1)0.2P(B I A2)0.8 P(B | A3)0.9全概率公式P(B) P(Ai) P(B|Ai)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B | A3)=67.8%贝叶斯公式P(Ai |B)P(Ai) P(B|Ai)P(Ai) P(B|A) P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)=0.497九、设随机变量S的分布列为O.20.30.30.2解:1的分布列。j)21 O20.20.30.30.21整理得n的分布列300.30.50.2十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20% 65% 15%.毕业后

22、十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80% 70% 55%.求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。解：记成为优秀教师P(B) P(A)P(B|A1)P(4)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)8020706555156975100100100100100 10010000卜一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以S表示两次所得点数之和。求1)S的分布列；2) EE。23456789101112Pi123456543213636363636363636363636解：1)122) EkPk 2k2 362523 236736.12 36十二、设二维离散型随机向量(S,n)的联合分布列为:01

23、2n E 1CCC101010202C2C10101)2)3)4)解:2C10求常数C;求S,n的边缘分布列;求$ = 2的条件下，n的条件分布列;判断S与n是否相互独立。1) 1；2)n S 012Pig10.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.3Pgj0.30.30.4和的边沿分布列为:123P0.30.40.3012P0.30.30.43)1 2012P00.50.5整理得:| 212P0.50.54) 因为 P 2,000.4 0.3 P 2P0所以与不相互独立十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以X表示他首次命中时累计的投篮次数。写出X的分布律.解：分

24、布律为 PX k (0.4)k1(0.6) k 1,2,十四、已知连续型随机变量&有密度函数P(x)kx010其;也2求系数k及分布函数，并计算P1.5V S <2.5.解:由密度函数的性质p(x)dx2(kx01)dx (kx2 x)22k 20xF(x) p(t)dtP(t)0,F(x) 0x 2 时，F(x)(1 2t)dt (t t2)0 2 41 2 -x4F(x) xP1.5F(x) 10xx20412.5F(2.5) F(1.5) 1 1.5 丄(1.5)20.06254十五、设随机变量X,Y的联合分布为123400.000.030.050.0210.120.050

25、.070.0120.080.030.080.1130.050.04x0.06求x,及X,丫的边际分布（直接填写在表中），给出X在丫 2的条件下的条件分布.解：x = 0.2X在丫 2的条件下的条件分布为Y 212344141115101530十六、设二元连续型随机向量（X,Y）的联合密度函数为f(x, y)1,0,0 x 1,| y | x,其它.(|)2求X,丫的数学期望、方差和相关系数.解:当 0VXV1 时，Px(x) x1dy |X0,或x1 时，P（X）0当-1<y<0 时，P (y)1y1dxi,p (y)；1dx 1i,P(y)10 x 2 xdx(E)21 20x(

26、E)20y(1y)dy01 y(1 y)dy21lxdx ()2-32118Cov(0( xxxy 1dy)dxCov(,Axy 0 x 1,0 y 2其它其中A为常数，求:1）2）3）4）综合应用题（含答案）1.设二维连续型随机向量（，）的联合密度函数为2p（x, y） x常数A;,的边沿密度函数P1（x）, p2（y）；,的条件密度函数p（x|y）, p（y|x）;判断与是否相互独立；13解:1)由密度函数的性质：1p(x,y)dxdy1 22 Axy .x- dxdy0 03122 Axydx x2 y0 01 20 2x23Axy262Ax3Ax3dydx2i1p(x,y) 0所以2）

27、由边沿密度的计算公式，当x 0或x当0 x 1时，1 时 p(x, y) 0,所以 p1(x)p(x, y)P1(X)00的直观图形:P（x, y）dy所以2P1 (x)02x2Pi(x)xy32 x32x2p 2(y) 当 y 0或 y 2 时，p(x, y) 0，此时 p2(y)dy2xy60 x其它p(x,y)dx0 ；当0 y 2时所以:1P2(y)0Pi(x)xy dx31 3-x3x2Ty0 y其它3）由条件密度的计算公式：2时P2（y） 0，此时条件密度存在，且x2空 3_1 _ -y360p(xy)p(x, y)P 2( y)其它当0 x 1时，Pl(x)6x2 2xy2 y0

28、0，此时条件密度存在，p(yx)P(x,y)P1(y)-0 x其它且2 xyx 32 -x302x2其它4）显然： 所以与不独立。p(x, y)Pi(x) P2(y)3x26x2 2x03x y(6x 20xy0其它2.设（）服从单位圆上的均匀分布，1 2 xf (x, y) 'y2 1其它试求 fY|x(y|x)，0其它概率密度为:并讨论X，Y的独立性。解：（）关于X的边际密度为:0,x2，|x| 10,fx(X)f(x,y)dy|X| 1当 I X | <1fY|x(y |x)f(x,y)fx(x)1/12J1 X2Tlx2y V1x2即当I <1fY|x(y |x)12J1 X20,y 71 x2y取其它值fY|x(y |x)f(x,y)fY(y)，fx(x)X Y不独立。3.设